1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В частности, можно выбрать такие колебания, чтобы первая,или вторая, или третья частица покоилась:⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞032r2 = ⎝ 3⎠ q2 , r3 = ⎝ 0⎠ q3 , r4 = ⎝−1⎠ q4 .(5)−2−10qi = Ci cos(ω2 t + ϕi ),i = 2, 3, 4.Согласно (4) любая линейная комбинация векторов (5) ортогональна вектору⎛ ⎞1⎝2⎠ .3Легко убедиться, что набор векторов⎛r1 ,r2 ,⎞5r3 = ⎝−1⎠ q31(6)позволяет, как и в задаче 6.18, определить нормальные координаты, которыеприводят функцию Лагранжа (1) к диагональному виду. Векторы (6) удовлетворяют не простому соотношению ортогональности (как в задаче 6.18),а соотношению «ортогональности с весом» (см. задачу 6.22).194Ответы и решения6.21.Векторы нормальных колебаний⎛ ⎞1⎜ 0⎟1⎜r1 = √ ⎝ ⎟q1 ,r2 =2 −1⎠0⎛ ⎞1⎜−1⎟1⎟q ,r3 = ⎜r4 =2 ⎝ 1⎠ 3−1ql = Al cos(ωl t + ϕl ),ω1 = ω2 =[6.216.23]§ 6.
Малые колебания систем с несколькими степенями свободы(s)⎞01 ⎜ 1⎟⎟ q2 ,√ ⎜2 ⎝ 0⎠−1⎛ ⎞1⎟1⎜⎜1⎟ q4 ,⎝2 1⎠1(l)Умножим уравнение (1) на Ai , а уравнение (2) — на Ai . Взяв в обоихуравнениях сумму по i, получим(l) (s)(l) (s)−ωl2mij Aj Ai +kij Aj Ai = 0,(3)⎛ij(1)−ωs2ij(s)(l)mij Aj Ai +ij(s)(l)kij Aj Ai = 0.(4)ijВычтем уравнение (4) из уравнения (3), учитывая, что mij = mji и kij = kji ,получим(s) (l)mij Ai Aj = 0,(ωs2 − ωl2 )l = 1, 2, 3;q4 = A4 t + A5 ,k.ω3 = 2 m2k ,m195ijт. е.
при ωs = ωl(s)(l)(5)(s)(l)(6)mij Ai Aj = 0,ijФункция Лагранжа системыи одновременно из (3)+*L = m q̇12 + q̇22 + q̇32 + q̇42 − ω12 q12 − ω22 q22 − ω32 q32 .2ijЭто, конечно, не единственный выбор. Любые векторы, полученныеиз данных поворотом в плоскости, определяемой векторами r1 и r2 , такжебудут векторами нормальных колебаний, например:⎛⎞1⎜ 1⎟ ⎟q ,r1 = 1 ⎜2 ⎝−1⎠ 1−1⎞1⎜−1⎟ ⎟q ,r2 = 1 ⎜2 ⎝−1⎠ 21⎛r3 = r3 ,r4 = r4(2)(поворот на π/4). Но векторы r1 , r2 , r3 , r4 хотя и независимы, но не приводят функцию Лагранжа к сумме квадратов.6.22.Амплитуды нормальных колебаний удовлетворяют уравнениям(l)(l)mij Aj +kij Aj = 0,(1)−ωl2−ωs2jjj(s)mij Aj +j(s)kij Aj= 0.kij Ai Aj = 0.(2)Удобно воспользоваться терминологией, принятой в линейной алгебре.Набор амплитуд данного колебания будем называть вектором амплитуды(l)(l)(l)A(l) = (A1 , A2 , .
. . , AN ). Доказанные соотношения (5) и (6) означают,(s)(l)что амплитуды A и A взаимно ортогональны, если скалярное произведение определять с помощью метрических тензоров mij или kij .В случае вырождения (если ωs = ωl ) амплитуды A(s) и A(l) не обязаны удовлетворять соотношениям (5) и (6). Но в этом случае всегда можновыбрать, и притом не единственным способом, такие амплитуды, которыеудовлетворяли бы (5) и (6) и приводили бы функцию Лагранжа к суммеквадратов.6.23.Переходя к нормальным координатам (l)Ai ql ,xi =lпреобразуем уравнение связиbl ql = 0,lbl =i(l)ai Ai .196Ответы и решения[6.24Уравнения движения с неопределенным множителем Лагранжа λ§ 6.
Малые колебания систем с несколькими степенями свободыможно решить, полагаяλ = Λ cos(ωt + ϕ).Выразив Cl из уравненияMl (Ω2l − ω 2 )Cl = bl Λiи подставив в уравнение связи, получаем для новых частот уравнениеΛb2llMl (Ω2l − ω 2 )= 0.Для исследования этого уравненияудобно представить график (рис.
129)2y(ω ) =b2llMl (Ω2l − ω 2 )jmij ẍj += 0.kij xj = fi cos γt,jполучим следующую систему уравнений для определения коэффициентов λ(l) :(l)(l)−γ 2mij λ(l) Aj +kij λ(l) Aj = fi .(2)i,jj,li,ji,jа величина ωs = Ks /Ms является s-й нормальной частотой системы в соответствии с формулой (4) задачи 6.22.1 Зависимость λ(s) от γ имеет резонансный характер.Для нормальных колебаний qs , введенных по формуле (s)Ai qs (t),(3)xi =sОбратим внимание, что функцияy(ω 2 ) меняет знак, проходя через бесконечное значение при ω 2 = Ω2l .Рис.
129После этого расположение корней ωlстановится очевидным. Если какойнибудь из коэффициентов bl равен нулю, то соответствующее нормальноеколебание (и его частота) не изменяются при наложении связи.Рассмотренному в этой задаче факту можно дать простую геометрическую интерпретацию (см. [6], § 24).(l)6.24.
Подставив xj = λ(l) Aj cos γt в уравнения движенияl197Её проще всего решить, используя соотношения ортогональности (5), (6)задачи 6.22.(s)Для этого умножим уравнения (2) на Ai и, просуммировав по i, получим окончательноFs,λ(s) =Ms (ωs2 − γ 2 )где (s)(s) (s)(s) (s)Fs =Ai fi , Ms =mij Ai Aj , Ks =kij Ai Aj ,Ml (q̈l + Ω2l ql ) = bl λql = Cl cos(ωt + ϕ),6.24]вместо (1) получаем следующие уравнения движения:Ms q̈s + Ks qs = Fs cos γt.(4)Отсюда, если вектор силы fi ортогонален к амплитуде некоторого s-го нор (s)мального колебания Ai fi = 0, то соответствующая нормальная коордиiната удовлетворяет уравнению свободных колебаний, и резонанс на даннойчастоте при ω = ωs не проявляется.Отметим, что работа внешней силы в этом случае равна нулю:(s)fi dxi =fi Ai dqs = 0.iiПусть вектор силы параллелен какому-либо нормальному колебанию:fi(s)= const (i = 1, 2, .
. . , N ).AiМожет ли такая сила возбудить другие нормальные колебания?1 Если некоторые нормальные частоты вырождены, то соответствующие им амплитуды нормальных колебаний мы считаем выбранными так, чтобы они удовлетворяли соотношениямортогональности (5) и (6) задачи 6.22.198Ответы и решения[6.256.25. Вынужденные установившиеся колебания можно представитьв виде (см. предыдущую задачу)βij fj ,xi =jгдеβij =l(l)(l)Ai AjMl (ωl2 − γ 2 ).Теорема взаимности отражает тот факт, что βij = βji .Как изменится формулировка этой теоремы, если координаты xi и xjимеют разные размерности (например, для электромеханической системы)?6.26.Нормальные колебания⎛ ⎞⎛ ⎞11⎜ 0⎟⎜1 ⎟⎜ ⎟ q1 , ⎜ ⎟ q2 ,⎝−1⎠⎝1 ⎠01⎛⎞0⎜ 1⎟⎜ ⎟ q3 ,⎝ 0⎠−1⎛⎞1⎜−m/M ⎟⎜⎟⎝ 1 ⎠ q4 ,−m/Mгде6.28]§ 6.
Малые колебания систем с несколькими степенями свободы199ω22 = 2km.Два других вектора должны быть ортогональны к векторам (1) в метрике,определяемой коэффициентами квадратичной формы кинетической энергии (см. задачу 6.22), т. е. иметь вид⎞⎛a⎜ b ⎟⎟⎜(2)r = ⎜ a ⎟ q(t).⎠⎝q1 (t) = C1 t + C2 ,q2 (t) = A2 cos(ω2 t + ϕ2 ),−a − b2Подставляя (2) в уравнения движения первой и второй частицmẍ1 + k(2x1 − x4 − x2 ) = 0,mẍ2 + k(2x2 − x1 − x3 ) = 0,получаем уравнения для определения величин a, b и частот(−mω 2 + 3k)a − k b = 0,2−2ka + (−mω 2 + 2k)b = 0.(3)Из (3) находимq1 = At + B,ω22= 2km,qi = Ai cos(ωi t + αi ),ω32= 2k ,Mi = 2, 3, 4;ω422k(M + m)=.mMТри первых колебания легко угадываются, а последнее находится из условия ортогональности к первым трем. Поскольку массы частиц различны,условие ортогональности двух нормальных колебаний A и B имеет видmA1 B1 + M A2 B2 + mA3 B3 + M A4 B4 = 0(см.
задачу 6.22).6.27. Пусть xi — смещение i-й частицы вдоль кольца. Два нормальных колебания легко угадываются:⎛ ⎞⎛ ⎞11⎜1⎟⎜ 0⎟⎜ ⎟⎟r1 = ⎜(1)⎝1⎠ q1 (t), r2 = ⎝−1⎠ q2 (t),102ω3,4=√5∓ 5 km,2илиb3,4 = (1 ±√5)a3,4⎞1√⎜ 1± 5 ⎟⎟⎜=⎜⎟ q3,4 (t),1⎝√ ⎠5−3 ∓⎛r3,422q3,4 = A3,4 cos(ω3,4 t + ϕ3,4 ).6.28.а) Пусть xi , yi , zi — отклонение i-й частицы от положенияравновесия. Функция Лагранжа системы имеет вид (см.
задачу 5.7)L = L1 (x, ẋ) + L1 (y, ẏ) + L1 (z, ż),+*7L1 (x, ẋ) = m ẋ21 + ẋ22 + ẋ23 + ẋ24 + ẋ25 − k x21 + (x1 − x5 )2 +229+ (x5 − x3 )2 + x23 + x22 + (x2 − x5 )2 + (x5 − x4 )2 + x24 ,200Ответы и решения[6.28поэтому колебания по x, y и z происходят независимо. Легко угадать тринормальных колебания по x:⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞101⎜ 0⎟⎜ 1⎟⎜−1⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟(1)r1 = ⎜⎜−1⎟ q1 , r2 = ⎜ 0⎟ q2 , r3 = ⎜ 1⎟ q3 ,⎝ 0⎠⎝−1⎠⎝−1⎠000qi = Ai cos(ωi t + ϕi ), ω1 = ω2 = ω3 = 2km.Два остальных нормальных колебания должны быть ортогональны к векторам (1) и потому иметь вид1⎛ ⎞a⎜ a⎟⎜ ⎟⎟r4,5 = ⎜⎜a⎟ q4,5 .⎝ a⎠dПодставляя этот вектор в уравнения движения для первой и пятой частицmẍ1 + k(2x1 − x5 ) = 0,mẍ5 + k(4x5 − x1 − x2 − x3 − x4 ) = 0,−4ka + (−mω 2 + 4k)d = 0.√ k√2= (3 ∓ 5) mи d4,5 = (−1 ± 5)a4,5 .Решив (3), найдем ω4,5Окончательно⎞⎛1⎟⎜1⎟⎜⎟ q4,5 .1r4,5 = ⎜⎟⎜⎝1√ ⎠−1 ± 5(3)где f — натяжение пружинок, а l — длина одной пружинки в положенииравновесия.Если f = kl, то колебания в направлении оси x (или y) имеют такойже вид, как в направлении оси z, если считать r = (x1 , x2 , x3 , x4 ) (илиr = (y2 , y1 , y4 , y3 )).
Если же f = kl, то вырождениеснимается. Два нор%2f2k и ω =совпадают с r1мальных колебания с частотами ω1 =2mи r2 . Два других по условию ортогональности должны иметь вид⎛ ⎞a⎜b ⎟⎜ ⎟ cos(ωt + ϕ).⎝a⎠bmẍ1 + k(2x1 − x5 ) = 0,(4)201Для колебании по осям y и z получаются такие же результаты, чтои по оси x. Таким образом, в системе имеется всего три различные частоты: ω12 = 2km — девятикратно вырожденная и две трехкратно вырожденные√ k2ω4,5 = (3 ∓ 5) m(о снятии вырождения см. задачу 6.41).б) Колебания вдоль оси z легко угадываются⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞101⎜ 0⎟⎜ 1⎟⎜∓1⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟r1 = ⎜⎝−1⎠ q1 , r2 = ⎝ 0⎠ q2 , r3,4 = ⎝ 1⎠ q3,4 ,0−1∓12ffqi = Ai cos(ωi t + ϕi ), ω1 = ω2 = ω3 =, ω4 =,mlmlДля их нахождения достаточно уравнений движения двух частицr4,5 = (a, b, c, e, d) ≡ r, тогда условия ортогональности (r, r1 ) = (r, r2 ) == (r, r3 ) = 0 дают соотношения a = b = c = e.1 Пусть§ 6.
Малые колебания систем с несколькими степенями свободыmlполучим два уравнения для определения a, d и частот ω4,5 :(−ω 2 m + 2k)a − kd = 0,6.28]Здесьx5 =mẍ2 +f(2x2 − x5 ) = 0.lfk(x1 + x3 ) + (x2 + x4 )l2f2k +l202Ответы и решения[6.29— координата точки соединения пружинок, определяемая из условия минимальности потенциальной энергии при заданных x1,2,3,4 .Решая уравнения, получаемf + kl,ml2kf,ω42 =m(f + kl)ω32 =b3 = −6.30]§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы203мы немедленно получаем, что они имеют решение лишь приk3 A2 + k2 A3 = 0.(4)Сравнивая (3) и (4), находим, что m2 k2 = m3 k3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
