1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Это можно показать, используя все три интеграла движения: P , E, A. Учитывая, что при t → ±∞ функции Uik → 0, и сравниваяP , E, A при t → +∞ и при t → −∞, получим три уравнения:v1 + v2 + v3 = v1 + v2 + v3 ,(v1 )2 + (v2 )2 + (v3 )2 = v12 + v22 + v32 ,v1 v2 v3б) ω 221− F; min U (x) существует при F < V α;Vα2α4 x2 Γ(3/4) , где амплитуда x определена равен= 8π Vm00235.2.Γ(1/4)ством2E = mẋ + 1 V α4 x4 = 1 V α4 x40 .233163Функция Лагранжа системы (см. [1], § 5, задача 4)L = ma2 [θ̇2 (1 + 2 sin2 θ) + Ω2 sin2 θ + 2Ω20 cos θ],где введено обозначение Ω20 = 2g/a.При Ω > Ω0 потенциальная энергия системыU (θ) = −ma2 (Ω2 sin2 θ + 2Ω20 cos θ)имеет минимум при cos θ0 = Ω20 /Ω2 . Разлагаем U (θ) вблизи θ0 , а в кинетической энергии полагаем 4Ω0221 + 2 sin θ = 1 + 2 sin θ0 = 3 − 2≡ M 2,Ω2maтогдаL = 1 M ẋ2 − 1 kx2 ,22где k = U (θ0 ), x = θ − θ0 . ОтсюдаΩ4 − Ω40ω 2 = k = Ω2 4M3Ω − 2Ω40= v1 v2 v3 .§ 5.
Малые колебания систем с одной степенью свободы5.1.§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы(2)Решая эту систему относительно vi , мы получим, вообще говоря, шестьразличных решений. Однако все эти решения можно угадать.Легко проверить, что решение (1) удовлетворяет системе (2). Далее,так как уравнения (2), очевидно, симметричны относительно всех шестивозможных перестановок частиц, то ясно, что остальные корни системы (2)могут быть получены простыми перестановками из (1).После этого нетрудно убедиться, что только ответ (1) может осуществиться при t → +∞, ибо любой другой вариант предполагает (в силууказанных неравенств v3 > v2 > v1 ) возможность дальнейших столкновении частиц.α2а) ω = Vm5.2](Ω > Ω0 ).При Ω Ω0 частота колебаний пропорциональна угловой скорости вращения ω = √1 Ω, а θ0 = π .
В случае Ω → Ω0 малые колебания совершаются32с частотой ω → 0, а θ0 → 0.Если Ω < Ω0 , то можно рассматривать колебания вблизи θ0 = 0 приупругих соударениях боковых массω 2 = Ω20 − Ω2(Ω < Ω0 ).При Ω = Ω0 потенциальная энергия U имеет минимум при θ0 = 0и представима вблизи него в виде4θ2 2U = ma Ω0 −2 +,4т.
е. колебания существенно нелинейны. Оставляя и в кинетической энергиичлены до четвертого порядка, получим2π = T = 8ωθm √1 + 2θ2 dθ.4 − θ4 )Ω20 (θm0Здесь θm — амплитуда колебаний (ср. [1], § 11, задача 2 а).164Ответы и решения[5.35.3. Обозначим s = (q 2 /8mgR2 )1/3 .При s < 1 положение устойчивого равновесия ϕ0 определяется условием sinϕ03g= s, а ω 2 = (1 − s2 ).2RПри s > 1 положение устойчивого равновесия — точка A, а ω 2 ==3g 3(s − 1).R5.4.r = r0 + a cos ω(t − t0 ),ϕ = ϕ0 + Ω(t − t0 ) − 2aΩr0 ω sin[ω(t − t0 )],где r0 , ϕ0 , a, t0 — константы интегрирования (a r0 ),%√−(n+2)/2, ω = Ω 2 − n.Ω = nαm r05.5.
В точке θ = θ0 эффективная потенциальная энергияUэфф (θ) =Mz22ml2 sin2 θ− mgl cos θ(см. [1], § 14, задача 1) имеет минимум, поэтому Uэфф(θ0 ) = 0. Отсюданаходимm2 l3 g sin4 θ0,Mz2 =cos θ0а частота малых колебанийUэфф(θ0 )g 1 + 3 cos2 θ0=.ω(θ0 ) =2lcos θ0mlДля применимости этого расчёта необходимо, чтобы1 U (θ )(Δθ)2 1 |U (θ )|(Δθ)3 ,2 эфф 06 эфф 0где Δθ — амплитуда колебаний. Если θ0 ∼ 1, это условие выполняетсяпри Δθ 1.
Однако при θ0 1 оказывается Uэфф(θ0 ) ∝ 1 и колебанияθ0по θ можно рассматривать как малые, только если Δθ θ0 . Тем не менеев этом случае полученный результат ω = 2 g/l справедлив и для Δθ ∼ θ0 ,когда колебания по θ перестают быть гармоническими. Действительно, поосям x иy в этом случае происходят малые гармонические колебания счастотой g/l, т. е. маятник движется по эллипсу, совершая за один оборотдва колебания по углу θ (см. [1], § 23, задача 3).5.7]§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы1655.6. Эффективная потенциальная энергия для радиальных колебаниймолекулы2Uэфф(r) = 1 mω02 (r − r0 )2 + M 2 ,22mrгде r — расстояние между атомами, а m — приведённая масса.
Добавление второго члена, предполагаемого малой поправкой, приводит к маломусмещению положения равновесия2δr0 = 2M 2 3 .m ω0 r0Изменение частоты определим, разлагая Uэфф(r) в ряд вблизи точки r0 ++ δr0 :22Uэфф(r) = 1 mω02 (r − r0 − δr0 )2 + M 2 + 3M 4 (r − r0 − δr0 )2 .22mr02mr0Отсюда поправка к частоте22= 3Ω ,δω = 3M242ω02m ω0 r02где Ω = M/mr0 — средняя скорость вращения молекулы.5.7.а) Смещение из положения равновесияẋ2ẋ0x = x0 cos ωt + ω sin ωt = x20 + 02 cos(ωt + ϕ),ωẋtg ϕ = − ωx0 ,ω 2 = 2km.0б)Пусть натяжение одной пружинки f .
Для малых смещений|y| f l/k, колебания гармонические y = A cos(ωt + ϕ), ω 2 = 2f /ml.При f = kl частота колебаний та же, что и в пункте а). Если пружинки не натянуты (f = 0), колебания нелинейны, возвращающая силаF = −ky 3 /l2 ; частота (см. задачу 5.1 б)√πΓ(3/4) 2k ymω=m lΓ(1/4)(ym — амплитуда колебании).Если частица может двигаться в плоскости xy, то её движениепри f = 0 и малых смещениях представляет собой гармонические колебания вдоль осей x и y с частотами ωx2 = 2k/m и ωy2 = 2f /ml соответственно(см.
задачу 6.3).166Ответы и решения[5.85.8. Пусть y — координата частицы, отсчитанная от точки верхнегоподвеса. Функция Лагранжа системы2mẏ 2mgmẏ 22L=− k(y − l) + mgy =−k y−l−+ const222kсоответствует осциллятору с частотой ω 2 = 2km и положением равновесияmgy0 = l +, поэтому y = y0 + A cos(ωt + ϕ).2kЗаметим, что, выбирая в качестве координаты отклонение от положения равновесия, мы исключаем из функции Лагранжа поле тяжести.Угол отклонения маятника от вертикали$$$$2$ aΩ2 $aΩcosΩt,ϕ=$1$$ g − lΩ2 $g − lΩ25.9.(см. также задачу 8.3).Возможны также колебания маятника вблизи направления радиggуса-вектора ϕ = Ωt + 2 sin Ωt, Ω2 a .aΩ5.10.Ток в контуреI=U0 sin(ωt − ϕ)dq,=dtR2 + (ωL − 1/ωC)2tg ϕ =ωL − 1/ωCRможно получить, решая уравнения Лагранжа для q.
Функция Лагранжа системы L =L q̇ 2 q 2−(см. задачу 4.22), диссипативная функция равна 1 Rq̇ 2222C(см. [3], § 48).5.11.же [14])Общее решение уравнения движения (см. [1], § 26; см. такF cos γtẍ + 2λẋ + ω02 x = mпри условии ω 2 = ω02 − λ2 > 0 имеет видx(t) = e−λt (a cos ωt + b sin ωt) +F [(ω02 − γ 2 ) cos γt + 2λγ sin γt],m[(ω02 − γ 2 )2 + 4λ2 γ 2 ]5.11]§ 5.
Малые колебания систем с одной степенью свободы167где a и b — константы, определяемые из начальных условий. Полагая x(0) == ẋ(0) = 0, найдем окончательно7 2Fx(t) =(ω0 − γ 2 )(cos γt − e−λt cos ωt)+22 22 2m[(ω0 − γ ) + 4λ γ ]#"ω02 + γ 2 −λtesin ωt. (1)+2λγ sin γt −2γωИсследуем полученное решение вблизи резонанса γ = ω +ε, |ε| ω. Если трение полностью отсутствует, т. е. λ = 0, тов окрестности резонанса движение осциллятора представляет собой биения:F sin εt · sin ω t,x = mω00ε2(2)причём величина амплитуды и частотабиении определяются степенью близостик резонансу (рис. 115, а). Когда же γ = ω0(т. е. имеет место полный резонанс) приε → 0 получим(3)x = F t sin ω0 t,2mω0Рис. 115т.
е. колебания, амплитуда a(t) которых неограниченно возрастает по законуa(t) = F t/2mω0 (рис. 115, б).При наличии даже малого трения (λ ω0 ) картина движения качественно меняется. Так, при λ |ε| из (1) легко получить вместо (2)1 − 2e−λt cos εt + e−2λt cos(ω0 t + ϕ1 (t)).(4)x(t) = F2mω0 εЗдесь ϕ1 (t) — некоторая медленно меняющаяся во времени фаза колебании.Амплитуда колебаний медленно осциллирует с частотой |ε| около значенияF/2mω0 |ε|, постепенно приближаясь к нему (рис.
116, а). Замечательно, чтово время переходного процесса амплитуда может достигать значений, почтивдвое больших амплитуды установившихся колебаний. При соотношениях|ε| λ ω0 получаемx=F (1 − e−λt ) cos(ω t + ϕ (t)).022mω0 λ(5)168Ответы и решения[5.115.13]§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы5.12.лятором,а) Энергия, приобретенная осцил-16921πF22E=τ exp − (ωτ )2m2существенно зависит от того, как быстровключается сила (от параметра ωτ ). При мгновенном ударе (ωτ 1) или при очень медленном включении силы (ωτ 1) передачи энергии малы, максимум передачи энергии√2Emax = πF2 достигается при τm = 2/ωРис.
117mω e(рис. 118).б) Если x → a cos(ωt + ϕ) при t → ∞,1 тоΔE = E(+∞) − E(−∞) =2= πF τ 2 e−(ωτ ) /2 −2m√2− πaωτ F e−(ωτ ) /4 sin ϕ.Рис. 116В этом случае происходит переходный процесс с плавно растущей амплитудой, асимптотически приближающейся к значению F/2mω0 λ, определяемому коэффициентом затухания λ (рис. 116, б). И, наконец, если ε и λ —величины одного порядка малости, |ε| ∼ λ ω0 , то осцилляции амплитуды√вокруг значения, отвечающего установившимся колебаниям F/2 2mω0 |ε|,весьма неглубоки (для случая ε ≈ λ, см. рис.
116, в).Таким образом, система приходит к установившимся колебаниям дляэтих трех случаев (рис. 116) за время t порядка 1/λ (это, впрочем, очевиднои из (1)).Качественное исследование процесса установления колебаний (переходного процесса) при λ ω0 удобно проводить с помощью векторныхдиаграмм (рис. 117). Вынужденное колебание изображается проекцией на−→ось x вектора OA, вращающегося с угловой скоростью γ. Вектор свобод−−→ного колебания AB вращается с угловой скоростью ω, и длина его убывает−−→ −→пропорционально e−λt . В начальный момент AB + OA ≈ 0.Каков характер переходного процесса, если x(0) = 0, ẋ(0) = 0?Рис. 1182В зависимости от величины ϕ осциллятор приобретает или теряетэнергию. Это изменение энергии подобно поглощению или вынужденному испусканию света атомом.При усреднении по фазе ϕ получим тот же ответ, что и в пункте а).5.13.а) x(t) = 1 [ξ1 (t) + ξ2 (t)], где2μξ1, 2⎡ t⎤1 F (τ )e±μτ dτ + ẋ ∓ μx ⎦ .= e±μt ⎣ m0003t41 Im eiωt−λt 8 1 F (τ )eλτ −iωτ dτ + ẋ + (iω + λ)xx(t) = ω,00m0где ω = ω02 − λ2 .б)1 ϕ имеет смысл «прицельной фазы», т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
