1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Законы сохранения4.1. Полагая x = 0 при t = 0, находим C = 0, а из условия x = a приt = τ находим B = τa − Aτ . Используя функциюx(t) = At2 + τa − Aτ t,вычисляем действиеS=dσ = 4πa2 (|d cos2 χ1 | + |d cos2 χ2 |) =причём 0 < θ < arcsin 1 .3Если налетающие шарики тождественны с первоначально покоившимся, так что не имеет смысла различать их после рассеяния, то к полученному сечению следует добавить сечение вылета первоначально покоившихсяшариков в телесный угол dΩ:(0 < θ < π/2).При прохождении расстояния x интенсивностьI(x) = I(0)e−nσx .dN = σn1 n2 |v1 − v2 | dV dt.L(x, ẋ) dt =05 − 9 sin2 θ= 4πa2 d(cos2 χ2 − cos2 χ1 ) = 4a2 dΩ,1 − 9 sin2 θdσ = 4a2 cos θ dΩτ τУчитывая обе возможные связи χ с θ, получаем3.21.f (θ)(1 − cos θ) sin θ dθ;12dσ = π|dρ2 | = 4a2 π|d cos2 χ| = 4a2 cos χ dΩ.Для перехода к лабораторной системе из равенства3.20.145m ẋ2 + F x dt = mA2 τ 3 + ma2 − F Aτ 3 + F aτ .262τ620Из условия ∂S = 0, определяющего минимум действия, находим A = F .2m∂AЯсно, что закон движения2x(t) = F t +2ma Fττ − 2mtв данном случае оказывается точным.
Однако приведенное решение задачи позволяет только утверждать, что этот закон является в определённомсмысле наилучшим среди всех мыслимых законов предложенного вида.Чтобы убедиться, что найденный закон движения дает значение Sменьшее, чем любой другой закон x(t), т. е. является истинным, нужно проверить, что он удовлетворяет уравнению Лагранжа.1 Величинасечения(1 − cos θ)dσ dΩ).dΩdσ dΩ называется транспортным сечением (в отличие от полногоdΩ146Ответы и решения4.2.x(t) =vx t − avx2 − 2U/m(t − τ ) + a[4.2при 0 < t < t0 ,4.6.Из соотношения∂q∂qL(Q,Q̇, t) = L(q(Q, t), q̇(Q, Q̇, t), t) = L q,,tQ̇ +∂Q∂tнаходим∂q d ∂L ∂L d ∂qd ∂L+,=dt ∂ Q̇∂Q dt ∂ q̇∂ q̇ dt ∂Q∂qd ∂L− ∂L =dt ∂ Q̇ ∂Q∂Qd ∂L − ∂Ldt ∂ q̇∂qPl =.В случае нескольких степеней свободы вместо (1) получим ∂qk d ∂Ld ∂L− ∂L =− ∂L .dt ∂ Q̇i ∂Qi∂Qi dt ∂ q̇k∂qkk Q, dQ , τ = L q, dq , t dt .4.4.
LdτЗдесьq = q(Q, τ ),dq∂q dQ ∂q=+,dτ∂Q dτ∂τ. ∂fkpk ,∂Qlkd ∂L− ∂ L = 0.dt ∂ Q̇ ∂Qdtdqdτ∂ Q̇l(1)Таким образом, справедливость уравнения d ∂L − ∂L = 0 приводитdt ∂ q̇∂qк справедливости аналогичного уравненияdτ1−dq dτdq=,dtdτ dtdt = ∂t dQ + ∂t .dτ∂Q dτ∂τdτ2lпреобразуются следующим образом:∂q∂ q̇∂L+ ∂L.= ∂L∂q∂Q∂q̇∂Q∂ Q̇∂q∂ q̇= d, получаем∂Qdt ∂Q=−Lẋ = dx .Предложенная задача поставлена чисто формально. Однако, как данная функция Лагранжа, так и рассматриваемое преобразование («исправленные» введением размерных множителей) имеют простой физическийсмысл в теории относительности (см. [3], § 4, 8),Pl Q̇l − L4.7. Обобщённый импульс Pl = ∂L и энергия E =где vx = (2aU/mτ )1/3 , t0 = a/vx .Учитывая, чтоẋ2 − (1 + λẋ)U (x),2 1 + λẋ=mLпри t0 < t < τ,147§ 4.
Уравнения движения. Законы сохранения4.5.y(t) = at/τ,4.3.4.10]E = E −pkk∂fk.∂t4.8. Используя формулы предыдущей задачи, получаем2а) pr = mṙ = pr , pϕ = mr (ϕ̇ + Ω) = pϕ , E = E − Ωpϕ ;б)px = px cos Ωt − py sin Ωt,py = px sin Ωt + py cos Ωt.(1)Из (1) следует p = p, а сами эти равенства представляют собой закон преобразования компонент вектора при переходе к системе координат,повёрнутой на угол Ωt. Подчеркнем, что p = mv (ср. [1], § 39).4.9.a) E = E − Vp, p = p;2б) E = E − Vp + mV , p = p − mV.2Два выражения энергии отличаются на постоянную.
Обычно используется второе выражение, так как именно оно согласуется с определениемэнергии в теории относительности.4.10. Пусть qi = gi (t) описывает движение системы (траектория ABна рис. 113). Так как вид действия не изменяется при переходе к переменным qi , t , равенства qi = gi (t ) также описывают действительное движениесистемы.
Выраженные в переменных qi , t с точностью до первого порядкапо ε, эти равенства имеют видqi (t − δt) = gi (t) − δqi ,148Ответы и решения[4.11гдеδqi = εfi (g(t)t),δt = εh(g(t), t)(траектория A B на рис. 113).Малые изменения координат и времениначала и конца движения при переходе от траектории AB к траектории A B приводят к изменению действия:B ∂S∂S(−δt) +SA B −SAB =(−δqi ) .∂t∂qiiЗдесь (см. [1], § 43)∂S = L− ∂L q̇ = −E(t),i∂t∂ q̇iРис. 113iA∂S = ∂L = p (t).i∂qi∂ q̇iС другой стороны, согласно условию задачи, SAB = SA B , так чтоE(tA )εh(qA , tA ) −4.13]§ 4.
Уравнения движения. Законы сохранения1494.13. а) Потенциальная энергия U (r) = −Fr, а с ней вместе и действие, не изменяются при сдвигах в направлении, перпендикулярном к F,и при поворотах относительно оси, параллельной F. Поэтому интеграламидвижения являются компоненты импульса, перпендикулярные к F, и компонента момента импульса, параллельная F.
Так как функция Лагранжа независит от времени, интегралом движения является энергия.Утверждение, что различные точки в некоторой области «равноправны», означает, что во всех этих точках равны значения потенциальной энергии (а не силы!).б) Преобразование подобия r = αr может сохранять вид действия,если одновременно преобразуется время t = βt. Вклад в действие кинетической энергии2mv 2 dtmv dt = α222βостается неизменным при β = α2 , а вклад потенциальной энергииnn+2U (r)dt− U (r )dt = −α β U (r)dt = −αpi (tA )εfi (qA , tA ) =i= E(tB )εh(qB , tB ) −pi (tB )εfi (qB , tB ),iилиEh −pi fi = const.Доказанная теорема представляет собой, в сущности, единый выводразличных законов сохранения. Важность её возрастает в связи с тем,что подобная же теорема имеет место и в теории поля (теорема Нётер,см.
[12, 13]). ∂L(q̇i h − fi ) − Lh − F = const.4.11.∂ q̇iостается неизменным при n = −2. Чтобы воспользоваться теоремой, сформулированной в задаче 4.10, записываем бесконечно малое преобразованиеподобия, положив α = 1 + ε, ε → 0:r = (1 + ε)r,t = (1 + 2ε)t,так что f = r, h = 2t и интеграл движения∂L (vh − f ) − Lh = mvr − 2Et = C.∂r(1)2Из (1) можно найти r(t), учитывая, что rv = 1 dr :2 dti4.12.
а) Импульс;б) момент импульса;в) энергия;г) Mz + h pz = const, h — шаг винта;2πд) Ex − px t = const — интеграл движения центра инерции системы(см. [2], § 14).2r2 = 2Em t + Ct + C1 .(2)Если E < 0, то частица падает на центр (при этом ṙ → ∞). ЕслиE > 0, удобнее ввести вместо C, C1 другие константы τ , B и записать (2)в виде2r2 = 2Em (t − τ ) + B.150Ответы и решения[4.14При B > 0 зависимость r(t) такая же, как для свободного движения√ частицы со скоростью v0 = 2E/m и прицельным параметром ρ = B. ПриB < 0 частица падает па центр.Поля, для которых выполняются условия этой задачи, приведены, например, в задачах 12.6, 12.7 и в [1], задача 2 к § 15.в) E − Vp = const;г) rp − 2Et = const, где p = mv + ec A, если A(αr) = α−1 A(r);д) E − pϕ Ω = const.4.14. mr − pt = const (ср.
с задачей 4.12 д).Является ли этот интеграл движения для замкнутой системы восьмымнезависимым интегралом (кроме E, M, p)?4.15. а) Пусть ось z параллельна B. Сдвиг вдоль оси z и поворотвокруг неё не изменяют вида A, а следовательно, и вида действия.
Поэтомуинтегралами движения являютсяpz = ∂L = mż и Mz = xpy − ypx = m(xẏ − y ẋ) + eB (x2 + y 2 ).2c∂ żКроме того, интегралом движения является энергияE = m (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ).2б) E = m (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2), py = mẏ + ec Bx, pz = mż (ср. с задачей 10.7).2Соображения симметрии позволяют определять различные интегралыдвижения в зависимости от выбора векторного потенциала данного поля B.Но все величины: E, pz = pz , Mz , py — являются интегралами движениянезависимо от выбора A.4.16.а) E = m (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ), Mz = m(xẏ − y ẋ) + em2cx2 + y 2eμMz ≡ pϕ = mr2 ϕ̇ + c ,§ 4. Уравнения движения. Законы сохраненияE = m (ṙ2 + r2 ϕ̇2 + ż 2 ).2Однако движение в этом «поле» есть свободное движение.
Действительно,функция Лагранжа2eμL = mv + c ϕ̇2151отличается от функции Лагранжа свободной частицы только на полeμϕную производную по времени функции c (разумеется, в этом случаеB = rot A = 0).Заметим, что в случае, когда μ есть функция времени, pz и Mz остаются интегралами движения.4.17. а) ẍ + x = 0. Такое же уравнение может быть получено из функции Лагранжа L1 (x, ẋ) = ẋ2 − x2 .
Как известно, если две функции Лагранжа отличаются на полную производную функции координат и времени, тоони приводят к одинаковым уравнениям Лагранжа. Обратное утверждениеневерно.б) ẍ + αẋ + ω 2 x = 0.4.18. а) Уравнения Лагранжа для частицы в поле U в сферическихкоординатахm(r̈ − rϕ̇2 sin2 θ − rθ̇2 ) + ∂U = 0,∂r22 2m(r θ̈ + 2rṙ θ̇ − r ϕ̇ sin θ cos θ) + ∂U = 0,∂θm(r2 ϕ̈ sin2 θ + 2rṙ ϕ̇ sin2 θ + 2r2 θ̇ϕ̇ sin θ cos θ) + ∂U = 0∂ϕлегко привести к видуm(v̇)i = (F)i ,где компоненты силы есть компоненты − grad U :Fr = − ∂U ,∂rОтсюдаFθ = − 1r ∂U ,∂θFϕ = −1 ∂U .r sin θ ∂ϕ(v̇)r = r̈ − rϕ̇2 sin2 θ − rθ̇2 ,(здесьось z выбрана параллельной вектору m).
Ср. с задачей 2.31.б) Из свойств симметрии данного поля можно получить следующиеинтегралы движения:pz = mż,4.19](v̇)θ = rθ̈ + 2ṙ θ̇ − rϕ̇2 cos θ sin θ,(v̇)ϕ = rϕ̈ sin θ + 2ṙϕ̇ sin θ + 2rθ̇ ϕ̇ cos θ.3d ∂ − ∂ds2 = h q̈ + 2q̇ q̇ ∂hi − q̇ 2 hk ∂hk .б) (v̇)i = 1i ii kk22hi4.19.dt ∂ q̇i∂qidtk=1а) Функция Лагранжа3L= mgik q̇i q̇k − U (q1 , q2 , q3 ),2i, k=1∂qkhi ∂qi152Ответы и решениягде3∂xl ∂xl=,∂qi ∂qkgik[4.204.21]§ 4. Уравнения движения. Законы сохраненияФункция Лагранжа не изменяется при поворотах вокруг оси z, поэтомуинтегралом движения являетсяl=1egpϕ = mr2 ϕ̇ sin2 θ − c cos θ = Jz .приводит к уравнениямm3gsk q̈k + mk=13k, l=1гдеΓs, kl= 12Γs, kl q̇k q̇l = − ∂U∂qs∂gsk∂gls∂gkl+−∂ql∂qk∂qs(s = 1, 2, 3),(1).б) Введя обозначение q4 (x, t) = t, можем сохранить все выкладки34и формулы предыдущего пункта, лишь заменивна .11Другие же повороты системы приводят к изменению функции Лагранжана полную производную функции координат по времени, которая можетбыть отброшена1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
