1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 14
Текст из файла (страница 14)
в течение одного периода уравнение (1) описывает траекториюс такой же точностью, как уравнение неподвижного эллипса. Однако уравнение (1) сохраняет ту же точность в течение многих периодов. Поэтомуименно это уравнение можно назвать «правильным нулевым приближением».Иначе говоря, в уравнении (1) учтены только накапливающиеся эффекты первого порядка.2.19. Поле U (r) = −α/r1+ε мало отличается от кулоновского, поэтому орбита частицы в этом поле представляет собой медленно прецессирующий эллипс.
Разлагая U (r) по ε, представим его в видеU (r) = U0 (r) + δU,|A|p= Mmα , e = α .22Dв кулоновском поле1 . В результате вычисления получаем Ω = M/2mD2 .Уравнение траектории можно представить в виде1 Удобноперейти к интегрированию по ξ, причём (см. [1], § 15)r = α (1 − e cos ξ).2|E|98Ответы и решениягде,U0 (r) = − αrαrδU = εr ln R ,[2.20 бα = αR−εи R — постоянная, равная характерному размеру орбиты.Смещение перигелия за периодT∂δΔϕ =δU dt∂M0(см. задачу 2.17) вычисляем, сделав замену (1 − e cos ξ),r=− α2Eгдеt = T (ξ − e sin ξ),2π21 + 2EM2 ,mαe=T = πα2πln§ 2. Движение частиц в поляхпо осям x и y, т.
е. к эллиптической траектории (ср. [1], задача 3 к § 21).Точное уравнение траектории удобно получить в цилиндрических координатах, используя интегралы движения E и M = (0, 0, M ):2M 1 + r2 /l2 drmgr2+ M 2., Uэфф =ϕ=22l2mrr 2m(E − Uэфф)221 + r2 = 1 + r 2 + . . .l2lm2|E|3α(1 − e cos ξ)dξ =2|E|R99Если пренебречь последним слагаемым, то задачу о движении частицыудобно решать в декартовых координатах. Это приводит к гармоническимколебаниям с частотойgω=lРазложение(см. [1], § 15).
ПолучаемδΔϕα ∂Ω== ε2π ∂MT2.21]приводит к уравнениюM drdrϕ=+ M2= ϕ0 (r) + Ωt,r2 2m(E − Uэфф) 2ml2m(E − Uэфф)где ϕ0 (r) соответствует движению по эллипсу, а0ε|E|= − π ∂e∂M2π0√cos ξ dξ1 − 1 − e2= 2πε.T1 − e cos ξe2При ε > 0 направление прецессии орбиты совпадает с направлением движения частицы по орбите, а при ε < 0 — противоположно ему.2.20 а.β a 2 + b2Ω = − 3 mω 4 4 M (см. также [33], § 4).2a b |M |2.20 б.Функция Лагранжа+ mg * 2++*x2 + y 2 * 2x + y2 + mẋ + ẏ 2 =L = m ẋ2 + ẏ 2 −2222ll+ mg 2 mr2 2*= m ṙ2 + r2 ϕ̇2 −r + 2 ṙ .22l2lΩ = M 2 = ab2 ω2ml2lопределяет его прецессию.2.21.Функция Лагранжа системы Земля–Луна равнаL=m1 2 m2 2 Gm0 m1Gm0 m2Gm1 m2,++Ṙ +Ṙ +2 12 2R1R2|R1 − R2 |где R1 и R2 — радиус-векторы Земли и Луны в гелиоцентрической системекоординат, m1 , m2 — их массы, m0 — масса Солнца, G — гравитационнаяпостоянная.
Введем координаты центра масс Земли и Луны (точка O нарис. 93 а) и их взаимного расстоянияR=m1 R 1 + m2 R 2,m1 + m2r = R2 − R1 ,100Ответы и решения[2.21тогдаR1, 2 = R + r1, 2 ,r1, 2 = ∓ mm r,1, 2m1 m2m=≈ m2 .m1 + m2Использовав разложение#−1/2"21 = 1 1 + 2Rri + ri=RiRR2R2(Rri )2Rri112=− ri + . . .3− 3 +RR2R3R22.21]где χ — угол между векторами R и r. Этот угол меняется на 2π за 29,5суток (синодический месяц — промежуток времени между новолуниями).Усредняем (2) за этот промежуток, что приводит к замене cos2 χ → 1 .2В итогеβδU = − 2 .RСмещение перигелия за год (см. [1], задача 3 к §15)δϕ =6πβ3πm2=2m1α1 R2m1 r12 m2 r22 ≈ m2 r2 ,получаемL = L1 + L2 − δU,∼ 100 · 2πБез учета δU задачи о движении центра масс O и относительном движении разделяются и сводятся к задаче Кеплера (мы будем говорить далеепросто о движениях Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли).а) В задаче о движении Земли вокруг Солнца малость δU характеризуется отношениемm r2δU∼ 2 2 ∼ 10−6 .(Gm0 m1 /R)m1 RСчитая орбиту Луны окружностью радиуса r, лежащей в плоскости орбитыЗемли, имеемβ = 1 Gm0 m2 r2 ,4Следует заметить, что полное смещение перигелия Земли за столетие, равное 1158, обусловлено главным образом влиянием Юпитера и Венеры.Интересно, что оценка релятивистской поправки дает величину(1)m + m2 2 Gm0 (m1 + m2 )Ṙ +L1 = 1,2RGm0 m (Rr)2Gm1 m2m22, δU = −−r .3L2 = ṙ +r22R3R2+2β *3 cos2 χ − 1 ,3Rα1 = Gm0 m1 .100δϕ = 7,7 .m1 r1 + m2 r2 = 0,δU = − 2r,RСмещение перигелия за столетиеи учитывая, чтоРис.
93 а101§ 2. Движение частиц в полях(2)Vc2∼ 1 ,V ≈ 30 км/с(см. [2] § 39, § 101 и [33], § 41.2).б) Исследуя движение Луны вокруг Земли, также можно считать δUмалой добавкой к L2 :2δU∼ Ω2 ∼ 10−2 ,(Gm1 m2 /r)ωΩ2 =Gm0,R3ω2 =Gm1.r3Здесь период 2π/ω = 27,3 суток — звездный (сидерический) месяц, а период 2π/Ω равен 1 году.
Добавка δU приводит к различным искажениям орбиты Луны — пульсациям эксцентриситета, смещению перигелия (ср. с задачей 2.38 б) и др. Мы рассмотрим лишь одно из них, пренебрегая их взаимным влиянием и принимая невозмущенную орбиту Луны за окружность;принимаем также R = const.Введём геоцентрическую систему координат Oxyz с осью x, направленной вдоль линии пересечения плоскости орбиты Луны с плоскостьюорбиты Земли (линия лунных узлов), осью y, лежащей в плоскости орбиты102Ответы и решения[2.21Земли, и осью z, перпендикулярной этой плоскости и направленной в северную небесную полусферу (рис. 93 б).
Координаты Солнца в этой системеравны−R = R(cos ϕ, sin ϕ, 0), ϕ = Ωt + ϕ0 ,а координаты Луны равныr = r(cos ψ, cos θ sin ψ, sin θ sin ψ),ψ = ωt + ψ0 ,где ϕ0 и ψ0 определяются моментами прохождения Солнца и Луны черезось x.Усреднение величиныза месяц сводится к заменамsin ψ cos ψ → 0,так что+*(Rr)2 месяц = 1 R2 r2 cos2 ϕ + cos2 θ sin2 ϕ ,2а усреднение за год — к заменамcos2 ϕ → 1 ,2что дает103В итоге+Gm0 mΩ2 2 *23cosrθ−1.8R3За поворотом плоскости орбиты можно проследить, рассматривая движение вектора момента импульса M = m[r, ṙ], перпендикулярного этойплоскости. Уравнение его движения Ṁ = K, гдеK = − r, ∂δU∂rδU = −sin2 ϕ → 1 ,2*+(Rr)2 = 1 R2 r2 1 + cos2 θ .4Так как момент сил K перпендикулярен вектору M, он приводит лишьк его повороту.
При этом поворачиваются и оси x, y, так что угловая скорость Ωпр прецессии вектора M направлена вдоль оси z. Её можно найтииз условия[Ωпр , M] = K,что дает(Ωпр )z = −(Rr)2 = R2 r2 (cos ϕ cos ψ + cos θ sin ϕ sin ψ)2sin2 ψ → 1 ,2§ 2. Движение частиц в полях— момент сил, действующих на Луну. Поскольку изменение угла θ естьповорот вокруг оси x, тоKx = − ∂δU ,∂θт. е.#"3Gm0 mΩ2 2r sin θ cos θ, 0, 0 .K = −4R3Рис.
93 бcos2 ψ → 1 ,22.21](3)Kx Kx 3Ω2 cos θ ≈ − Ω .==−2ω17,3Mymωr2 sin θТаким образом мы нашли, что период прецессии орбиты Луны составляет2π/Ωпр = 17,3 года. Это движение называется отступлением лунных узлов.Истинное значение этого периода 18,6 года. Учитывая грубость сделанныхнами приближений, можно признать хорошим согласие нашего результатас истинным.Этот период определяет период повторения циклов солнечных и лунных затмений.
Его (точнее, его утроенное значение, содержащее целое число 19 765 суток) знали еще жрецы древнего Вавилона.Заметим, что ограничившись усреднением за месяц, т. е. используя (3),мы обнаружили бы неравномерность прецессии в течение года:Ωпр → 1 − 1 cos 2ϕ Ωпр .2104Ответы и решения[2.22Аналогично задаче 2.18 имеем2a∂ea∂δU =Ω=δU (a) + δU (a) =2 ∂M2∂M%aa= − mα δU (a) + δU (a) M .2|M |2.22.2.24]§ 2.
Движение частиц в поляхразлагая подынтегральное выражение по δU = γ/r3 , в видеϕ = ϕ0 (r) + δϕ(r),гдеr2Смещение перигелия за периодr2+δr2Δϕ =r1 +δr1r5r2+δr2(E − Uэфф − δU )3/2 dr.r1 +δr1M2 ,p = mαС точностью до второго порядка по δU имеем(4)21 + 2EM2 .mαe=pr = 1 + e cos(ϕ − δϕ(r)).δ1 ϕ = T ∂ δU ,∂M(6)В правой части (6) можно провести разложение по δϕ(r), а также подставить в δϕ(r) зависимость r = r0 (ϕ), определяемую, согласно (5),∂ 2 [T (δU )2 ],2∂M ∂Epr = 1 + e cos ϕ + eδϕ(r0 (ϕ)) sin ϕ.где f — среднее значение функции f (r) за период T невозмущённогодвижения (ср.
с задачей 2.17). Скорость прецессииПредставим уравнение траекторииM drϕ=,2γMα2r 2m E −+ r − 32r(7)Вычисляя1 интеграл (4), находимδ1 ϕ δ2 ϕ δ1 ϕ δTδ1 ϕ + δ2 ϕ=,Ω=+−TTT + δTT2δT = − ∂ (T δU ).∂E2mr(3)Учитывая же в (2) поправку δϕ(r), получим вместо (5)Δϕ = 2π + δ1 ϕ + δ2 ϕ,2.24.(2)Пренебрегая в (2) поправкой δϕ(r), получим, разумеется, уравнение траектории в кулоновском поле (см. [1], § 15)p(5)r = 1 + e cos ϕ,гдеможно представить в видеδ2 ϕ = −γM dr3 .22m E − M 2 + αr2mrδϕ(r) =M dr2r2m (E − Uэфф − δU )√2Δϕ = − 4 2m ∂3∂M ∂EM dr,22m E − M 2 + αr2mrϕ0 (r) =Учёт следующих членов разложения δU по (r − a) даст в Ω вклад e2 Ω.2.23.105δϕ(r0 (ϕ)) =,m2 αγ1 + e cos ϕ2e2 + 12[2e + (e + 1) cos ϕ] .
(8)−3ϕ −=sin ϕ −eM4e2 sin ϕ1 Удобно(1)представить (4) в видеδϕ =∂∂M√r32mγ drE−M2 + αr2mr 2106Ответы и решения[2.24m2 αγПодставляя (8) в (7), с точностью до первого порядка по ζ =полуM4чаемp2e2 + 1=1+ecos[(1+3ζ)ϕ]+ζsin2 ϕ−re1 + e cos ϕ[2e + (e2 + 1) cos ϕ] (9 а)−ζeилиpr = 1 + e cos λϕ + f cos 2ϕ,λ = 1 + 3ζ,e3 − 2e2 + 5e − 1p =p 1+ζ,2ee4 − 2e3 − e2 − 2,e = e 1 + ζ2e23(9 б)2e + 2e + e + 1.2eВблизи ϕ = 0, π разложение (2) становится неприменимым, так как δϕнеограниченно возрастает. Однако уравнение траектории (9) справедливои в этих областях (ср.
с задачей (1.8)).В случае инфинитного движения (E 0) уравнение (9) решает задачу.Если же E < 0, то (9) есть уравнение траектории лишь на нескольких оборотах1 , пока остается 3ζϕ 1. Сохраняя в (8) только накапливающуюсячасть δϕ = −3ζϕ, получаем уравненияpr = 1 + e cos λϕ,λ = 1 + 3ζ,(10)и перейти к интегрированию по ϕ согласно (5):δϕ =2∂ m γα∂M M 3=−описывающие траекторию на большом участке («правильное», в отличиеот (5), нулевое приближение; ср. с задачей 2.18). Нетрудно также видоизменить уравнение (9) так, чтобы оно описывало траекторию на большомучастке с точностью до первого порядка включительно:p(11)r = 1 + e cos λϕ + f cos 2λϕ.2.25.
Достаточно убедиться, что выраженная через координаты цен-m2 γα ∂ϕ3m2 γαm2 γα ∂esin ϕ +(1 + e cos ϕ).(ϕ + e sin ϕ) +M4M 3 ∂MM 3 ∂M(8’)m1 r1 + m2 r2и относительного движения r = r2 −r1 функцияm1 + m2Лагранжа разбивается на две части:L = L1 (R, Ṙ) + L2 (r, ṙ),m + m2 2Ṙ + (e1 + e2 )ER,L1 (R, Ṙ) = 12ee ee L2 (r, ṙ) = m ṙ2 − 1r 2 + m m1 − m2 Er.122Функция L1 (R, Ṙ) определяет движение центра масс, происходящее также, как движение частицы с массой m1 +m2 и зарядом e1 +e2 в однородномполе E. Относительное движение, определяемое L2 (r, ṙ), происходит такm1 m2же, как движение частицы с массой m =(приведённая масса)m1 + m2в кулоновском и однородном полях.Такой же результат можно получить, конечно, и исходя из уравненийдвижения частиц.2.26.Функция Лагранжаm1 ṙ21 + m2 ṙ22ee+ c1 A(r1 )ṙ1 + c2 A(r2 )ṙ22разбивается на две части, содержащие только R, Ṙ и r, ṙ (обозначенияeeзадачи 2.25, c — скорость света), если m11 = m22 :L=L=(1 + e cos ϕ) dϕ =2.27.22m1 + m2 2 e 1 + e 2m ṙ2 + e1 m1 + e2 m2 A(r)ṙ.A(R)Ṙ+Ṙ +c24c(m1 + m2 )2Nμn ξ̇n2 ,T =12Находя из (5)∂e = e2 − 12M = ∂e cos ϕ − e ∂ϕ sin ϕ,2∂M∂M∂MeMmα rи подставляя в (8 ), получаем (8).1 В частности, радиус-вектор r должен быть периодической функцией ϕ.107§ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
