1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 16
Текст из файла (страница 16)
центр её перемещается по окружности радиуса b. Угловая скорость смещения центра окружностиγ = ∂ U ,∂pϕгде усреднение U производится по равномерному движению по окружности. Ограничимся случаем, когда a b. В этом случае можно считатьпросто(10)U = − α ,bтак чтоα .γ=2mΩb3Заметим, что в этом случае линейная скорость дрейфа равна c|E|/B, гдеe|E| = α/b2 — сила, действующая на частицу на расстоянии b (ср. [3], § 22).2.34. Задача о движении двух одинаковых заряженных частиц в однородном магнитном поле сводится к задачам о движении центра масс и оботносительном движении (см. задачу 2.26).Координаты центра массX = R cos ωt,(1)Y = −R sin ωt,где ω = eB/mc.Относительное движение совпадает с движением частицы с массой m/2 и зарядом e/2 в поле U = e2 /r и в однородном магнитном поле B.
Это движение подобно рассмотренному в предыдущей задаче, тольков формулах следует заменить m на m/2, e на e/2 и α на −e2 . Ограничимсяслучаем, когда радиус орбиты a мал по сравнению с расстоянием до центра поля (см. рис. 98, б). Частоту радиальных колебаний с бо́льшей, чемРис. 98в ряд вблизи r = b (см.
[1], § 21). Из условия Uэфф(b) = 0 находимpϕ =m2 ω 2 b 4 − m e 2 b ≈ m b 216222Uэфф(b)Отсюда для ωr =mяние между частицамиω −γ ,22γ = 2e 3 .mωb(2)γ2получаем окончательно ωr = ω − , а рассто-r = b + a cos(ωr t + α).(3)Для нахожденияϕ(t) воспользуемся сохранением обобщенного импульсаpϕ = m r2 ϕ̇ + ω . С учетом (2), (3) получаем22ϕ(t) = −γt − a sin(ωr t + α) + ϕ0 .b(4)Воспользовавшись (3) и (4), можно представить координаты относительного движения в виде⎧γt⎪⎪x = r cos ϕ = b cos(γt − ϕ0 ) + a cos ωt ++β ,⎪⎪2⎪⎨γt(5)⎪y = r sin ϕ = −b sin(γt − ϕ0 ) − a sin ωt ++β ,⎪⎪2⎪⎪⎩β = α − ϕ0 .118Ответы и решения[2.34Здесь первые слагаемые отвечают движению центра окружности с дрейфовой скоростью bγ, а вторые — движению по этой окружности с угловойγскоростью ω + .2.36]119§ 2.
Движение частиц в полях2.35. Убедиться в постоянстве данной величины несложно, используяуравнения движения (ср. [1], § 15), причём удобно представлять её в виде2AF + 1 [F, r]2 ,2где вектор ЛапласаA = [v, M] − αrr .При малых значениях F траектория близка к эллипсу, большая полуоськоторого направлена по вектору A, а эксцентриситет e = |A|/α. В этомслучае AF ≈ const, или e cos ψ = const, где ψ — угол между A и F.Рис. 99Рис. 100y= Y ± удобно представить2Координаты частиц x1, 2 = X ± x , y1, 22в виде⎧b⎪⎨ x1, 2 = ± cos(γt − ϕ0 ) + ρ1, 2 cos(ωt + ψ1, 2 ),2⎪⎩ y1, 2 = ∓ b sin(γt − ϕ0 ) − ρ1, 2 sin(ωt + ψ1, 2 ),2(6)2.36.
Появление малой добавки к потенциальной энергии δU (r) приводит к изменению величин, характеризующих движение частицы (момент,положение перигелия и т. д.), причём за небольшой промежуток времени(несколько периодов невозмущенного движения) они также изменяются мало. Однако за длительное время изменения накапливаются, так что некоторые величины могут измениться во много раз.В частности, орбита в течение малого промежутка времени остаетсяэллипсом. Большая полуось этого эллипса a = α определяется%энергией2|E|где2γt+β ,R2 + a ± aR cos42γt± a sin+β2=.γt2R ± a cos+βρ1, 2 =tg ψ1, 2и не изменяется за длительное время.
Эксцентриситет же e =и ориентация подвержены накапливающимся изменениям.а) Изменение момента определяется уравнениемṀ = [r, F].(1)Усредним это уравнение по периоду2Итак, центры окружностей, по которым движутся частицы, вращаются вокруг начала координат с угловой скоростью γ (дрейфуют со скоростью bγ/2), а радиусы этих окружностей пульсируют с частотой γ/2(рис. 99).Механизм «перекачки» энергии проще всего понять в другом предельном случае: a b (расстояние между центрами орбит частиц мало посравнению с радиусами орбит (рис. 100)). Очевидно, работа, совершаемаясилами взаимодействия над второй частицей, положительна, а над первой —отрицательна в течение многих периодов.M21 − mαaṀ = [r, F],гдеr = 1T(2)Tr(t) dt.(3)Рис.
1010Для усреднения используем систему координат с осью Oz, параллельной M, и осью Ox, параллельной A (рис. 101). (ЗдесьA = [v, M] − αrr120Ответы и решения[2.36— дополнительный интеграл в задаче Кеплера; напомним, что вектор Aнаправлен от центра поля к перигелию, а |A| = αe.) Очевидно, что вектор−r параллелен Ox. Подставляяx = a(cos ξ − e), t = T (ξ − e sin ξ),2πполучаемx = a2π2π(cos ξ − e)(1 − cos ξ) dξ = − 3ae .2(4)02.36]Итак, траектория представляет собой эллипс,покачивающийся около направления F и меняющийв такт покачиваниям эксцентриситет (рис.
102). Направление движения частицы по эллипсу также изменяется (вместе со знаком M ). Период колебанияэллипса 2π/Ω гораздо больше периода обращениячастицы по эллипсу T .в) В общем случае рассматриваем также изменение вектора A. Используя уравнения движения, легко получитьРис. 102Таким образом,r = − 3ae A = − 3a A.2 |A|2αṀ = 3ae F sin ψ,2(6)где ψ — угол между A и F. Учитывая, чтоe cos ψ = e0 = const(см. задачу 2.35), и исключая из (6) e и ψ, находим3aFM2 .Ṁ =1 − e20 − maα2(7)Ω = 3F2а такжеe=%amα ,M0 =%maα(1 − e20 ),%1 − (1 − e20 ) cos2 (Ωt + β).(10)Для усреднения (10) используем равенства/0⎧2⎪dx⎪xẋ == 0,⎪⎪dt 2⎪⎪⎪12⎪⎪⎪y2⎪⎪⎨y ẏ = d= 0,dt 20/⎪⎪⎪d⎪⎪xy = 0,xẏ + y ẋ =⎪⎪dt⎪⎪⎪⎪⎪⎩ xẏ − y ẋ = M .m(11)Получаем(8)Интегрируя уравнение (8), получаемM = M0 cos(Ωt + β),1 [F, M] + [v, [r, F]].Ȧ = m(5)б) Если сила F перпендикулярна к M, то из соображений симметрииясно, что орбита — плоская кривая, а вектор M сохраняет своё направление(с точностью до знака).
Перепишем (2), (5), опуская знак усреднения, в видегде121§ 2. Движение частиц в полях(9)Ȧ = 3 [F, M].2m(12)Итак, для M и A, усреднённых по периоду (знак усреднения опускаем),имеем систему уравнений⎧3 [F, M],⎪⎨ Ȧ =2m(13)⎪⎩ Ṁ = 3a [F, A].2αКомпоненты этих векторов, параллельные F, сохраняются:MF = const,AF = const(14)122Ответы и решения[2.36— результат, который легко получить и из других соображений. Для поперечной компоненты M, равнойM⊥ = M −F(MF),F2(15)из (13) получаем уравнениеM̈⊥ + Ω2 M⊥ = 0.(16)Его решение запишем, введя систему координат OX1 X2 X3 с осью X3 , параллельной F:M1 = B1 cos Ωt + C1 sin Ωt,(17)M2 = B2 cos Ωt + C2 sin Ωt.Теперь из (13) находим⎧3F (B sin Ωt − C cos Ωt),⎪⎨ A1 = −222mΩ⎪⎩ A2 = 3F (B1 sin Ωt − C1 cos Ωt).2mΩ2.37]§ 2.
Движение частиц в полях123Напомним, что мы пренебрегали поправками первого порядка по F,если они не приводили к накапливающимся эффектам. Решение справедливо для отрезка времени порядка нескольких периодов прецессии орбиты.Не приведёт ли учёт следующих приближений к качественному изменению характера движения (например, к уходу частицы на бесконечность)?Точное решение задачи о движении частицы в поле U = − αr − Fr, возможное в параболических координатах (см. задачу 12.12 б), показывает, что призаданном E < 0 и достаточно малых F подобных эффектов не возникает.Подчеркнём, что появление накапливающихся изменений орбиты поддействием сколь угодно малого возмущения связано с вырождением невозмущённого движения.В [6], § 7.3 можно найти решение этой задачи с использованием канонической теории возмущений.2.37.
Согласно теореме Лармора (см. [33], § 17.3 и [2], § 45) орбитачастицы в однородном магнитном поле B вращается вокруг центра кулоqB(18)Постоянные B1, 2 , C1, 2 определяются, как и следовало ожидать, начальными значениями векторов M и A.Конец вектора M описывает эллипс с центром на оси X3 в плоскости μ, параллельной OX1 X2 (рис. 103). Конец вектора A такжеописывает эллипс с центром на оси X3 в плоскости σ, параллельной μ, подобный первому и повернутый на π/2. При этом A все время перпендикулярен к M. Плоскость траектории перпендикулярна к M, вектор A определяет направлениена перигелий орбиты.Итак, плоскость траектории поворачивается(«прецессирует») вокруг F.
Угол, составляемыйплоскостью орбиты ρ с F, колеблется при этомоколо некоторого среднего значения. КолеблютсяРис. 103около среднего значения эксцентриситет и уголмежду проекцией F на плоскость ρ и направлением на перигелий. Все эти движения происходят с частотой Ω., где q и m — заряд и массановского поля с угловой скоростью Ω = −2mcчастицы, а c — скорость света. При этом момент импульса M и векторЛапласа A изменяются со скоростямиṀ1 = [Ω, M],Ȧ1 = [Ω, A].(1)Усреднённые за период скорости изменения векторов M и A под влиянием постоянной силы F = qE определены в предыдущей задаче (см.формулу (13)):Ṁ2 = 3a [F, A], Ȧ2 = 3 [F, M].(2)2α2mУсреднённые скорости изменения векторов M и A под влиянием обоих полей складываются:Ṁ = Ṁ1 + Ṁ2 , Ȧ = Ȧ1 + Ȧ2 .(3)а) Направим ось x по электрическому, а ось y по магнитному полю.Тогда уравнения (3) принимают видȦx = −ΩAy , Ȧy = ΩAx − 3F M, Ṁ = 3aF Ay .2m2αРешение этой системы:Ax = − Ωω C cos(ωt + β) + C1 ,Ay = C sin(ωt + β),M = 3aF C sin(ωt + β) + 2mΩ C1 ,2αω3F124Ответы и решения[2.37где ω = Ω2 + 9aF 2 /4mα, a постоянные C, β, C1 определяются начальными значениями A и M.Итак, конец вектора A движется по эллипсу с осями, параллельнымиосям x и y (рис.
104) и центром на оси x. Орбита при этом покачивается(или вращается при ΩC > ωC1 ), причём периодически изменяется эксцентриситет. При 9aF 2 C > 4mαΩωC1 эллиптическая орбита периодическивытягивается в отрезок.2.38 а]§ 2. Движение частиц в полях1252.38 а. Пусть частица движется в плоскости xz.
Уравнения для вектора Лапласа A (см. формулу (10) из задачи 2.36, в которую надо подставитьF = −∂δU /∂r) можно привести к виду6βȦx = 2β(5xz ż − 2ẋz 2 ) = − m zM + 2β d xz 2 ,dt4βȦz = −2β(4ẋxz − żx2 ) = − m xM − 2β d xz 2 ,dtгде M = m(z ẋ − xż) — медленно меняющаяся функция времени.После усреднения этих уравнений получаемβaȦx = −6βM z = 9 mα Az M,βaȦz = −4βM x = 6 mα Ax M,Рис.
104б) ОбозначивΩF = 3 F2%где a — большая полуось эллипса. Отсюда%a , N = A mα ,mαaзапишем (3) в видеṀ = [Ω, M] + [ΩF , N], Ṅ = [Ω, N] + [ΩF , M].ȦxȦzA2x = 3 A2z + const.2Зависимость A от времени можно найти из уравненияdAx,t = mαM Az9βaгдеи векторы%amα (J1 − J2 )полностью определяются через свои начальные значения.Мы не будем подробно анализировать этот ответ.
Заметим только, чтоω1 = ω2 , если электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны.M = J1 + J2 , A =3Az,2Axт. е., в отличие от задачи 2.36 б, конец вектора A колеблется не вдоль прямой, а вдоль гиперболыСкладывая и вычитая эти уравнения, находимJ̇1, 2 = [ω 1, 2 , J1, 2 ],J1, 2 = 1 (M ± N), ω 1, 2 = Ω ± ΩF .2Таким образом, векторы Ji , i = 1, 2 вращаются с постоянными угловыми скоростями ωi :ωJi (0)ω i(1 − cos ωi t),Ji (t) = Ji (0) cos ωi t + ω i , Ji (0) sin ωi t + ω iiωi2=в котором M и Az должны быть выражены как функции Ax .Например, для случая, когда в начальный момент Az (0) = 0, Ax (0) == αe0 (e0 — начальное значение эксцентриситета), имеем22Az = α(u2 − e0 ), M = 5 mαa(c2 − u2 ),33гдеAu = αx ,c=3 + 2e20.5126Ответы и решения[2.38 бС течением времени орбита медленно поворачивается в плоскости xz и превращается в отрезок, составляющий с осью x угол 3 − 3e20ψ = − arctg 2 k, k = !,33 + 2e20за времяτ= 13βmα10a3ce0dx.(u2 − e20 )(c2 − u2 )Входящий сюда интеграл приводится к полному эллиптическому интегралупервого рода (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
