1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Поэтому интегралом движения является и проекция Jzна любую другую ось, а значит, и вектор J.Действие, соответствующее данной функции Лагранжа, не изменяетсяпри преобразовании подобия. Поэтому интегралом движения являетсяpr r − 2Et = mṙr − 2Et(ср. с задачей 4.13 б).Какой смысл имеют в уравнениях (1) члены, содержащие Γ1, k4 (k = 1,2, 3, 4), если ql — декартовы координаты во вращающейся системе отсчета(см. задачу 4.8)?4.20. Так как предложенная функция Лагранжа только слагаемымegL1 = − c ϕ̇ cos θ отличается от функции Лагранжа свободной частицы, токомпоненты силы в сферической системе координат (см. задачу 4.18 а) имеют видFr = 0,4.21.Уравнения движения−L I˙ = ϕA − ϕB ,Будем считать, что источник напряжения представляет собой конденсаторочень большой ёмкости C0 , а заряд его в момент, когда q1 = 0, есть Q. Энергия системы, включающей источник и индуктивность, E0 =2E = E0 −и действительно совпадают с компонентами силы Лоренцаe [v, B] = eg [v, r].ccr32Поскольку ∂L = 0 интегралом движения является энергия E = mv .2∂tL q̇12Q2.= U q1 +22C0Именно к такому значению энергии приводит предложенная функцияЛагранжа.Подобно этому энергия частицы m в однородном поле силы −F (t)2есть mẋ + F x.21 Например,egJ = m[r, v] − c rr .(Q + q1 )2+2C0a Q/C0 = U , получаем1 d ∂L1 = eg θ̇crr sin θ dt ∂ ϕ̇Разберёмся, каким образом возникает интеграл движенияq2= ϕB − ϕA .C+ L q̇12 .
Смещая начало отсчета энергии и рассматривая предел C0 → ∞,eg ϕ̇ sin θ∂L1=Fθ = 1r,cr∂θFϕ = −153при повороте вокруг оси x на малый угол δα к L добавляется δL =eg d(ctg θ cos ϕ).= δα cdt154Ответы и решения[4.214.24]§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения155К такой же функции Лагранжа можно прийти от функции Лагранжа электромагнитного поля и взаимодействия поля с зарядами (см. [3],§§ 27, 28):(1)(E2 − B2 ) dV + 1c Aj dV − ϕρ dVL= 18πПри наличии внешнего поля Be , создаваемого токами je , следует заменить в (1) B, A, j на B+Be , A+Ae , j+je . Добавка к функции Лагранжа (1)с учетом уравнения c rot Be = 4πje легко приводится к виду112Be dV + c Ae j dV.8π(в гауссовой системе единиц).Вообще говоря, электромагнитное поле есть система с бесконечнымчислом степеней свободы.
Но поля в конденсаторе и в соленоиде определяются зарядом q2 и током q̇1 . Используя уравненияОтбрасывая слагаемые, зависящие лишь от внешнего поля, и учитывая, чтодля тонкого провода j dV = q̇1 dl, где dl — элемент длины провода, получаемq̇1q̇11 A j dV = q̇1Ae dl = crot Ae dS = cBe dS.eccc rot B = 4πj,div E = 4πρ(и учитывая, что поля сосредоточены в ограниченном объеме), получаемϕρ dV = 14πϕ div E dV =111=div(ϕE) dV −E grad ϕ dV =E2 dV,4π4π4πи аналогично1cAj dV = 14πтак чтоL= 18πB2 dV,+* 2B − E2 dV.Поэтому функция Лагранжа может быть выражена через энергии электрического поля в конденсаторе18πE2 dV =q222CПри наличии внешнего электрического поля Ee (или сторонних полей) получаемqa ϕae− ϕe ρ dV = −a(qa и ϕae — заряд и потенциал a-го проводника во внешнем поле).Варьирование q1, 2 представляет собой, таким образом, произвольноеварьирование зарядов и токов, сопровождаемое соответствующим ему варьированием потенциалов.
Легко видеть, что при таком варьировании должен быть справедлив принцип наименьшего действия.L q̇12q2− 2 + U (q2 − q1 );22CL q̇ 2q2б) L =−;22C(q1 + q2 )2q2q2в) L = 1 L1 q̇12 + 1 L2 q̇22 − 1 − 2 −.222C12C22C4.22.а) L =4.23.а) L =22L (x)q̇ 2q2б) L = mẋ +− kx + mgx −.2и магнитного — в индуктивности1B2 dV = 1 L q̇128π2(см. [3], § 2.32).ml2 ϕ̇2L q̇ 2q2++ mgl cos ϕ −;222C(ϕ)222C4.24. Пусть ϕ — угол поворота рамки вокруг оси AB, отсчитываемыйот направления магнитного поля, q̇ — ток в рамке (для него положительнымсчитается направление от A к D).
Функция Лагранжа системыL = 1 ma2 ϕ̇2 + 1 L q̇ 2 + Ba2 q̇ sin ϕ.22156Ответы и решения[4.244.26]§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения157и импульс, сопряжённый циклической координате q и имеющий смысл полного магнитного потока через рамку,причём при E → Umax период движения возрастает до бесконечности (см.задачу 1.5).
При 0 < E < Um возможны колебания либо в интервалеϕ1 < ϕ < ϕ2 , либо в интервале π − ϕ2 < ϕ < π − ϕ1 , где√Φ + 2L Eϕ2 = arcsin 0.Ba2∂L = L q̇ + Ba2 sin ϕ = Φ .0∂ q̇Как изменится по сравнению с описанным характер движения рамки,если она обладает малым сопротивлением?Интегралы движения — энергияE = 1 ma2 ϕ̇2 + 1 L q̇ 222(1)Поэтому ток в рамке однозначно определяется её положениемΦ0 − Ba2 sin ϕ.q̇ =LПодставляя это значение q̇ в (1), получаем*+2Φ0 − Ba2 sin ϕ12 2E = ma ϕ̇ + Uэфф(ϕ), Uэфф (ϕ) =.22L4.25.
а) Уравнения движения системы можно получить из функцииЛагранжа с добавкой, учитывающей связь (см. [4], § 2.4)L∗ = m (ẋ2 + ż 2 ) − mgy + λ(z − ax2 ),2где λ — зависящий от времени множитель Лагранжа. Уравнения движения(2)Таким образом, задача о движении системы сводится к одномерной.Рассмотрим подробнее случай 0 < Φ0 < Ba2 . График Uэфф (ϕ) для этого случая приведен на рис.
114. Видно, что при E > Umax = (Φ0 ++ Ba2 )2 /2L движение рамки представляет собой вращение, причём ϕ̇ является периодической функцией времени с периодомπ/2√dϕ.T = 2maE − Uэфф(ϕ)mẍ = −2λax,mz̈ − mg = λ(1)(2)вместе с уравнением связи z = ax2 полностью определяют движение частицы. В правой стороне уравнений (1), (2) стоят компоненты силы реакции по соответствующим осям Rx = −2λax и Rz = λ. Воспользовавшисьуравнением связи, легко выразить их через координату и скорость частицы:Rx = −2axRz ,−π/2б)Rz =(2aẋ2 − mg)mm + 4a2 x2.⎧2⎪⎨ mr̈ − mg cos ϕ − mrϕ̇ = λ,mr2 ϕ̈ + 2mrṙ ϕ̇ + mgr sin ϕ = 0,⎪⎩r = l.Сила реакции направлена вдоль r и равнаλ = −mg cos ϕ − mlϕ̇2 .Рис.
114При Umax > E > (Φ0 − Ba ) /2L = Um рамка совершает периодические2 2√Φ0 − 2L Eколебания в интервале углов ϕ1 < ϕ < π −ϕ1 , где ϕ1 = arcsin,Ba24.26.L∗ = m (r2 ϕ̇2 + ṙ2 ) + mgr cos ϕ + λ(ϕ − Ωt);2λ = 2mrṙΩ + mgr sin Ωt — обобщённая сила, отвечающего координате ϕ(момент силы).158Ответы и решения4.27.а) E = − ∂L +∂ts[4.27q̇i Ri .i=1б) Закон преобразования левых частей уравнений движения приведенв задаче 4.3: ∂qk d ∂Ld ∂L− ∂L =− ∂L .dt ∂ Q̇i ∂Qi∂Qi dt ∂ q̇k∂qkkТаким же должен быть и закон преобразования правых частей: ∂qki =RRk .∂Qi(1)k4.30]§ 4. Уравнения движения.
Законы сохраненияТаким образом, уравнения движения системы с неголономными связями отнюдь не совпадают с уравнениями Лагранжа, хотя уравнения связии позволяют исключить из функции Лагранжа некоторые координаты и скорости.4.29.Лагранжа4.28. Указанные в условии уравнения получаем, исключая λβ из уравненийd ∂L − ∂L = λ , β = 1, . . . , r,βdt ∂ q̇β∂qβd ∂L − ∂L = − λ b ,β βndt ∂ q̇n∂qnrn = r + 1, . . .
, s,(Δqn = qn − qn−1 ).(1)При a → 0∂L1 ∂Lna ∂ q̇n → ∂(∂q/∂t) ,1 ∂Ln∂La ∂qn → ∂q ,∂Ln+1∂Ln1∂∂La ∂(Δqn ) − ∂(Δqn+1 ) → − ∂x ∂(∂q/∂x) ,k∂ q̇iа) Учитывая, что qn входит в Ln и Ln+1 , получаем уравненияd ∂Ln = ∂Ln + ∂Ln − ∂Ln+1dt ∂qn∂qn∂(Δqn ) ∂(Δqn+1 )Если в закон преобразования координат не входит явно время, то скоростипреобразуются по закону ∂qiQ̇k ,q̇i =∂Qkобратному (1).Иначе говоря, компоненты силы Rk образуют ковариантный вектор,в то время как компоненты скорости — контравариантный вектор в s-мерном пространстве (см. [2], § 83).Таким образом, зная силы реакции связей и трения в декартовых координатах, можно определить силы Ri в любых обобщённых координатах.В частности, если силы трения выражаются через диссипативную функциюRi = − ∂F , то преобразование F сводится к замене переменных.159так что уравнения (1) переходят в уравнение∂∂L∂L+ ∂= ∂L .∂t ∂(∂q/∂t) ∂x ∂(∂q/∂x)∂q(2)Здесь производные ∂/∂t и ∂/∂x относятся к функции q(x, t) и её производным.Система N обыкновенных дифференциальных уравнений (1) переходит в одно уравнение в частных производных (2).
Для непрерывной системы переменная x играет роль «номера» точки.Мы не будем останавливаться на физических следствиях уравнения (2), так как изучение систем с бесконечным числом степеней свободыявляется предметомне механики, 4а теории поля (см. [4], гл. 11; [2], § 32). 3б) E =∂q∂L−L∂(∂q/∂t) ∂tdx.β=1и учитывая, что2Функция Лагранжа L = mv − U (r) + ec A(r)v, где A(r) —2векторный потенциал магнитного поля, B = rot A (разумеется, A(r) всегдаможно выбрать в виде однородной функции координат степени n + 1). Еслипри преобразовании подобия4.30. ∂L∂L= ∂L +bβn ,∂ q̇n∂ q̇n∂ q̇βr∂L= ∂L +∂qn∂qnrβ=1sβ=1 m=r+1∂L ∂bβm q̇ .m∂ q̇β ∂qnr → αr,1−t→αk2 t,160Ответы и решения[4.31векторный потенциал преобразуется так же, как и скорость, т. е.
если n == k , то L → αk L. Поэтому уравнения движения остаются неизменными2при таком преобразовании и выполняется принцип механического подобия(см. [1], § 10).Из приведенного вывода ясно, что принцип механического подобиясправедлив также для магнитного поля, постоянного и в пространстве, еслитолько при преобразовании подобия его величина изменяется в(см., например, задачи 2.30–2.33, 6.36).4.31.Кинетическая энергия системы T = ma va2a2k−1α2раз, поэтому ∂Tra ma v̇a .2T =va = dma va ra −∂vadtПриусреднениизабольшойпромежуток временислагаемоеd m v r , представляющее собой полную производную по времени отa a adtограниченной функции, обратится в нуль (см.
[1], § 10). Подставляя во втоeрое слагаемое ma v̇a = − ∂U + ca [va , B] и усредняя по времени, получаем∂ra56 ea2T + B[r,v]= kU .aacЗдесь скобки означают усреднение по времени. В частности, если магнитное поле B однородно и постоянно, то4.33]§ 4. Уравнения движения. Законы сохраненияИспользуя уравнения движенияmẍ1 = F12 + F13 ,/μ =ee , тосреднее значение магнитного момента системы частиц. Если maa = mμ = e M, где M — момент импульса системы частиц.2mc4.32.а) Запишем dA в виде двух слагаемыхdtdA = [m(ẍ ẋ ẋ + ẋ ẍ ẋ + ẋ ẋ ẍ ) − ẋ U̇ − ẋ U̇ − ẋ U̇ ]−1 2 31 2 31 2 31 232 133 12dt− (ẍ1 U23 + ẍ2 U13 + ẍ3 U12 ).
(1)mẍ3 = F31 + F32 ,2g 2∂Uik=∂xi(xi − xk )3(2)(3)и введя относительные расстоянияx1 − x2 = x,x2 − x3 = y,x1 − x3 = z,запишем второе слагаемое из (1) в виде""## 2g 21 + 11 − 1 + 11 .1 + −1 + 1− mx3z 3 y2x3y3 z 2z3y 3 x2(4)Собирая слагаемые с одинаковыми степенями z, перепишем (4)"#222g 2 (x − y)1 − x + xy + y − x + y .mx3 y 3z 2 x3 y 3z 3 x2 y 2Подставляя сюда z = x+y, легко убедиться, что это выражение обращаетсяв нуль.Первое слагаемое из (1) обращается в нуль для произвольных сил. Чтобы показать это, достаточно использовать уравнения движения в форме (2)и подставитьU̇ik =01 e [r , v ] −a aa2cmẍ2 = F21 + F23 ,Fik = −Fki = −2 T = kU − 2μB,где161∂Uik(ẋi − ẋk ) = −(ẋi − ẋk )Fik .∂(xi − xk )Укажем, наконец, что в данном поле преобразование подобия не меняет вида действия, и потому кроме трёх указанных есть еще и четвертыйинтеграл движения (см.
задачу 4.13 б)m(x1 ẋ1 + x2 ẋ2 + x3 ẋ3 ) − 2Et.(5)4.33. При сближении любой пары частиц энергия их взаимодействиянеограниченно возрастает, поэтому частицы не могут пройти «одна сквозьдругую» и порядок их расположения на прямой сохраняется.При столкновении двух частиц равной массы, но с произвольной энергией взаимодействия (обеспечивающей лишь непроницаемость частиц) эти162Ответы и решения[5.1частицы просто обмениваются скоростями. (Это следует из законов сохранения энергии и импульса.) Если столкновения трёх частиц происходят поочерёдно, так что во время сближения двух частиц третья находится далекоот них, то будет происходить просто обмен скоростями, причём соударениязакончатся, когда впереди будет находиться самая быстрая, а позади — самая медленная из частиц, т. е. в этом случаеv1= v3 ,v2= v2 ,v3= v1 .(1)В общем же случае, когда сближаются все три частицы одновременно, величины скоростей отнюдь не будут сохраняться.Тем удивительнее, что для указанных в предыдущей задаче сил сохраняется ответ (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
