1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Частота этого колебания ω1 невырожденная, она лишь случайно могла бы совпасть с частотой какого-нибудьдругого колебания.Рассмотрим колебание атомов в плоскости xy, симметричное относительно оси x4 . Общий вид такого колебания:y1 = 0,x2 = x3 ,y2 = −y3 ,y4 = 0.Вектор смещения содержит четыре независимых параметра: x1 , x2 , y2 , x4 ,т. е. на такие движения приходится четыре степени свободы. Одна из нихотвечает поступательному движению молекулы вдоль оси x4 одна — пол-230Ответы и решения[6.50носимметричному колебаниюx1 = x2 = x3 ,6.51]§ 6.
Малые колебания систем с несколькими степенями свободы231так чтоδω2 = −ω2 δm .6my1 = y2 = y3 = x4 = y4 = 0с частотой ω2 (рис. 134, а), а две остальные — колебаниям, нарушающимсимметрию молекулы. Частоты этих колебаний ω3 и ω4 (рис. 134, б, в).Для колебания вдоль оси z кинетическая энергия и добавка к ней равны3m 1 + 3m ż 2 и δm ż 2 ,1mA22 1так чтоδω1 = −mA δmω1.2 3m(3m + mA )Например, для хлорида бора замена одного атома хлора с атомным весом 35на изотоп с атомным весом 37 уменьшает частоты ω1 и ω2 на 0,1% и 1%соответственно.Рис. 134Из четырех оставшихся степеней свободы одна приходится на поступательное движение в направлении оси y4 , одна — на вращение вокругоси z4 , а две — на колебания. Это колебания, которые могут быть получены из уже указанных с частотами ω3 , ω4 поворотом на 2π/3 вокруг оси z4(ср. с предыдущей задачей).Итак, частоты ω1 , ω2 — невырожденные, частоты ω3 и ω4 — двукратновырождены.Заметим, что векторы колебания, антисимметричного относительнооси x4 , можно получить, зная вектор симметричного.
Для этого достаточно взять определенную суперпозицию колебаний, полученных из последнего поворотами вокруг оси z4 на углы ±2π/3, а именно — их разность(см. рис. 134, г).б) Изменения собственных частот можно определить, используя теорию возмущений (см. задачу 6.34):δω = − ω δM .2 MДля полносимметричного колебания в качестве нормальной координатывыберем x1 . Тогда величины M и δM определяются как коэффициентыв выражениях кинетической энергии и добавки к ней:3m ẋ2 = M ẋ2 ,2 12 1δm ẋ2 = δM ẋ2 ,2 12 16.51.
Пусть колебание, при котором молекула остается подобной самасебе (рис. 135, а), происходит с частотой ω1 .Рис. 135Частота ω2 колебания, сохраняющего свой вид при поворотах вокругоси OD на угол 2π/3 (рис. 135, б), вообще говоря, отлична от ω1 . Иное распределение смешений атомов можно получить, производя отражение смещений в плоскости BCO; получится колебание, отличающееся от второголишь тем, что атомы A и D поменялись ролями. Частота этого колебания ω3 = ω2 . Подобным же образом отражение в плоскости AOC меняетместами атомы B и D, сохраняя частоту ω4 = ω2 .
Это четвертое колебание не сводится к суперпозиции предыдущих, так как, в отличие от них,несимметрично относительно плоскости AOD.Колебание, симметричное относительно плоскости AOB и DOC(рис. 135, в), имеет частоту ω5 , отличную от ω1 и ω2 . Поворот на угол 2π/3232Ответы и решения[6.52вокруг оси OD, равносильный круговой перестановке A, B и C, приводитк колебанию, симметричному относительно плоскостей COA и DOB, а егочастота ω6 = ω5 .Итак, молекула обладает тремя собственными частотами одно-, двуи трехкратно вырожденными.В заключение заметим, что молекул, рассмотренных в задачах 6.49и 6.51, по-видимому, не существует в природе.
Однако подобный же методисследования может быть применен и к реальным молекулам.6.52. а) При полносимметричных и дважды вырожденных колебаниях, указанных в предыдущей задаче (см. рис. 135, а, в), атом углерода остается неподвижным. Есть еще две трехкратно вырожденные частоты. Соответствующие колебания похожи на колебания, изображенные на рис. 135, б,только атом углерода колеблется либо в том же направлении, что атом D,либо в противоположном.б) Добавка к функции Лагранжа, описывающая действие электрического поля E(t), естьδL = E(t)ea ua ,aгде ea — заряд, ua — смещение a-го атома.4ua + mC u5 = 0, так чтоВ любом колебании ma=15ea ua = −e1mCm + 4 u5 .a=1При полносимметричном и дважды вырожденных колебанияхea ua = 0иэтиколебанияневозбуждаются.Приколебаниирис.135,б,напротив,ea ua = 0 и подобные колебания возбуждаются.Итак, резонанс возможен на двух частотах.Вектор E можно разложить на три слагаемых Ej , параллельных осямсимметрии каждого из трех колебаний молекулы с вырожденной частотой.Каждое из слагаемых Ej приведет к колебанию атома углерода с амплитудой, пропорциональной Ej , и одним и тем же коэффициентом пропорциональности κ.
Поэтому u5 = κE и |u5 | не зависит от ориентации молекулы.Можно убедиться, что амплитуды колебаний атомов водорода |u1,2,3,4 | тожене зависят от ориентации молекулы и параллельны вектору E.7.1]§ 7. Колебания линейных цепочек233§ 7. Колебания линейных цепочек7.1.Функция Лагранжа системыNNmk2222L(x, ẋ) =x +ẋn −(xn − xn−1 ) + xN ,22 1n=1(1)n=2где xn — смещение n-й частицы из положения равновесия. Введем такжекоординату положения равновесия n-й частицы Xn = na, где a — равновесная длина одной пружинки. Система уравнений Лагранжа⎧⎨mẍ1 + k(2x1 − x2 ) = 0,mẍn + k(2xn − xn−1 − xn+1 ) = 0, n = 2, 3, . .
. , N − 1,(2)⎩mẍN + k(2xN − xN −1 ) = 0эквивалентна системеmẍn + k(2xn − xn−1 − xn+1 ) = 0,n = 1, 2, . . . , N(3)при дополнительном условииx0 = xN +1 ≡ 0.(4)Из физических соображений можно предвидеть, что нормальными колебаниями должны быть стоячие волны. Удобнее, однако, выбратьxn = Aei(ωt±nϕ) .(5)При таком выборе система N уравнений сводится к одному уравнениюk sin2 ϕ ,ω2 = 4 m2(6)которым определяется связь частоты с разностью фаз колебаний соседнихчастиц ϕ. Смысл подстановки (5) заключается в выборе для xn решенияв виде бегущей волны с волновым вектором K = ϕ/a, так как nϕ = naK == KXn .
Уравнение (6) устанавливает, таким образом, связь между частотойи волновым вектором.Условиям (4) можно удовлетворить, подбирая суперпозицию бегущихв обе стороны волнxn = Aei(ωt−nϕ) + Bei(ωt+nϕ) .234Ответы и решения[7.1Условие x0 = 0 дает A = −B, или xn = 2iB sin(nϕ)eiωt , т. е. стоячуюволну. Из условия на другом конце xN +1 = 0 определяются возможныезначения частот («спектр частот»).Уравнение sin(N + 1)ϕ = 0 приводит к N независимым решениямϕs =πs ,N +1s = 1, 2, .
. . , N.(7)В самом деле, s = 0, s = N +1 дают нулевые решения, а для s = N + l фазаϕN +l = −ϕN −l+2 + 2π, т. е. решения, отвечающие s = N + l выражаютсячерез решения, отвечающие s = N − l + 2.Из (6) и (7) находим N различных частотϕsπskk sinωs = 2 m sin=2 m, s = 1, 2, . . . , N.(8)22(N + 1)На рис. 136 различные частоты укладываются дискретными точками на синусоиду. Вектор нормального колебания, отвечающего s-й частоте,⎛⎞⎛ ⎞sin ϕsx1⎟⎜ x2 ⎟2 ⎜⎜ sin 2ϕs ⎟⎟rs = ⎜⎝ . . .
⎠ = N + 1 ⎝ . . . ⎠ qs (t), (9)xNsin N ϕxгдеqs (t) = Re(2iBs eiωs t ) = Cs cos(ωs t + αs )Рис. 136— s-я нормальная координата, а множитель2 =N +1N−1/2sin2 nϕsn=1введен для нормировки: (rs , rs ) = δss qs2 . Общее решение есть суперпозиция всех нормальных колебанийxn =N s=12 q (t) sin nϕ .ssN +17.3]§ 7. Колебания линейных цепочекМатрица перехода от xn к qsUns =2352 sin πnsN +1N +1является ортогональной матрицей, приводящей функцию Лагранжа к диагональному виду, отвечающих набору N различных осцилляторов:L=NLs (qs , q̇s ),s=1L(qs , q̇s ) = m (q̇s2 − ωs2 qs2 ).27.2 а. Уравнения движения для данной системы те же, что и уравнения (3) предыдущей задачи, при дополнительном условии x0 = 0, xN == xN +1 .
Поэтому(2s − 1)π, s = 1, 2, . . . , N,2N + 1k sin (2s − 1)π ,ωs = 2 m2(2N + 1)xn =sin nϕs · As cos(ωs t + αs ).ϕs =sЧастный случай при N = 2 см. в задаче 6.1.7.2 б. В качестве обобщённых координат используем отклонения каждой из частиц от вертикали (ср. с задачей 6.3). В таких переменных задачаполностью сводится к задаче 7.2. а) с k/m = g/l.7.3. Уравнения движения совпадают с уравнениями (3) задачи 7.1при дополнительном условии x0 = xN и xN +1 = x1 . Поэтомуϕs = 2πs , s = 0, 1, . . .
, N − 1,Nk sin sπ ,ωs = 2 mNпричём частоты ωs и ωN −s совпадают, а соответствующие им волновыевекторы отличаются знаком ϕs = 2π − ϕN −s . Частоте ω0 = 0 отвечает движение всех частиц по кольцу с постоянной скоростью. В системе возможныколебания видаi(ωs t−nϕs ),x(s)n = Re As e236Ответы и решения[7.3т. е. бегущие по кольцу волны. Упомянутое выше двукратное вырождениечастот соответствует волнам, бегущим в разные стороны. Наложение двухтаких волн с равными амплитудами дает стоячую волну3cos nϕs cos(ωs t + αs ),(s)(N −s)xn ± xn= 2|As |(2)sin nϕs sin(ωs t + αs ).Это и есть нормальные колебания (все точки движутся в фазе или противофазе).В соответствующих нормальных координатахxn =R(3)N −1R=,2N − нечетное,функция Лагранжа приводится к диагональному виду:,R7 29Nm222 22L=q̇s1 + q̇s2 − ωs (qs1 + qs2 ) .q̇0 +2(4)(Если число частиц четное, то формулы (3), (4) следует несколько видоизменить в связи с тем, что частота ωN/2 невырожденная; формула (1) приs = N/2 сразу же определяет стоячую волну.)Интересно заметить, что повороты в плоскостях qs1 , qs2 :qs1 = qs1cos βs − qs2sin βs ,qs2 =qs1sin βs +qs2cos βs ,сохраняющие вид функции Лагранжа (4), соответствуют смещению узловстоячих волн:[qs1cos(nϕs − βs ) + qs2sin(nϕs − βs )].s=1Для бегущих волн (1) средний поток энергии по кольцу (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
