1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчетаAB ABU = [Ω, r]2 = Ω2 r2 − (Ωr)2 =+BA*= ω12 + ω22 r2 − (xω2 + yω1 cos ω2 t − zω1 sin ω2 t)2 ="#ω122 22= ω1 x ++ ω2 (y 2 + z 2 ).29.23.и сила m[r, Ω̇], где Ω̇ — скорость изменения вектора Ω в неподвижнойсистеме отсчета.При затвердевании смолы скорости частиц (относительно сосуда) обращаются в нуль и сила Кориолиса исчезает. Остальные три слагаемые нужно усреднить по периодам вращения:mg = −mg (cos ω1 t, sin ω1 t sin ω2 t, sin ω1 t cos ω2 t) = 0,если ω1 = ω2 ,m[r, Ω̇] = m[r, Ω̇],Наконец,/Ω̇ = [ω 1 , ω 2 ] = [ω 1 , ω2 ] = 0.∂ m [Ω, r]2∂r 20= m ∂U ,2 ∂rm2dr,E + M Ω − UэффM − Ω dr 2r,ϕ= m2E + M Ω − Uэффt=Ω = ω 1 + ω 2 = (ω2 , ω1 cos ω2 t, −ω1 sin ω2 t).m[Ω, r]2центробежная сила ∂2∂r(1)Поверхность жидкости расположится по линии уровня U (r) = const. Смола затвердеет в форме эллипсоида вращения.Что изменится в этом результате при ω1 = ω2 ?При g = 0 и ω2 → 0 из (1) получается, очевидно, неправильное решение.
Почему?9.22. Воспользуемся системой отсчёта, вращающейся вместе с сосудом; ось x направим вдоль AB, начало координат поместим в неподвижнойточке — пересечении осей AB и CD. Угловая скорость системыНа каждую частицу жидкости массы m в этой системе отсчета наряду с силой тяжести mg действуют силы инерции (см. [1], § 39):сила Кориолиса 2m[v, Ω],287где E — энергия, M — момент импульса во вращающейся системе отсчёта,2Uэфф = U (r) + M 2 .
Напомним, что E = E0 − M Ω, M = M0 , где E0 и2mrM0 — энергия и момент импульса в инерциальной системе.Интересно, что центробежная потенциальная энергия −mΩ2 r2 /2 невходит в Uэфф.9.24. В системе координат, связанной с рамкой, функция Лагранжаданной задачи совпадает с рассмотренной в задаче 6.36 при z = 0 и с параметрами#"f1,222ωB = −2Ω, ω1,2 = m k1,2 +− Ω2 .l2При ω1,2> 0 движение частицы совпадает с движением анизотропногоосциллятора в магнитном поле B = −2mcΩ/e. Траектория частицы дляслучая ω1 = ω2 изображена на рис. 97 к задаче 2.32. В частности, если ω1 == ω2 = 0, движение частицы совпадает с движением свободной частицыв магнитном поле x = x0 + a cos ωB t, y = y0 − a sin ωB t, т.
е. частицаравномерно движется по окружности радиуса a с центром в точке (x0 , y0 ).288Ответы и решения[9.25Интересно разобраться, какому движению частиц в неподвижной системекоординат соответствует последний случай, в частности при a = 0 или приx0 = y0 = 0.Если центробежная сила превысит силы возвращающие, действующие2со стороны обеих пружинок, ω1,2< 0, то частица по-прежнему совершаетмалые колебания. Хотя потенциальная энергия имеет при x = y = 0 максимум, устойчивость этого положения равновесия обеспечивается силойКориолиса.Если же ω12 и ω22 имеют разные знаки (т. е.
x = y = 0 — седловая точкадля потенциальной энергии), то это положение равновесия неустойчиво.Интересно сопоставить эти результаты с ответом задачи 5.4. В системеотсчёта, вращающейся с угловой скоростью Ω, точка r0 , ϕ0 лежит на гребне«потенциального цирка»; потенциальная энергия2 2U = − αn − mΩ r2rимеет максимум относительно смещения в направлении радиуса-вектораи не изменяется при смещении в азимутальном направлении. В этом случаеодно из нормальных колебаний происходит с частотой ω, частота же другого обращается в нуль: положение равновесия безразлично относительнонекоторых возмущений (например, изменения ϕ0 ).9.25.Функция Лагранжа точки, выраженная через её координатыи скорость в системе отсчёта, вращающейся вместе с параболоидом, имеетвидL = m (v + [ω, r])2 + mgr =2#"2y2mx222=.(ẋ − ωy) + (ẏ + ωx) + ż − g a +2bДля малых колебаний можно опустить ż, тогда уравнения движенияgẍ − 2ω ẏ + a − ω 2 x = 0,gÿ + 2ω ẋ +− ω 2 y = 0.bИщем решение в видеx = AeiΩt ,y = BeiΩt9.26]§ 9.
Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета289и для Ω2 получаем уравнение gg gg− ω 2 = 0.Ω4 − a + + 2ω 2 Ω2 + a − ω 2bbЛегко убедиться, что корни его действительны. Однако приg g22<0−ω−ωabодин из корней Ω21 < 0, так что соответствующее движениеx = A1 e|Ω1 |t + A2 e−|Ω1 |t ,y = B1 e|Ω1 |t + B2 e−|Ω1 |tприводит к уходу частицы от начала координат. Это и означает, что нижнее положение частицы неустойчиво. Считая для определённости a > b,получаем область неустойчивостиgg2a < ω < b.Обратим внимание на то, что при ω 2 > g/b движение устойчиво, хотяпотенциальная энергия во вращающейся системе отсчётаgg 2yU = − m ω 2 − a x2 − m ω 2 −22bпредставляет не потенциальную яму, а потенциальный горб.
Устойчивостьв этом случае обеспечивается действием сил Кориолиса (см. также [33],§ 23).9.26.а) Потенциальная энергия (включая центробежную)U (x) = k(x − a)2 −mγ 2 x2.2Условие U (x0 ) = 0 определяет положение равновесия(1)x0 =2ka .2k − mγ 2Интересно, что при частоте вращения γ, большей частоты собственных колебаний частицы 2k/m, оказывается x0 < 0, а при mγ 2 2k положениеравновесия близко к оси вращения.290Ответы и решения[9.27Знак U (x0 ) = 2k − mγ 2 определяет устойчивость положения равновесия: при mγ 2 < 2k равновесие устойчиво; при mγ 2 > 2k — неустойчиво.б) Очевидно, положение равновесия такое же, как в пункте а). Для исследования устойчивости рассмотрим потенциальную энергию при малыхсмещениях из положения равновесия:U (x, y, z) = U (x0 , 0, 0) +(x − x0 )2k2 y 2k z2+ 3 + k1,2229.27]§ 9.
Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета291(G — гравитационная постоянная) получаемω2 = Gm1 + m2.a3Потенциальная энергия тела массы m (включая центробежную энергию)2GmmGmmU (x, y, z) = − r 1 − r 2 − mω (x2 + y 2 ),122где r1,2 — расстояние до звезд, r = (x, y, z) — радиус-вектор тела. Положе-гдение равновесия тела определяется условием ∂U = 0, илиk1 = 2k − mγ 2 ,k2 =f + k(x0 − a) f − k(x0 − a)+− mγ 2 = −mγ 2 + k3 .l + x0 − al − x0 + aСравнение с задачей 9.24 приводит к заключению, что равновесие неустойчиво лишь в том случае, если k1 и k2 имеют разные знаки. В частности,приfmγ 2 2k + 2lравновесие устойчиво, в отличие от результатовпункта а). Если же k1 k2 < 0, то отклонение частицы от точки (x0 , 0, 0) нарастает со временем(пока не станет существенным воздействие стенокрамки, которое мы не рассматриваем).9.27. Воспользуемся декартовыми координатами во вращающейся системе отсчёта.
Началокоординат поместим в центр масс, система вращается с угловой скоростью ω вокруг оси z, а звездыРис. 152расположены на оси x (рис. 152).Пусть расстояния от звезд до центра массa1,2 = ∓m2,1 a,m1 + m2где m1,2 — массы звезд, a — расстояние между ними. Из равенстваm1 m2Gm1 m2aω 2 =m1 + m2a2∂rm am2m1 + m2 m 2 a2 11 1∂U = Gmx−Gm= 0,+−+∂xr13r23a3r13r23∂U = Gm m1 + m2 − m1 + m2 y = 0,∂yr13r23a3mm1∂U = Gm+ 32 z = 0.3∂zr1r2mОтсюда z = 0 и (при y = 0) r1 = r2 = a.Таким образом, звезды и точка равновесия находятся в вершинахправильного треугольника. Есть две такие точки, так называемые точкиЛагранжа,√a 3a, z0 = 0.x0 − a1 = a2 − x0 = , y0 = ±22Вблизи точек ЛагранжаU (x0 + x1 , y0 + y1 , z0 + z1 ) == U (x0 , y0 , z0 ) − 3 mω 2 x21 − 2mαx1 y1 − 9 mω 2 y12 + 1 mω 2 z12 ,882√3 3α = ± 3 G(m1 − m2 ).4aДвижение в направлении z, очевидно, устойчиво.
Уравнения движенияв плоскости x, yẍ1 − 3 ω 2 x1 − 2αy1 − 2ω ẏ1 = 0,4ÿ1 − 9 ω 2 y1 − 2αx1 + 2ω ẋ1 = 0.4292Ответы и решения[9.2810.1]§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона(2,3)Подстановка x = AeiΩt , y = BeiΩt приводит к уравнению для Ω:q2= A2,3 cos(ω2,3 t + ϕ2,3 ),Ω4 − ω 2 Ω2 + 27 ω 4 − 4α2 = 0.16(2,3)q1,4 = 0,Его корни действительны при 64α2 23ω 4, т. е. при(4)q1 = 2ΩC,ω12(m1 + m2 )2 27m1 m2 .Это условие выполняется, если масса одной звезды больше другой не менеечем в 25 раз.
В этом случае движение тел в окрестности точек Лагранжаустойчиво. Устойчивость движения обеспечивается силами Кориолиса (ср.с задачей 9.25).На оси x есть еще три точки, в которых ∂U = 0, однако движение∂rвблизи них неустойчиво.Для системы Солнце–Юпитер в точках Лагранжа наблюдаются астероиды.9.28. Будем рассматривать колебания в системе отсчета, вращающейся вместе с молекулой.
Функция Лагранжа получается из (1) задачи 6.49заменой ua на ua + [Ω, ra0 + ua ], а угловая скорость вращения системыотсчета Ω выбирается равной 2 угловой скорости вращения молекулы в отсутствие колебаний Ωm ra0= M. Условие (3) задачи 6.49, эквивалентное требованию y1 + y2 + y3 = 0, отсутствует. Введя q4 = √1 (y1 + y2 + y3 )L = m (q̇12 + 2q̇22 + 2q̇32 + q̇42 ) − 3k (q12 + q22 + q32 )+222+ mΩ(q1 q̇4 − q4 q̇1 ) + mΩ(q2 q̇3 − q3 q̇2 ).3Уравнения движения приводят к нормальным колебаниям(1)(1)q4 = 2 ωΩ A1 sin(ω1 t + ϕ1 ),1= 0, ω1 = 3km,q1 = A1 cos(ω1 t + ϕ1 ),(1)q2,31 Учетэтих поправок привел бы к заменам:22k → k − mΩ , l → l 1 + mΩ ,62kΩ→Ω 1−mΩ2kω2,3q2,3 = 0,= ±A2,3 sin(ω2,3 t + ϕ2,3 ),3k ,=2m(4)q4 = Ct + D.aили q̇4 − 2Ωq1 = 0, что соответствует выбору C = 0.
Постоянную D, определяющую начальный поворот молекулы относительно вращающейся системы отсчета, также удобно положить равной нулю.Как выглядят колебания, если во вращающейся системе отклоненияв начальный момент имеют вид, изображенный на рис. 133, а начальныескорости равны нулю?§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона10.1.Пусть ε — вектор бесконечно малого смещения; при этомra → ra = ra + ε, pa → pa = pa ,H(ra , pa ) = H(ra , pa ).Отсюда ∂H= 0. Используя уравнение Гамильтона, получаем:a∂raṖ =ṗa = −a ∂H= 0,∂raaP = const.При бесконечно малом повороте δϕra → ra = ra + [δϕ, ra ], pa → pa = pa + [δϕ, pa ],4 3 ∂H[δϕ, ra ] + ∂H [δϕ, pa ] = 0 =H(ra , pa ) = H(ra , pa ),∂ra∂paa d[ra , pa ],{−ṗa [δϕ, ra ] + ṙ [δϕ, pa ]} = −δϕ=dtaaили.(2,3)q3Вместо условия (3) задачи 6.49 получаем{[ra0 , u̇a ] + 2Ω (ra0 ua )} = 0,3и пренебрегая квадратичными по Ω членами1 , можем представить функциюЛагранжа в виде(4)293M=a[ra , pa ] = const.294Ответы и решения10.2.10.3.p2ψ(pϕ − pψ cos θ)2p2θ++.2I12I32I1 sin2 θH=H=[10.22 2p2+ ω x + αx3 .
В частности, для малых колеба22(1 + 2βx)ний (|αx| ω 2 , |βx| 1)H=2 2p2+ ω x + αx3 − βxp2 + 2β 2 x2 p2 − . . . ,2210.8]295§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона10.7. Данный векторный потенциал определяет магнитное поле B,направленное параллельно оси z.Функция Гамильтона2p2x + p2yH(x, y, z, px , py , pz ) =+ 1 py − ec Bx .2m2mТак как H не зависит от y и z, имеемpy = const,pz = const.Представив H в видеи с точностью до линейных по α, β членов добавка к функции Гамильтона гармонического осциллятора связана с добавкой к функции Лагранжасоотношением δH = −δL (ср.
[1], § 40).10.4 а. x = a cos(ωt + ϕ), p = −ω0 a sin(ωt + ϕ),где ω = (1 + 2λE0 )ω0 , E0 = 1 ω02 a2 .210.4 б.Fcpṙ = np ,cpṗ = 2 ∂n ,n ∂rp = |p|.Предложенная функция Гамильтона описывает распространение светав прозрачной среде с показателем преломления n в приближении геометрической оптики (см. [3], § 65). «Частицей» является волновой пакет, r(t) естьзакон именно его движения; ṙ — это групповая скорость, а вектор p, перпендикулярный к волновому фронту, определяет волновой вектор.Траектория при n(r) = axy+ C2 ,x = C1 chC1где C1 , C2 определяются начальной и конечной точками траектории.m(v − a)210.6. а) L =;2б) L = 0; подобные «частицы» нельзя описывать с помощью функцииЛагранжа (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
