Главная » Просмотр файлов » 1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b

1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 37

Файл №829487 1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (Г. Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2010)) 37 страница1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487) страница 372021-02-01СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчетаAB ABU = [Ω, r]2 = Ω2 r2 − (Ωr)2 =+BA*= ω12 + ω22 r2 − (xω2 + yω1 cos ω2 t − zω1 sin ω2 t)2 ="#ω122 22= ω1 x ++ ω2 (y 2 + z 2 ).29.23.и сила m[r, Ω̇], где Ω̇ — скорость изменения вектора Ω в неподвижнойсистеме отсчета.При затвердевании смолы скорости частиц (относительно сосуда) обращаются в нуль и сила Кориолиса исчезает. Остальные три слагаемые нужно усреднить по периодам вращения:mg = −mg (cos ω1 t, sin ω1 t sin ω2 t, sin ω1 t cos ω2 t) = 0,если ω1 = ω2 ,m[r, Ω̇] = m[r, Ω̇],Наконец,/Ω̇ = [ω 1 , ω 2 ] = [ω 1 , ω2 ] = 0.∂ m [Ω, r]2∂r 20= m ∂U ,2 ∂rm2dr,E + M Ω − UэффM − Ω dr 2r,ϕ= m2E + M Ω − Uэффt=Ω = ω 1 + ω 2 = (ω2 , ω1 cos ω2 t, −ω1 sin ω2 t).m[Ω, r]2центробежная сила ∂2∂r(1)Поверхность жидкости расположится по линии уровня U (r) = const. Смола затвердеет в форме эллипсоида вращения.Что изменится в этом результате при ω1 = ω2 ?При g = 0 и ω2 → 0 из (1) получается, очевидно, неправильное решение.

Почему?9.22. Воспользуемся системой отсчёта, вращающейся вместе с сосудом; ось x направим вдоль AB, начало координат поместим в неподвижнойточке — пересечении осей AB и CD. Угловая скорость системыНа каждую частицу жидкости массы m в этой системе отсчета наряду с силой тяжести mg действуют силы инерции (см. [1], § 39):сила Кориолиса 2m[v, Ω],287где E — энергия, M — момент импульса во вращающейся системе отсчёта,2Uэфф = U (r) + M 2 .

Напомним, что E = E0 − M Ω, M = M0 , где E0 и2mrM0 — энергия и момент импульса в инерциальной системе.Интересно, что центробежная потенциальная энергия −mΩ2 r2 /2 невходит в Uэфф.9.24. В системе координат, связанной с рамкой, функция Лагранжаданной задачи совпадает с рассмотренной в задаче 6.36 при z = 0 и с параметрами#"f1,222ωB = −2Ω, ω1,2 = m k1,2 +− Ω2 .l2При ω1,2> 0 движение частицы совпадает с движением анизотропногоосциллятора в магнитном поле B = −2mcΩ/e. Траектория частицы дляслучая ω1 = ω2 изображена на рис. 97 к задаче 2.32. В частности, если ω1 == ω2 = 0, движение частицы совпадает с движением свободной частицыв магнитном поле x = x0 + a cos ωB t, y = y0 − a sin ωB t, т.

е. частицаравномерно движется по окружности радиуса a с центром в точке (x0 , y0 ).288Ответы и решения[9.25Интересно разобраться, какому движению частиц в неподвижной системекоординат соответствует последний случай, в частности при a = 0 или приx0 = y0 = 0.Если центробежная сила превысит силы возвращающие, действующие2со стороны обеих пружинок, ω1,2< 0, то частица по-прежнему совершаетмалые колебания. Хотя потенциальная энергия имеет при x = y = 0 максимум, устойчивость этого положения равновесия обеспечивается силойКориолиса.Если же ω12 и ω22 имеют разные знаки (т. е.

x = y = 0 — седловая точкадля потенциальной энергии), то это положение равновесия неустойчиво.Интересно сопоставить эти результаты с ответом задачи 5.4. В системеотсчёта, вращающейся с угловой скоростью Ω, точка r0 , ϕ0 лежит на гребне«потенциального цирка»; потенциальная энергия2 2U = − αn − mΩ r2rимеет максимум относительно смещения в направлении радиуса-вектораи не изменяется при смещении в азимутальном направлении. В этом случаеодно из нормальных колебаний происходит с частотой ω, частота же другого обращается в нуль: положение равновесия безразлично относительнонекоторых возмущений (например, изменения ϕ0 ).9.25.Функция Лагранжа точки, выраженная через её координатыи скорость в системе отсчёта, вращающейся вместе с параболоидом, имеетвидL = m (v + [ω, r])2 + mgr =2#"2y2mx222=.(ẋ − ωy) + (ẏ + ωx) + ż − g a +2bДля малых колебаний можно опустить ż, тогда уравнения движенияgẍ − 2ω ẏ + a − ω 2 x = 0,gÿ + 2ω ẋ +− ω 2 y = 0.bИщем решение в видеx = AeiΩt ,y = BeiΩt9.26]§ 9.

Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета289и для Ω2 получаем уравнение gg gg− ω 2 = 0.Ω4 − a + + 2ω 2 Ω2 + a − ω 2bbЛегко убедиться, что корни его действительны. Однако приg g22<0−ω−ωabодин из корней Ω21 < 0, так что соответствующее движениеx = A1 e|Ω1 |t + A2 e−|Ω1 |t ,y = B1 e|Ω1 |t + B2 e−|Ω1 |tприводит к уходу частицы от начала координат. Это и означает, что нижнее положение частицы неустойчиво. Считая для определённости a > b,получаем область неустойчивостиgg2a < ω < b.Обратим внимание на то, что при ω 2 > g/b движение устойчиво, хотяпотенциальная энергия во вращающейся системе отсчётаgg 2yU = − m ω 2 − a x2 − m ω 2 −22bпредставляет не потенциальную яму, а потенциальный горб.

Устойчивостьв этом случае обеспечивается действием сил Кориолиса (см. также [33],§ 23).9.26.а) Потенциальная энергия (включая центробежную)U (x) = k(x − a)2 −mγ 2 x2.2Условие U (x0 ) = 0 определяет положение равновесия(1)x0 =2ka .2k − mγ 2Интересно, что при частоте вращения γ, большей частоты собственных колебаний частицы 2k/m, оказывается x0 < 0, а при mγ 2 2k положениеравновесия близко к оси вращения.290Ответы и решения[9.27Знак U (x0 ) = 2k − mγ 2 определяет устойчивость положения равновесия: при mγ 2 < 2k равновесие устойчиво; при mγ 2 > 2k — неустойчиво.б) Очевидно, положение равновесия такое же, как в пункте а). Для исследования устойчивости рассмотрим потенциальную энергию при малыхсмещениях из положения равновесия:U (x, y, z) = U (x0 , 0, 0) +(x − x0 )2k2 y 2k z2+ 3 + k1,2229.27]§ 9.

Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета291(G — гравитационная постоянная) получаемω2 = Gm1 + m2.a3Потенциальная энергия тела массы m (включая центробежную энергию)2GmmGmmU (x, y, z) = − r 1 − r 2 − mω (x2 + y 2 ),122где r1,2 — расстояние до звезд, r = (x, y, z) — радиус-вектор тела. Положе-гдение равновесия тела определяется условием ∂U = 0, илиk1 = 2k − mγ 2 ,k2 =f + k(x0 − a) f − k(x0 − a)+− mγ 2 = −mγ 2 + k3 .l + x0 − al − x0 + aСравнение с задачей 9.24 приводит к заключению, что равновесие неустойчиво лишь в том случае, если k1 и k2 имеют разные знаки. В частности,приfmγ 2 2k + 2lравновесие устойчиво, в отличие от результатовпункта а). Если же k1 k2 < 0, то отклонение частицы от точки (x0 , 0, 0) нарастает со временем(пока не станет существенным воздействие стенокрамки, которое мы не рассматриваем).9.27. Воспользуемся декартовыми координатами во вращающейся системе отсчёта.

Началокоординат поместим в центр масс, система вращается с угловой скоростью ω вокруг оси z, а звездыРис. 152расположены на оси x (рис. 152).Пусть расстояния от звезд до центра массa1,2 = ∓m2,1 a,m1 + m2где m1,2 — массы звезд, a — расстояние между ними. Из равенстваm1 m2Gm1 m2aω 2 =m1 + m2a2∂rm am2m1 + m2 m 2 a2 11 1∂U = Gmx−Gm= 0,+−+∂xr13r23a3r13r23∂U = Gm m1 + m2 − m1 + m2 y = 0,∂yr13r23a3mm1∂U = Gm+ 32 z = 0.3∂zr1r2mОтсюда z = 0 и (при y = 0) r1 = r2 = a.Таким образом, звезды и точка равновесия находятся в вершинахправильного треугольника. Есть две такие точки, так называемые точкиЛагранжа,√a 3a, z0 = 0.x0 − a1 = a2 − x0 = , y0 = ±22Вблизи точек ЛагранжаU (x0 + x1 , y0 + y1 , z0 + z1 ) == U (x0 , y0 , z0 ) − 3 mω 2 x21 − 2mαx1 y1 − 9 mω 2 y12 + 1 mω 2 z12 ,882√3 3α = ± 3 G(m1 − m2 ).4aДвижение в направлении z, очевидно, устойчиво.

Уравнения движенияв плоскости x, yẍ1 − 3 ω 2 x1 − 2αy1 − 2ω ẏ1 = 0,4ÿ1 − 9 ω 2 y1 − 2αx1 + 2ω ẋ1 = 0.4292Ответы и решения[9.2810.1]§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона(2,3)Подстановка x = AeiΩt , y = BeiΩt приводит к уравнению для Ω:q2= A2,3 cos(ω2,3 t + ϕ2,3 ),Ω4 − ω 2 Ω2 + 27 ω 4 − 4α2 = 0.16(2,3)q1,4 = 0,Его корни действительны при 64α2 23ω 4, т. е. при(4)q1 = 2ΩC,ω12(m1 + m2 )2 27m1 m2 .Это условие выполняется, если масса одной звезды больше другой не менеечем в 25 раз.

В этом случае движение тел в окрестности точек Лагранжаустойчиво. Устойчивость движения обеспечивается силами Кориолиса (ср.с задачей 9.25).На оси x есть еще три точки, в которых ∂U = 0, однако движение∂rвблизи них неустойчиво.Для системы Солнце–Юпитер в точках Лагранжа наблюдаются астероиды.9.28. Будем рассматривать колебания в системе отсчета, вращающейся вместе с молекулой.

Функция Лагранжа получается из (1) задачи 6.49заменой ua на ua + [Ω, ra0 + ua ], а угловая скорость вращения системыотсчета Ω выбирается равной 2 угловой скорости вращения молекулы в отсутствие колебаний Ωm ra0= M. Условие (3) задачи 6.49, эквивалентное требованию y1 + y2 + y3 = 0, отсутствует. Введя q4 = √1 (y1 + y2 + y3 )L = m (q̇12 + 2q̇22 + 2q̇32 + q̇42 ) − 3k (q12 + q22 + q32 )+222+ mΩ(q1 q̇4 − q4 q̇1 ) + mΩ(q2 q̇3 − q3 q̇2 ).3Уравнения движения приводят к нормальным колебаниям(1)(1)q4 = 2 ωΩ A1 sin(ω1 t + ϕ1 ),1= 0, ω1 = 3km,q1 = A1 cos(ω1 t + ϕ1 ),(1)q2,31 Учетэтих поправок привел бы к заменам:22k → k − mΩ , l → l 1 + mΩ ,62kΩ→Ω 1−mΩ2kω2,3q2,3 = 0,= ±A2,3 sin(ω2,3 t + ϕ2,3 ),3k ,=2m(4)q4 = Ct + D.aили q̇4 − 2Ωq1 = 0, что соответствует выбору C = 0.

Постоянную D, определяющую начальный поворот молекулы относительно вращающейся системы отсчета, также удобно положить равной нулю.Как выглядят колебания, если во вращающейся системе отклоненияв начальный момент имеют вид, изображенный на рис. 133, а начальныескорости равны нулю?§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона10.1.Пусть ε — вектор бесконечно малого смещения; при этомra → ra = ra + ε, pa → pa = pa ,H(ra , pa ) = H(ra , pa ).Отсюда ∂H= 0. Используя уравнение Гамильтона, получаем:a∂raṖ =ṗa = −a ∂H= 0,∂raaP = const.При бесконечно малом повороте δϕra → ra = ra + [δϕ, ra ], pa → pa = pa + [δϕ, pa ],4 3 ∂H[δϕ, ra ] + ∂H [δϕ, pa ] = 0 =H(ra , pa ) = H(ra , pa ),∂ra∂paa d[ra , pa ],{−ṗa [δϕ, ra ] + ṙ [δϕ, pa ]} = −δϕ=dtaaили.(2,3)q3Вместо условия (3) задачи 6.49 получаем{[ra0 , u̇a ] + 2Ω (ra0 ua )} = 0,3и пренебрегая квадратичными по Ω членами1 , можем представить функциюЛагранжа в виде(4)293M=a[ra , pa ] = const.294Ответы и решения10.2.10.3.p2ψ(pϕ − pψ cos θ)2p2θ++.2I12I32I1 sin2 θH=H=[10.22 2p2+ ω x + αx3 .

В частности, для малых колеба22(1 + 2βx)ний (|αx| ω 2 , |βx| 1)H=2 2p2+ ω x + αx3 − βxp2 + 2β 2 x2 p2 − . . . ,2210.8]295§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона10.7. Данный векторный потенциал определяет магнитное поле B,направленное параллельно оси z.Функция Гамильтона2p2x + p2yH(x, y, z, px , py , pz ) =+ 1 py − ec Bx .2m2mТак как H не зависит от y и z, имеемpy = const,pz = const.Представив H в видеи с точностью до линейных по α, β членов добавка к функции Гамильтона гармонического осциллятора связана с добавкой к функции Лагранжасоотношением δH = −δL (ср.

[1], § 40).10.4 а. x = a cos(ωt + ϕ), p = −ω0 a sin(ωt + ϕ),где ω = (1 + 2λE0 )ω0 , E0 = 1 ω02 a2 .210.4 б.Fcpṙ = np ,cpṗ = 2 ∂n ,n ∂rp = |p|.Предложенная функция Гамильтона описывает распространение светав прозрачной среде с показателем преломления n в приближении геометрической оптики (см. [3], § 65). «Частицей» является волновой пакет, r(t) естьзакон именно его движения; ṙ — это групповая скорость, а вектор p, перпендикулярный к волновому фронту, определяет волновой вектор.Траектория при n(r) = axy+ C2 ,x = C1 chC1где C1 , C2 определяются начальной и конечной точками траектории.m(v − a)210.6. а) L =;2б) L = 0; подобные «частицы» нельзя описывать с помощью функцииЛагранжа (см.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
3,65 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6480
Авторов
на СтудИзбе
304
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее