1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Размеры выделенного «объёма»по координатам Δx и импульсам Δp пульсируют с частотой 2ω. В отличиеот предыдущего пункта, выделенный фазовый объём не расплывается повсей доступной области фазового пространства.г) Для осциллятора с трением (сила трения Fтр = −2mλẋ)x = ae−λt cos(ωt + ϕ),p = mẋ = −mae−λt [ω sin(ωt + ϕ) + λ cos(ωt + ϕ)],и колебания со временем затухают, поэтому фазовая траектория представляет собой спираль2x2 + p + ωλx= e−2λt .maωa2Рис. 158б) Если в точке x = L расположена стенка, то выделенный фазовый объём уже не будет параллелограммом A B C D , а будет иметь вид,изображенный на рис.
159, а. С течением времени первоначальный фазовый объём ABCD превратится в ряд очень узких параллельных полосок,которые почти равномерно распределятся внутри двух прямоугольников0 x L, p0 p p0 + Δp0 и 0 x L, −p0 − Δp0 p − p0 (рис. 159, б).в) Фазовая траектория для осцилляторас энергией E и частотой ω —%22p2E , b =2E . Все точки выдеэллипс x2 + 2 = 1 с полуосями a =2mabmωленного фазового объёма движутся по таким эллипсам и через период T =Выделенный фазовый объём с течением времени уменьшается до нуля.Несохранение фазового объёма здесь связано с тем, что система не является канонической — для полного* её описания+ необходимо задавать не толькофункцию Лагранжа L = m ẋ2 − ω02 x2 , но и диссипативную функцию2F = 1 mλẋ2 (см. [1], § 25).2Если же для данной системы выбрать «функцию Лагранжа» в виде*+L = m e2λt ẋ2 − ω02 x22(ср.
с задачей 4.17), то для соответствующих канонических переменных xи p = ∂L выделенный фазовый объём будет сохраняться, однако в этом∂ ẋ314Ответы и решения[11.24случае обобщённый импульс p = mxe2λt не имеет, как прежде, простогофизического смысла.д) Так как период движения в этом случае зависит от энергии, выделенная область фазового пространства с течением времени растягивается, «заполняя» всю доступную область фазового пространства (ср. с пунктом б)).Пусть вначале выделена областьx0 < x < x0 + Δx,p0 < p < p0 + Δp.e) Пусть имеется N частиц таких, что точки фазового пространства,изображающие их состояние, распределены в начальный момент с плотностью N w(x0 , p0 , 0) и перемещаются согласно уравнениям(1)ϕ(x0 , p0 , t) = p0для гармонических осцилляторов. Тогда количество частиц в выделеннойобласти фазового пространства, все точки которой движутся по такому жезакону, остаётся постоянным; в частности, для бесконечно малого фазовогообъёма dx dp имеемN w(x, p, t) dx dp = N w(x0 , p0 , 0) dx0 dp0 .w(x, p, t) = w(x0 , p0 , 0).Выражая из (1) x0 и p0x0 = f (x, p, −t),p0 = ϕ(x, p, −t)и подставляя в (2), получаемw(x, p, t) = w(f (x, p, −t), ϕ(x, p, −t), 0),w(x, p, t) =exp[−α(x − X)2 − β(x − X)(p − P ) − γ(p − P )2 ],2πΔp0 Δx0где X = f (X0 , P0 , t), P = ϕ(X0 , P0 , t), а коэффициенты α, β, γ для свободных частицα = 1 2, β = − t 2,2Δx0mΔx0γ=1 +t2,222Δp02m Δx20и для осцилляторов2sin2 ωt ,β = cos ωt+2Δp202m2 ω 2 Δx20#"1mω−.γ = sin ωt cos ωtΔp20mωΔx20p0f (x0 , p0 , t) = x0 cos ωt + mω sin ωt,ϕ(x0 , p0 , t) = −mωx0 sin ωt + p0 cos ωtСогласно теореме Лиувилля (см.
[1], § 46, [33], § 40)315222 2α = cos ωt+ m ω sin2 ωt ,22Δx02Δp0Здесьp0f (x0 , p0 , t) = x0 + m t,для свободного движения и§ 11. Канонические преобразованияилиНетрудно оценить время, через которое самые быстрые частицы сделаютна одно колебание больше (или меньше), чем самые медленные:$$2p0 Δp $$ dU (x0 ) $$TdTτ∼ΔE,ΔE ∼ m + $,ΔT ∼$ Δx.$ dx $ΔTdEx = f (x0 , p0 , t),p = ϕ(x0 , p0 , t).11.24]∂(x, p)= 1, поэтому∂(x0 , p0 )(2)На рис. 160, 161 показано, как перемещаются области фазового пространства, в которых2πΔx0 Δp0 w(x, p, t) 12(для свободных частиц и осцилляторов соответственно).
Эти области представляют собой эллипсы, деформирующиеся со временем1 . Центры их перемешаются по такому же закону (1), как и частицы. В случае свободного1 Если масштабы по осям p и x в фазовом пространстве гармонических осцилляторов выбраны так, что mω = 1, то фазовые траектории представляют собой окружности, а выделенная область в фазовом пространстве вращается вокруг начала координат, не деформируясь.316Ответы и решения[11.2411.25]317§ 11. Канонические преобразованияа для осцилляторовΔp20sin2 ωt,m2 ω 2Δp2 = Δp20 cos2 ωt + m2 ω 2 Δx20 sin2 ωt.Δx2 = Δx20 cos2 ωt +11.25.
a) {a∗ , a} = −i, H0 = ωa∗ a.б) Переменные P и Q канонические, поскольку {P, Q} = 1. Из равенства dF = p(x, Q) dx − P (x, Q) dQ определяется производящая функцияРис. 160√F (x, Q, t) = i mωx2 + i Q2 e−2iωt − i 2mωxQe−iωt .22Рис. 161движения этот эллипс неограниченно растягивается, в случае же движения осцилляторов — лишь пульсирует.
Заметим, что распределения по координатам и по импульсам уже не являются независимыми (w(x, p, t) неразбивается на два множителя вида w1 (x, t)w2 (p, t)).Представляет интерес рассмотреть функции распределения по координатам (независимо от значений импульса)Новая функция ГамильтонаH0 (Q, P ) = H0 +в) Выделив в"4x =∞w(x, t) =w(x, p, t) dp∞w(p,t) =w(x, p, t) dx.H (Q, P ) = −−∞Эти распределения оказываются гауссовскими с максимумами в X и Pсоответственно:(x−X)2−2w(x, t) = √ 1e 2Δx ,2πΔxew(p,t) = √ 12πΔp−Q̇ = −iεQ,Δx =Δx20+Δp20откудаm2так что2t ,2Δp =3βQ2 P 2 .8mω 2Ṗ = iεP,ε=,где для свободного движения2#4В дальнейшем скобки , обозначающие усреднение, опускаем.Очевидно, что −iQP = |Q0 |2 = |a|2 — интеграл движения.Уравнения Гамильтона(p−P )22Δp2Qe−iωt − iP eiωt√2mωслагаемое −3Q2 P 2 /2m2 ω 2 , не содержащее времени, получаем усреднённую функцию Гамильтона−∞и по импульсам∂F (x, Q, t)= 0.∂tΔp20 ,Q = Q0 e−iεt ,3β|Q0 |24mω 2,P = iQ∗0 eiεt ,x = √ 1 (Q0 e−iω t + Q∗0 eiω t ) = x0 cos(ω t + ϕ).2mω318Ответы и решения[11.26Влияние добавки δU сводится к изменению частотыω = ω +3β|Q0 |24mω 2=ω+H (Q, P, t) = m2 ω 2 αQe(ω = ω2 + ω3 ) и канонические сопряженные им импульсы ia∗ , ib∗ , ic∗ .Новая функция Гамильтона, усреднённая по периодам 2π/ω2,3 ,Уравнения движения−iωt− iP e√2mωiωt#4ḃ = −iηac∗ ,ċ = −iηab∗имеют интегралы1H = A,H (Q, P ) = α (Q4 + P 4 ).8d |a|2 = iη(ab∗ c∗ − a∗ bc)dtможно представить в виде, удобном для качественного исследования:где ξ = |a|2 ,Учитывая, чтоα (Q4 + P 4 ) = A = const,4V (ξ) = (A − εξ)2 − 4η 2 ξ(B − ξ)(C − ξ).В начальный момент c = 0, поэтому A = εC, B < C иV (ξ) = (C − ξ)2 (ε2 − 4ξ) − 4η 2 ξ(C − B)(C − ξ).находимξ˙2 = −4A2 + α2 ξ 4 .Таким образом, ξ изменяется так же, как координата частицы (с мас2сой, равной единице) в поле V (ξ) = − α ξ 4 при энергии −2A2 (ср.
с зада2чей 1.2). Амплитуда за конечное время возрастает до бесконечной величины(так называемый взрывной рост амплитуды).Разумеется, использование усреднённой функции Гамильтона справедливо только при |ξ̇| ωξ, т. е. при ξ ω/α.Графики V (ξ) для случаев ε2 < 4η 2 C и ε2 > 4η 2 C приведены на рис. 162, аи б.В первом случае ξ испытывает колебания, так что происходят биения. Энергия периодически перекачивается от осциллятора x к осцилляторам y, z и обратно.
Во втором случае (т. е. при большой «расстройке» εи малых начальных амплитудах) колебания y и z не возбуждаются.Подробно об этой задаче см. [22].11.27.Вводим новые переменные:mω2 y + ipy iω2 te,√2mω2а) H = ε|a|2 + μ|a|4 + η(a2 + a∗2 ), гдеε = ω − γ,c=|a|2 + |c|2 = C.ξ˙2 + V (ξ) = 0,ξ̇ = {H , ξ} = − iα (P 4 − Q4 ).2b=|a|2 + |b|2 = B,УравнениеДля переменной ξ = −iQP = |a|2 , пропорциональной квадрату амплитудыколебании, уравнение движенияmωx + ipx iωte ,√2mωȧ = −iεa − iηbc,e4iωt + e−4iωt2a=319H = ε|a|2 + η(a∗ bc + ab∗ c∗ ),ε = ω1 − ω, η = √ α.4 2mωω2 ω3после усреднения сводится к11.26.§ 11.
Канонические преобразования3βx208ω(ср. с задачей 8.1).г) Новая функция Гамильтона"11.27]mω3 z + ipz iω3 te,√2mω31 Интегралыμ=3β,8mω 2B и C называют интегралами Мэнли–Роу.η = hω .8320Ответы и решения[11.28б) Уравнения движения−ȧ = i(ε + 2μ|a|2 )a + 2iηa∗ ,ȧ∗ = i(ε + 2μ|a|2 )a∗ + 2iηaимеют постоянные решенияa0 = 0,Рис. 162|a1 |2 =2η − ε.2μ11.29]§ 11.
Канонические преобразования321Величина Q2 + P 2 /m2 ω 2 представляет собой амплитуду колебания. Переменные Q и P мало изменяются за период 2π/γ. Это легко видеть изуравнений Гамильтона, содержащих малые параметры ε и h.На плоскости Q, P точка, изображающая состояние системы, движется по линии H (Q, P ) = C = const. На рис. 164, а и б приведены семейства таких линий для области параметрического резонанса |ε| < h/2и её окрестности |ε| > h/2. В первом случае амплитуда в конечном счетенеограниченно растёт, во втором — испытывает биения (ср.
с задачей 8.8).Для ξ = |a|2 получаем уравнениеξ˙ = −2iη(a∗2 − a2 ).Учитывая, что H = εξ + μξ 2 + η(a2 + a∗2 ) = C = const, получаемξ̇ 2 + V (ξ) = 0,гдеV (ξ) = 4η 2 [(a∗2 + a2 )2 − 4|a|4 ] = 4(C − εξ − μξ 2 )2 − 16η 2 ξ 2 .В интересующем нас случае, согласно начальным условиям, величина C мала. В области резонанса |ε| < 2η график V (ξ) (рис. 163) позволяетзаметить, что ξ испытывает колебания в пределахот нуля до ξm ≈ 2|a1 |2 .Таким образом, переход к установившемуся режиму колебании ξ = |a1 |2 (ср. с задачей 8.7) может быть обеспечен лишь каким-тоРис. 163неучтенным нами механизмом, например трением, и быть весьма длительным.
Подчеркнем, чтоэтот переходной процесс имеет характер биений даже при нулевой «расстройке», ε = 0, в отличие от переходного процесса в линейных колебаниях(см. задачу 5.11).Усреднённая функция Гамильтона2ε − h Q2 + 1 ε + h P 2 .H (Q, P, t) = H (Q, P ) = mω222m211.28.Рис. 16411.29. а) Легко проверить (ср. с задачей 11.4), что данное преобразование — каноническое.При V = 0 движение x-осциллятора изображается движением точкипо окружности в плоскости x, px /mω1 с частотой ω1 . Радиус этой окружности p2a = !x2 + 2x 2m ω1совпадает с амплитудой колебаний по оси x. В плоскости X, Px /mω1 этобудет неподвижная точка X = x(0), Px = px (0).
Таким образом, новыепеременные при V = 0 не зависят от времени и потому H0 = 0.11 Из уравнений Гамильтона для новых переменных (например, Ẋ = ∂H /∂P = 0) следуx0ет, что H0 не зависит от них и потому H0 = f (t), где f (t) — произвольная функция времени,которую мы, не теряя общности, можем положить равной нулю.322Ответы и решения[11.29При V = 0 эти переменные зависят от времени, но так как новаяфункция Гамильтона H = H0 + V = V мала, то усреднённое движениев этих переменных медленное.
Действительно, после усредненияH = −β(ω XPy − ω2 Y Px ) ,4ω1 ω2 1βY,4ω1Ẏ = −βX4ω2Y =−ω1ω2 A sin(γt + ϕ),βγ= √ ω1, 2 .4 ω1 ω2Аналогично для новых импульсов имеемPx = mω1 B cos(γt + ψ),√Py = −m ω1 ω2 B sin(γt + ψ).Таким образом, в плоскости X, Px /mω1 происходит медленное (с частотой γ) движение по эллипсу, что отвечает колебаниям по оси x с медленно изменяющейся амплитудойa(t) = X 2 + (Px /mω1 )2 = A2 cos2 (γt + ϕ) + B 2 cos2 (γt + ψ),т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
