1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 44
Текст из файла (страница 44)
а) Задача о движении частицы в магнитном поле при указанном выборе векторного потенциала сводится к задаче о движении гармонического осциллятора (см. задачу 10.7). Адиабатический инвариант2v⊥E − p2z /2m∝ πa2 B,I=∝ωBгде a =§ 13. Адиабатические инварианты351Соотношение I ∝ πa2 B допускает простую интерпретацию: радиусорбиты изменяется так, что поток магнитного поля через площадку, охватываемую ею, остается постоянным. Расстояние центра орбиты от плоскоcpyсти yz, равное x0 =с ростом B уменьшается.eBляВозникновение дрейфа орбит связано с появлением электрического по11∂AE = −c= 0, − c xḂ, 0∂tпри изменении магнитного поля (ср. [2], § 22).Векторы электрического поля E и скорости vдр для различных положений орбиты частицы показаны на рис.
181.б) Функция Гамильтона в цилиндрических координатах2p2rp2z1eB2++r.H=pϕ −2m 2m 2mr22cИнтегралами движения являются pz и pϕ .Адиабатический инвариант для радиального движенияrmin 2πIr =2mE⊥ − 12 pϕ − eB r2 dr2crrmaxxmin = l cos ϕ0 .13.22.13.23]cmv⊥— радиус орбиты частицы (см.
[2], § 21).eBпосле замены r = B −1/2 ζ принимает видζmax2E⊥ 12mE⊥e12dζ = πIr pϕ ,− 2 pϕ − ζ.2cBBζζminПоэтому E⊥ /B = const, т. е. энергия поперечного движения изменяетсятак же, как в пункте а). Расстояние центра орбиты от начала координатr0 =ζmax + ζminrmax + rmin=∝ √1 .√22 BBС ростом B центр орбиты приближается к началу координат (рис. 182).1 Интересно,что Ir фактически не зависит от pϕ при pϕ > 0. Действительно,∂Irпред∂pϕставляет собой изменение угла Δϕ за время одного радиального колебания, а при pϕ > 0начало координат лежит вне траектории (см. рис. 98, б), и потому Δϕ = 0.352Ответы и решения[13.2413.25]353§ 13. Адиабатические инварианты1Ir = πζmax%dζ= Ir (pϕ , C),Cζ 2 − p2ϕ − m2 ζ 4ζ(2)ζminгде2mE⊥ + eBpϕ /c.C= ω 2 + (eB/mc)2Рис.
181Таким образом,Рис. 182Ez ∝ ω,При изменении B появляется электрическое поле(E)ϕ = − r Ḃ,2c(E)r = (E)z = 0,силовые линии которого представляют собой замкнутые окружности.В реальных условиях однородное магнитное поле может существоватьтолько в ограниченной области пространства. Электрическое поле, появляющееся при изменении магнитного, очень сильно зависит от формы этойобласти и условий на её границе (см.
[2], § 21). Например, поле, рассмотренное в случае а), осуществляется вблизи проводящей плоскости с током,в случае б) — в соленоиде1 .Сильная зависимость характера движения частицы от слабого поля Eдаже в случае предельно малых B объясняется наличием вырождения (приB = const периоды движения по двум координатам x, y или r, ϕ совпадают).Заметим, что величина E⊥ /B оказалась адиабатическим инвариантомв обоих случаях. Можно показать, что этот результат не зависит от выбора A (см. [2], § 21; [8], § 25).13.24.Выбрав векторный потенциал в видеAϕ = r B(t),2Ar = Az = 0,(1)получаем адиабатические инвариантыEIz = ωz ,1 ИзмененияIϕ = pϕ ,электрического поля, связанного с изменением выбора A, не было бы, ес-1ли бы одновременно был изменен скалярный потенциал на величинуḂxy (градиентное2cпреобразование).E⊥ + eB pϕ ∝2mcω2+eB2mc2.(3)Векторный потенциал (1) задает магнитное поле, симметричное относительно оси z, проходящей через центр осциллятора.При другом выборе AAx = Az = 0,Ay = xB(t)(4)получаем фактически другую физическую задачу.
Функции Лагранжа вэтих двух задачах отличаются наdeBxy − e Ḃxy,(5)δL =2cdt 2cт. e. отличие их, если отбросить в (5) несущественную полную производнуюпо времени, очень мало́.В предыдущей задаче, где движение было вырождено, именно появление этой добавки приводило к полному изменению направления и скоростидрейфа орбиты. В нашем же случае движение осциллятора при B = constневырожденное, и добавка может быть отброшена (ср.
с задачей 13.19). Поэтому соотношения (3) справедливы и при другом выборе A. При прохождении области вырождения (B = 0) соотношения (3) сохраняются толькодля аксиально-симметричного поля (1). Поведение же осциллятора, например, в поле (4) при прохождении B через нуль требует дополнительногоисследования.13.25. а) С помощью канонического преобразования можно привести функцию Гамильтона к сумме гамильтонианов двух независимых осцилляторов (для X, Y ; см. задачу 11.9).
Адиабатическими инвариантамиявляются отношения энергии каждого из этих осцилляторов к его частоте.354Ответы и решения[13.27Напомним, что колебания каждого из них представляют собой движение по эллипсу (см. задачу 6.36). Выраженные, например, через амплитуду ak колебаний вдоль оси x, адиабатические инварианты равныIk =2ma2k Ω4k − ω12 ω22 + Ω2k ωB2ΩkΩ2k − ω22∂tские инварианты оказываются прежними (опять за исключением случая(ω1 = ω2 , B = 0).Если ω1 = ω2 , то возможен и другой выбор адиабатических инвариантов (см.
предыдущую задачу).б) Пусть для определённостиω1 > ω2 . Движение происходит поω1с частотой ωB , центр же окружности пере2ωBмещается по эллипсу с полуосями, параллельными осям x и y и равными√√bω2 ωBb ω1 ωBи ω1 (ω12 + ω22 )ω12 + ω22с частотой ω1 ω2 /ωB .в) Колебаниебудет происходить почти вдоль оси у; амплитуда его увеличится в ω1 /ω2 раз (ср.
с задачей 13.19).13.27. а) Движение частицы в плоскости xy происходит под действием медленно изменяющегося (из-за смещения вдоль оси z) магнитного1 Вычисление частной производной производящей функции можно упростить, используяследующие соображения.При переходе от момента t к t + δt необходимо совершить дополнительно каноническоепреобразование, соответствующее переходу от λ к λ + δλ.
Такое преобразование задается , P ) = XP + Y P + δλ(mω XY + P P /mω )производящей функцией Φ(X, Y, PX22YXYX Y∂Φ= λ̇(mω2 XY + PX PY /mω2 ).(см. задачу 11.17). Поэтому∂tδλ→0355§ 13. Адиабатические инвариантыполя. При этом сохраняется адиабатический инвариант I⊥ = E⊥(см. задачу 13.23). Из закона сохранения энергии имеемD eB(z)mcmż 2 + I eB(z) = E.⊥ mc2(k = 1, 2).При изменении параметров системы к новой функции Гамильтона добавляется также частная производная производящей функции по времени, равная1 λ̇(mω2 XY + PX PY /mω2 ). Эта добавка мала (λ̇ Ωk ), и её можноне учитывать, если только собственные частоты не совпадают (ср. с задачей 13.19). Случай вырождения при ω1 = ω2 и магнитном поле, проходящем через нуль, требует отдельного рассмотрения.При другом выборе векторного потенциала, приводящего к тому жемагнитному полю, но другому электрическому, E = − 1c ∂A , адиабатиче-окружности радиуса a13.29]Частица движется в направлении оси z так, как двигалась бы в потенциальном полеeB(z)U (z) = I⊥ mc .Период колебаний (ср.
с задачей 2 б из [1], § 11)2πaT = ,v λ sin2 α − cos2 αгде α — угол между скоростью частицы v и осью z в начале координат. Частицы, для которых ctg2 α > λ, не удерживаются в ловушке. Условие применимости теории адиабатических инвариантов заключается в том, чтобыизменение магнитного поля за один оборот частицы было мало. Это даетmcλvz aeB0 .Примером магнитной ловушки могут служить радиационные поясаЗемли (подробнее о магнитных ловушках см.
[29]).б) T = 2πa .v sin α213.28. a) (λE⊥ − Ez )a√ = const, E⊥ /B0 = const, E = E⊥ + Ez ;б) E⊥ /B0 = const, Ez B0 /a = const.13.29.Пренебрегая в функции ГамильтонаH=p2ϕp2θeBpϕp2reB 2 r2 sin2 θ+++−2m 2mr22cm8mc22mr2 sin2 θпоследним членом, квадратичным по B, можем разделить переменныев уравнении Гамильтона–Якоби.Адиабатические инварианты имеют вид θ221 !β − pϕ dθ = I (p , β),Iϕ = pϕ , Iθ = πθ ϕsin2 θθ1356Ответы и решения1Ir = πr2r1[13.30 "#!2m E + eBpϕ − U (r) − β dr = Ir E + eBpϕ , β .2mc2mcr2Таким образом, при медленном изменении B величиныpϕ , β = p2θ +p2ϕ2sin θиE+eBpϕ2mcостаются постоянными.13.30.p2y2 2p2x+ mω x = E1 ,+ 2mω 2 y 2 = E2 ,2m22m(m2 ω 2 x2 − p2x )y + xpx py = A,13.32]357§ 13.
Адиабатические инварианты(верхний знак отвечает движению вправо, нижний — влево; рис. 183). Функция S(x, I) служит производящей функцией для перехода к новым каноническим переменным действие-угол (см. [1], § 49). Новые переменные связаны со старыми следующим образом: 2/3? 2@Iπ − [(2n − 1)π − ω]2 ,x = 21aπ F 2/33Ip= a a[(2n − 1)π − ω],2причём x является периодической функцией w (а w — неоднозначной функцией x; рис. 184).1 {E , A}.(m2 ω 2 x2 − p2x )py − 2mωxpx y = m2pp2mωq 2+.13.31. а) w = Arctg mωq , I =2mω2Эти переменные удобны, например, для построения теории возмущений(см. задачу 13.9).б) Пусть вначале частица движется вправо от точки x = 0, причём мывыбираем S так, что S = 0 при x = 0.
Тогда 3/2x2/3IS = |p| dx = πI − πa− Fx,a0где√xm2 2m1|p| dx = aE 3/2 , a =, xm = E , |p| = 2m(E − xF ).I=π3πFF0При движении влево⎛x⎞ 3/2 m x2/3IS = ⎝ − ⎠ |p| dx = πI + πa− Fxa0xmи т. д. При n-м колебании3/2 2/3I− FxS = (2n − 1)I ∓ πaaРис. 18313.32.Рис. 184Из равенстваa P =2m(E − U )dx0находим22 2E = P 2 + V + mV 2a .22ma8PУкороченное действие√2mEx + (n − 1)PxS0 = p dx =2m(E − V ) x − 1 a +2 0√ + 2mE 1 a + (n − 1)P2при na < x <приn+ 12n+ 12a,a < x < (n + 1)a.358Ответы и решения[13.32Исключив E, получаем производящую функцию рассматриваемого канонического преобразованияP + maV x + (n − 1)Pa2P2S0 (x, P ) =ma V P − maV x+a2P2Pпри na < x <при+ (n − 1)Pn+ 12n+ 12a,Литератураa < x < (n + 1)a.[1] Л. Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
