1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 43
Текст из файла (страница 43)
а) E = −A 1 − √ αI;2mA;б) E = −U0 1 − √ αI2mU022U0αIв) E = αIm + 2m ; D 2n/(n+2)%π I A1/n Γ 1 + 31Γ nг) E =.n2m 2213.5.13.6.h ∝ (sin α)2/3 .−1/4a ∝ (sin α). 8ml glϕ0ϕ02 ϕ0I=Esin−cos.Ksinπ222√13.7.13.9]§ 13. Адиабатические инварианты34313.8. Обозначим через x и X координаты частиц m и M , отсчитываемые от точки O. Движение легкой частицы можно приближенно рассматривать как движение между двумя стенками, одна из которых перемещается.Поскольку выполняется условие|ẋ| |Ẋ|,(1)сохраняется усреднённое по периоду произведение |ẋ|X = C (см. задачу 13.2). Исключая ẋ из закона сохранения энергииmẋ2 + M Ẋ = E,22находим, что влияние легкой частицы на движение тяжелой равносильно2появлению потенциальной энергии U (X) = mC2 . Уравнение2XM Ẋ 2 + U (X) = E2приводит к закону движения2X = mC + 2E (t − τ )2 .2EMПостоянные E, C и τ могут быть определены по начальным значениямX, Ẋ и ẋ (не зависят от x(0)).
После того как условие (1) будет нарушено,предлагаемый способ решения задачи будет неприменим.Подобное приближение (называемое адиабатическим) находит широкое применение, например, в теории молекул.13.9. Обозначим координаты тяжёлых частиц X1,2 , а легкой x. ПриX1 < x < X2 потенциальная энергияU = (x − X1 )f + (X2 − x)f = (X2 − X1 )f.Поэтому легкая частица свободно движется между тяжёлыми, и|ẋ|(X2 − X1 ) = C = const(см. предыдущую задачу). С учётом этого из закона сохранения энергии дляотносительного движения тяжёлых частиц (X = X2 − X1 ) получаемM Ẋ 2 + mC 2 + f X = E.42X 2344Ответы и решения[13.102Разлагая Uэфф (X) = mC2 + f X вблизи минимума X0 = (mC 2 /f )1/3 ,13.12]§ 13.
Адиабатические инварианты345будет существенно отличаться от невозмущённого2Xнаходим частоту малых колебаний «иона»2U (X0 )6f.=MM X0В уравнениях для P и QQ̇ = ω + ω̇ sin 2Q, Ṗ = −P ω̇ω cos 2Q2ωразложим частоту в ряд по t. Ограничиваясь поправками первого порядка, получимω2 =13.10.q0 (t) = A0 cos(ω0 t + ϕ),ω̇Q = (ω0 t+ϕ)+ 1 ω̇0 t2 + 022ω0tsin 2Q(t) dt,так что разницаq(t) − q0 (t) ∼ q0 (t).При попытке строить теорию возмущений для переменных q и p мы получим для поправки первого порядка q1 (t) уравнениеq̈1 + ω02 q1 = −2ω0 ω̇0 tA0 cos(ω0 t + ϕ)с растущей во времени резонансной силой.
Поэтому полученное в такойтеории решение справедливо лишь для малых промежутков времени порядка нескольких периодов колебаний0ω̇P = P0 1 − ω00tcos 2Q dt ,2π 1 .ω0εω0(1)(2)13.12.Преобразуем функцию Гамильтона системы0где ω0 и ω̇0 — значения частоты и её производной в момент времени t0 = 0, причёмω̇0 = ε2 ω02 и ε 1.Фаза Q и амплитуда A =2Pmω0 воз-мущённого движения относительно малоотличаются от своих невозмущённыхзнаРис. 176чений Q0 = ω0 t + ϕ и A0 =2P0mω0 дажедля промежутков времени, много большихпериода колебаний 2π/ω) (рис. 176).Так, для моментов времени t ∼ 1/εω0 второй член в (1) порядка единицы, а третий — порядка ε, и поэтомуQ = ω0 t + ϕ + 1 ω̇0 t2 ,2H(x, p, t) =к виду(1)22p2x− F 2− F 2 = E(t).+2m 2mωmωОтсюда видно, что фазовая траектория представляет собой эллипс, смещённый вдоль оси x на расстояние F/mω 2 , с полуосями22F2Ea=+ 2 4 , b = 2mE + F 2 .2mωm ωωmω 22Адиабатический инвариант с точностью до множителя 1 совпадает с пло2πщадью этого эллипсаP = P0 .Но такое изменение фазы приведет к тому, что в переменных p, q возмущённое движениеq(t) = A0 cos ω0 t + ϕ + 1 ω̇0 t222 2p2+ mω x − xF (t) = E(t)2m2E + (F 2 /2mω 2 ).I = 1 ab =ω2Здесь2E+ F 22mω(2)346Ответы и решения[13.13имеет смысл энергии колебаний вблизи смещённого положения равновесия(ср.
с задачей 5.16). Подставляя в (2) значение E из (1), можем представитьрезультат в виде$$2$$I = m $$ẋ + iω x + F 2 $$ =2ωmω$2$$$ t$F (t) $1= m $$ meiω(t−τ ) F (τ )dτ + eiωt [ẋ(0) + iωx(0)] − i mω $$ .2ω $$13.18]§ 13. Адиабатические инвариантыЗависимость E(R) можно выяснить, не вычисляя интеграла (1). Замена r == Rx дает1Ir = π1 x(0) −−ωF (0)mω 2 t0sin α =13.14.a0$ t$2$$$$1iωt$Ḟ (t) cos ωt dt +Ḟ (t)e dt$$ .$2mω $$rmin0bcлелепипеда, a Ik = const.б) Сохраняются абсолютные величины проекции скорости на каждоеиз ребер.13.15. Переменные разделяются в сферических координатах. Моментимпульса M сохраняется строго (Mz является, кроме того, адиабатическиминвариантом, соответствующим углу ϕ). Адиабатический инвариант длярадиального движенияR 212mE − M2 dr.Ir = πrrmina) E ∝ γ 2−n ; б) E ∝ γ −1 .13.17.
Приравнивая значения адиабатического инварианта до и послевключения поляrmaxrmax22E − M 2 − U (r) dr =E + M 2 − U − δU dr2mr2mrF (t) sin ωt dt−P V 5/3 = const. 22I1I22I32π+ 2 + 2 , где a, b, c — длины ребер паралa) E =22mrmin=√ M= const.R2mER213.16.Таким образом, если сила изменяется медленно, то I(t) осциллирует вблизи I(0). Если F (t) → const при t → ∞, то полное изменение адиабатического инварианта I(∞) − I(0) может быть очень малым (см. задачу 5.18).13.13.(2)откуда ER2 = const. Поэтому для угла падения α(Здесь для величины ẋ + iωx использованы соотношения (22.9), (22.10)из [1]).
Интегрируя по частям, получимt1 22mER2 − M2 dx = Ir (ER2 , M ),xxmin0ẋ(0)I(t) = I(0) + 2ω347(1)rminполучаемδE = δU = 2TrmaxrminδU dr.22M −Um E−22mr13.18. E = I1 Ω1 + I2 Ω2 (обозначения задачи 6.5 а). Траектория заполняет прямоугольник%%|Q1 | I1 Ω−1,|Q|I2 Ω−1212 .Условия применимости теории адиабатических инвариантов:|Ω̇i | Ω2i ,|Ω̈i | Ωi |Ω̇i | (i = 1, 2).Вне области вырождения эти условия сводятся к таким же условиям, наложенным на ω1 (t).
В области вырождения (|ω12 − ω22 | ∼ α) второе условиеоказывается более жестким и даёт |ω̇1 | α (область вырождения проходится за время, гораздо большее периода биений).348Ответы и решения[13.1913.19. В отсутствие связи αxy система распадается на два независимых осциллятора с координатами x и y. Соответствующие адиабатическиеинвариантыEyEIx = ωx , Iy = ω ,12где Ex и Ey — энергии этих осцилляторов.При учёте связи система состоит из двух независимых осцилляторовс координатами Q1 и Q2 . Если частота изменяется достаточно медленно,то сохраняютсяEEI2 = 2 .I1 = 1 ,Ω1Ω2Вне области вырождения нормальные колебания сильно локализованы,а именно при ω1 < ω2 оказывается Q1 = x, Q2 = y, a при ω1 > ω2Q1 = +y, Q2 = −x.
Таким образом, при ω1 < ω2 оказывается Ix = I1 ,Iy = I2 , при ω2 < ω1 наоборот, Ix = I2 , Iy = I1 (рис. 177).13.20]§ 13. Адиабатические инварианты349чти вся энергия перейдет к маятнику CD, и амплитуда его станет равной 3/4ϕ1 = ϕ0 l, как для отдельного маятника.LПри сравнительно быстром прохождении области вырождения ω̇1 αподобной перекачки энергии между осцилляторами не происходит. Если,кроме того, ω̇1 ω12 , ω̈1 ω1 ω̇1 , то сохраняются Ix и Iy .13.20.Из уравнений движенияẍ + ω12 x + 2βxy = 0,(1)ÿ + ω22 y + βx2 = 0,(2)легко обнаружить, что связь осцилляторов приводит к большой передачеэнергии при 2ω1 ≈ ω2 .Пустьx = a(t) cos(ω1 t + ϕ),y = b(t) cos(ω2 t + ψ).Если a b, то членβx2 = 1 βa2 + 1 βa2 cos(2ω1 + 2ϕ)22в (2) играет роль вынуждающей силы, приводящей к резонансному росту y.Если же a b, то член2βxy = 2βbx cos(ω2 t + ψ)Рис.
177Рис. 178Проиллюстрируем это следующим примером. Два маятника, длина одного из которых может медленно изменяться, связаны пружинкой малойжёсткости (рис. 178). При значительной разнице длин маятников l и L нормальные колебания почти совпадают с колебаниями одного или другогомаятника.Пусть вначале маятник AB колеблется с амплитудой ϕ0 , а маятник CD — с очень малой. При уменьшении L амплитуда колебаний маятника CD остаётся малой, пока длина его не станет почти равна l. При L ≈ lамплитуда его возрастает (а при l = L оба маятника будут колебаться с амϕплитудами, равными √0 в противофазе). С дальнейшим убыванием L по2в (1) приводит к параметрической раскачке колебаний x.
Подробное исследование системы (1) и (2) можно найти в задаче 8.10.Область резонансного взаимодействия:βb|2ω1 − ω2 | ω .1Сильное резонансное взаимодействие осцилляторов имеет место, вообще говоря, при условиях nω1 = mω2 , где n и m — целые числа.
Однакоширины областей частот, в которых осуществляются эти резонансы, прине очень малых n и m чрезвычайно малы (см. [1], § 29). Поэтому их влиянием на движение осцилляторов можно пренебречь при ω̇1 не слишкоммалых (хотя и достаточно малых для того, чтобы можно было использоватьтеорию адиабатических инвариантов).350Ответы и решенияРис. 179[13.2113.21.Пусть частица, движущаясяв плоскости xy под малым углом к оси y (|ẋ| |ẏ|), отражается от оси x и от кривой y0 (x)(рис. 179).Если считать закон движения в направлении оси x известным, то можно исследовать движение в направлении оси y, рассматривая x(t) как медленно изменяющийся параметр.
Сохраняется адиабатический инвариантpy dy = 2|py |y0 (x) = 2πI,и это равенство определяет зависимость py (x).Для определения же x(t) можноиспользовать закон сохранения энергииm2 ẋ2 + p2y (x) = 2mE. Минимальноерасстояние xmin определяется условиемp2y (xmin ) = 2mE. Подставляя√y0 (x) = x tg α, 2πI = 2 2mEl tg α cos ϕ0 ,получаемРешение задачи методом отраженийочевидно из рис. 180. Этот метод даётточное решение, применимое при любых углах α и ϕ0 , но не может бытьобобщён на случаи, когда y0 (x) не является прямой.Рис. 180tg αxm = tg ϕ, T =2π.√αv cos 2ϕ13.23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
