1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Таким образом, в указанномв условии задачи приближенииQ = A cos ωt,и согласно (1)4Q11.3.x = Q − aQ2 − 3bP 2 .P = −ωA sin ωt2αAαx = A cos ωt − 2 − β + 2 A2 sin2 ωtωω(ср. [1], § 28).11.6. Приведя функцию Гамильтона к виду, рассмотренному в задаче 10.4, получаем5β 39βx=Q−Q −QP 2 ,8ω028ω04где3β 2AQ = A cos ωt, P = −ω0 A sin ωt, ω = ω0 +2ω0(ср. [1], § 28).306Ответы и решения[11.7H (P, Q) = H(P, Q).11.7.При X = A sin(ωt + ϕ), Y = 0 — осциллятор совершает движение поэллипсуx = A cos λ sin(ωt + ϕ),y = A sin λ cos(ωt + ϕ).11.8. Для того чтобы сделать запись менее громоздкой, удобно временно положить m = ω = e = c = 1. В окончательных выражениях этимножители легко будет восстановить.
Преобразование задачи (11.7) представляет собой поворот в плоскости xpy и ypx , поэтому оно сохраняет видчасти функции Гамильтона, равной11.10](ср. [2], § 21, задача). Каждой из координат X, Y соответствует движениепо эллипсу; произвольное колебание — суперпозиция двух таких движений(ср.
задачи 6.36, 11.7).Интересно, что при B → 0 оказывается λ = π/4 (а отнюдь не λ = 0).Это значит, что даже при очень слабом поле B «нормальными» оказываются колебания, «поляризованные по кругу». Колебания же, отвечающие координатам X(Y ) при λ = 0, которые в отсутствие поля B были бы «линейнополяризованными», при наличии поля B медленно изменяют направлениеполяризации.Если магнитное поле переменное, то к функции Гамильтона (1) следуетдобавить частную производную по времени производящей функцииxPX + yPYPX PYtg λ +Φ = −mωxy ctg λ − mωcos λ1 (x2 + y 2 + p2 + p2 ).xy2(выразив её через X, Y, PX , PY ) (см.
также сноску к решению задачи 13.25).Добавка же, возникающая от членов 1 B 2 x2 − Bxpy , равна2Полагая в каноническом преобразовании предыдущей задачи11.9.1 B 2 (X 2 cos2 λ + P 2 sin2 λ + 2XP sin λ cos λ) +YY2+ B(X 2 − PY2 ) sin λ cos λ − B(cos2 λ − sin2 λ)XPY .sin λ − cos λ + B sin λ cos λ = 0,2т. е.ω = ω2 ,получимНедиагональный член XPY исчезнет, если положить2307§ 11. Канонические преобразованияtg 2λ = 2 .BПосле несложных преобразований функция Гамильтона приводится к виду2 *+* 2++ PY2 ctg2 λ + mω X 2 tg2 λ + Y 2 .H = 1 PX2m2"H = 12m2PXtg 2λ =Ω2+ 22 PY2 + p2zω2#2ωB ω22ωB+ ω12 − ω22,+*+ m Ω21 X 2 + ω22 Y 2 + ω32 z 2 ,2где Ω1,2 определены в задаче 6.36.Преобразование (λ = π/4)PY sPXs11qs1 = √, qs2 = √Xs +Ys +N mωsN mωs2211.10.(1)Таким образом, переменные X, Y испытывают гармонические колебания с частотами, равными соответственно2eB2− eB ,ω1 = ω tg λ = ω +2mc2mc2+ eBω2 = ω ctg λ = ω 2 + eB2mc2mcсохраняет вид функции Гамильтона (ср.
с задачей 11.7)Rp2s1 + p2s2p20N mωs2 22(qs1 + qs2 ) =H=++22N m2N ms=1R2PXs+ PY2 sp20N mωs2 2=(Xs + Ys2 ) .++22N m2N ms=1308Ответы и решения[11.11Колебание, соответствующее Xs = A cos(ωs t + β), естьA sin(ω t + nϕ + β),xn = √ss2а соответствующее Ys = B cos(ωs t + β) — есть колебаниеB sin(−ω t + nϕ − β) .xn = √ss211.11. Новая функция Гамильтона H = ωP1 . Уравнения движения вновых переменных имеют видṖ1 = Ṗ2 = Q̇2 = 0,Q̇1 = ω.Как изменится вид функции Гамильтона H , если B зависит от времени?11.12. Предложенное преобразование p = αP , r = Q/α есть преобразование подобия.11.13.Градиентное преобразованиеA = A + ∇f (r, t),∂f (r, t)ϕ = ϕ − 1c∂tr = r,P = P − ec ∇f,∂fH = H − ec∂tΦ(r, P) = rP − ec f (r, t).11.14.Φ(q, P ) = qP − f (q, t).11.15.б) Fτ (q, Q) = F τ (q + Q) + m (q − Q)2 ;22τmω [2qQ − (q 2 + Q2 ) cos ωτ ].2 sin ωτ11.16.
a) Q = r + δa, P = p — сдвиг системы как целого на δa (илисдвиг системы координат на −δa).309б) С точностью до бесконечно малых первого порядка включительноQ = r + [δϕ, r],P = p + [δϕ, p].Преобразование представляет собой поворот системы координат наугол −δϕ.в) Q(t) = q(t + δτ ), P (t) = p(t + δτ ), H (P, Q, t) = H(p, q, t + δτ ).Преобразование представляет собой сдвиг во времени на δτ (ср. [1], § 45,[33] § 39).г) Q = r + 2p δα, P = p − 2r δα.Преобразование представляет собой поворот на угол 2 δα в каждойпаре плоскостей xi pi (i = 1, 2, 3) в фазовом пространстве.11.18.
а) Φ(r, P) = rP+nPδa+n [r, P] δϕ, где δa — смещение вдольнаправления n, а δϕ = 2π δa — угол поворота вокруг n (h — шаг винта);hб) Φ(r, P, t) = rP − VPt + mrV;в) Φ(r, P, t) = rP − t δΩ [r, P].11.19. δf (q, p) = λ{W, f }p,q .В самом деле, подставляя значения новых переменныхP = p − λ ∂W ,∂qQ = q + λ ∂W∂Pв f (Q, P ) и разлагая полученное выражение по степеням λ, получим с точностью до первого порядка включительноδf (q, p) = λс помощью производящей функциив) Fτ (q, Q) =§ 11.
Канонические преобразованияможно представить как каноническое преобразование11.20]∂f ∂W (q, p)∂f ∂W (q, p)−λ.∂q∂p∂p∂q11.20. Полагая в предыдущей задаче Φ = rP + λrP, получим преобразование подобия с α = 1 + λ (см. задачу 11.12). Предложенная функцияГамильтона такова, чтоH (P, Q) = α2 H(P, Q),и поэтомуλ{H, rp} = H − H = 2λH(λ → 0).С другой стороны, {H, rp} = d (rp). Отсюдаdtrp − 2Et = const(ср. с задачей 4.13 б).310Ответы и решения[11.2211.22. Пусть δ1 q и δ1 p — изменения координат и импульсов1 , связанные с преобразованием, задаваемым Φ1 .
Тогдаf (q + δ1 q, p + δ1 p) = f (q, p) + λ1 {W1 (q, p), f (q, p)} + λ21 ϕ1 (q, p).+λ1 λ2 {W2 , {W1 , f }} + λ21 ϕ1 + λ22 ϕ2 .+λ1 λ2 {W1 , {W2 , f }} + λ21 ϕ1 + λ22 ϕ2а) Бесконечно малое изменение координат и импульсов при данномканоническом преобразовании имеет видδr = − λ {W, r} = λ {Ma, r} = −[n, r] δϕ,NNδp = −[n, p] δϕ,λaгде M = [r, p], n = aa , δϕ = − . Это преобразование представляет собойN(2)Преобразование λ21 ϕ1 (q, p) дает добавку выше второго порядка малости.Результат применения этих преобразований в обратном порядкеf (q + δ12 q, p + δ12 p) = f + λ1 {W1 , f } + λ2 {W2 , f }+(3)поворот системы координат на угол δϕ вокруг направления n.
Направивось z по a, получаем окончательноX = x cos ϕ − y sin ϕ,λ1 λ2 ({W2 , {W1 , f }} − {W1 , {W2 , f }}) = λ1 λ2 {f, {W1 , W2 }}.Поэтому, в частности, сдвиги λW = δaP (см. задачу 11.16) перестановочны, а повороты вокруг разных осей λW = δϕ [r, P] — нет.Справедливо ли утверждение, обратное сформулированному в задаче?11.23. Каноническое преобразование с переменным параметром λможно рассматривать как «движение», причём λ играет роль времени,a W (q, p) — функция Гамильтона (ср. с задачей 11.16 в).
Уравнения «движения»∂W (Q, P )∂W (Q, P )dQ=, dP = −.dλ∂Pdλ∂QЭти уравнения легко получить и формально из результата задачи 11.19.например, изменение импульса с точностью до второго порядка:δ1 p = P − p = −λ1∂W1 (q, P )∂W1 (q, p)∂ 2 W1 (q, p) ∂W1 (q, p)= −λ1+ λ21.∂q∂q∂p∂q∂qY = y cos ϕ + x sin ϕ,Z =zи аналогичные формулы для компонент импульса.б) Бесконечно малое изменение координат и импульсов при каноническом преобразовании, задаваемом A1 , имеет видδx = px δϕ,отличается от (2) только членами второго порядка, пропорциональнымиλ1 λ2 . Вычитая (3) из (2), получим1 Укажем,311§ 11. Канонические преобразования(1)К каждому из слагаемых правой части (1) применим далее преобразование,задаваемое функцией Φ2 ,f (q + δ21 q, p + δ21 p) = f + λ2 {W2 , f } + λ1 {W1 , f }+11.23]δy = −py δϕ,δpx = −x δϕ,δpy = y δϕ,где δϕ = λ .
Это преобразование представляет собой поворот на угол +δϕ2Nв плоскости xpx и на угол −δϕ в плоскости ypy . ПоэтомуX = x cos ϕ + px sin ϕ,PX = −x sin ϕ + px cos ϕ,Y = y cos ϕ − py sin ϕ,PY = y sin ϕ + py cos ϕ.Аналогично A2 (A3 ) задает поворот на угол ϕ(−ϕ) в плоскостях xpyи ypx (xy и px py ) и A4 — поворот на угол 4ϕ в плоскостях xpx и ypy .Отнюдь не любой поворот в фазовом пространстве является каноническим преобразованием.
Например, поворот в плоскости xpy — не каноническое преобразование.Интересно сравнить движение двумерного изотропного гармонического осциллятора (функция Гамильтона H = 1 A4 ) и движение частицы2в плоскости xy в произвольном поле, обладающем осевой симметрией,U (x2 + y 2 ). В обоих случаях интегралами является момент импульса 2A3 ,сохранение которого связано с инвариантностью системы по отношениюк поворотам вокруг оси z.
Для осциллятора, кроме того, есть интегралыдвижения A1 и A2 , сохранение которых связано со «скрытой» симметрией — инвариантностью функции Гамильтона относительно определённых312Ответы и решения[11.2411.24]§ 11. Канонические преобразования313поворотов в фазовом пространстве. В этом смысле осциллятор подобен частице в трёхмерном центральном поле, для которой есть три интеграладвижения Mx,y,z .Наличие дополнительных интегралов движения у осциллятора приводит к тому, что точка (x, y, px , py ) в фазовом пространстве движется позамкнутой линии, в то время как для частицы в произвольном поле U (x2 ++y 2 ) фазовая траектория «заполняет» двумерную поверхность (см.
[1], § 52,[33] § 44).11.24. а) В импульсном и фазовом пространстве выделенный объёмс течением времени не меняется, в координатном пространстве происходит его «расплывание». Так, если в начальный момент состояние системыизображалось прямоугольником ABCD (рис. 158), то через время t, он перейдет в параллелограмм A B C D (AD = A D ), причём расстояние поΔp0оси x между точками A и C равно Δx = Δx0 + m t. Co временем этотпараллелограмм вырождается в узкую полоску большой длины.Рис. 159= 2πω возвращаются в исходное состояние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
