1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Но качественное описание движения легко дать, если заметить, чтоуравнение (1), связывающее между собой углы θ и ϕ, с точностью дообозначений совпадает с уравнением траектории сферического маятника(см. [1], § 14, задача 1). Поэтому частица движется так, что точка пересечения её радиуса-вектора с поверхностью сферы радиуса l описывает такуюже кривую, как и сферический маятник длины l с энергией, равнойа константы E и β удовлетворяют неравенствам E < 0, β > 0.Если 0 < β < 2ma, то орбита «заполняет» область ABCDEF(рис. 169); r1 r r2 , r1,2 =pβ, θ θ θ2 , θ1 = arcsin,1±e 12maθ2 = 2π − θ1 , т.
е. проходит сколь угодно близко к любой точке этой области.Если β = 2ma, то√f (θ) = 2 ln tg(θ/4) + C1(2)и траектория расположена внутри кольца r1 r r2 (рис. 170).β2ml2и моментом импульса, равным pϕ в поле тяжести g = − a 3 . Эта криваяmlзаключена между двумя «параллельными» окружностями на сфере θ = θ1и θ = θ2 .При условии α2 < 2Eρ2 /a 1 уравнения (1) и (2) легко проинтегрировать: #" 22r0αma!Arsh r + ε + α ,θ=π−cos 2ε−22|β|(3)√2α εEρ2, ε= a .θ=π− 2ε + α2 + (2ε − α2 ) cos 2ϕРис. 169Рис.
170Если β > 2ma, то траектория заполняет кольцо r1 r r2 . В частности, если β 2ma, тоf (θ) = θ + ζ sin θ + 3 ζ 2 θ + 3 ζ 2 + C2 ,48(3)334Ответы и решения[12.9где ζ = ma/β. Это — слабо деформированный прецессирующий эллипс,характер деформации которого связан с его ориентацией. Уравнение (3)применимо и при θ ζ −2 .
Интересно сравнить его с результатами задачи 2.24.12.9.Для движения в кольце r1 r r22π012.12]12.12. б) Полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби (см. [1],§ 48, задача 1)S = −Et + pϕ ϕ + pξ (ξ) dξ + pη (η) dη,гдеdθ= 2π n .l2ma1−cos θpξ = ±βДля движения в области r1 r r2 , θ1 θ θ2θ2θ1pη = ±dθ= πnl1 − 2ma cos θ12.10. Переменные в уравнении Гамильтона–Якоби разделяются, если выбрать ось z вдольвектора a (см.
[1], § 48, формула (48.9)). Движение% drпо радиусу t = mпри β 0 такое же, как и дви2βE−α−r22mrжение частицы в кулоновом поле −α/r с моментом β и энергией E. Приβ < 0 происходит падение частицы на центр. Уравнения траектории ∂S =∂pϕpϕ dθβ − 2ma cos θ −Uξ (ξ) =m (E − U (η)),η2Uη (η) =∂S = B,∂β(n и l — целые числа).sin2 θm (E − U (ξ)),ξ2p2ϕ2mξ 2p2ϕ2mη2−mα + β− F ξ,2mξ−mα − βFmη + 2 η.Траектория и закон движения определяются уравнениямиβ= const, ∂S = const.
Первое из них∂βϕ=±335§ 12. Уравнение Гамильтона–Якобит. е.∂S = C,∂pϕpϕpϕdηdξdη= B, ϕ −−= C,2222ηpη (η)ξ pξ (ξ)η pη (η)dξdη+m= A.−t + m44pξ (ξ)pη (η)(1)Для исследования характера движения нужно определить области допустимых при данных E, pϕ , β значений ξ и η. Графики эффективных потенциальных энергий Uξ (ξ) и Uη (η) изображены на рис. 171.dξ−ξpξ (ξ)p2ϕsin2 θсовпадает с уравнением траектории сферического маятника с энергиейβ/2ml2 и моментом Mz = pϕ в поле тяжести g = −a/ml3 (см. [1], § 14,задача 1). Второе уравнение связывает r и θ. При анализе этого уравненияможно также воспользоваться аналогией со сферическим маятником.12.11. а) |Mz | < mb/2.б) Финитное движение возможно при любом Mz .∂S = A,∂EРис.
171336Ответы и решения[12.13Если F = 0, то при −mα < β <mα (см. кривые а) и E < 0 движение как по ξ, так и по η финитно, приE > 0 — инфинитно. С появлениеммалой силы F > 0 на графике Uξ (ξ)появляется максимум (см. кривые b);при Uη min < E < Uξ max движение по-прежнему финитно.
В «плоскости ρz» движение ограничено областью ξ1 ξ ξ2 , η1 η η2(рис. 172); сама же плоскость ρz враРис. 172щается вокруг оси z с угловой скоростью ϕ̇. Траектория заполняет область пространства, образуемую вращением фигуры ABCD вокруг оси z(см. также задачу 2.36). При Uξ max < E движение инфинитно.С ростом F величина Uξ max уменьшается, a Uη min растет. Когда окажется Uξ max < Uη min , финитное движение станет невозможным (приβ < −mα + 3 (F mp4ϕ )1/3 экстремумы Uξ max вообще отсутствуют).212.13. √В эллиптических координатах, ρ = σ (ξ 2 − 1)(1 − η 2 ), z == σξη, σ = c2 − a2 , потенциал3∞ при ξ > ξ0 = c/σ,U=0 при ξ < ξ0зависит только от ξ, и переменные в уравнении Гамильтона–Якоби разделяются (см.
[1], § 48).Полный интеграл p2ϕβ − 2mσ 2 A(ξ)S = −Et + pϕ ϕ ± !2mσ 2 E +dξ ±−ξ2 − 1(1 − ξ 2 )2(1) 2pϕβ−dη,± !2mσ 2 E −21−η(1 − η 2 )2гдеA(ξ) = (ξ 2 − η 2 )U (ξ) = U (ξ).12.15]§ 12. Уравнение Гамильтона–Якоби337Для частицы, пролетающей через начало координат, pϕ = 0. Из (1) получаем β − 2mσ 2 A(ξ)mσ 2 (ξ 2 − η 2 ) ˙pξ = ±!2mσ 2 E +=ξ,(2)ξ2 − 1ξ2 − 1mσ 2 (ξ 2 − η 2 )βpη = ± 2mσ 2 E −=η̇.(3)1 − η21 − η2В начале координат (η = 0, ξ = 1)2mσ 2 E − β, ξ˙ = 0,η̇ = ±mσ 2и из условия2E cos α =m˙ + η̇ξ) = σ η̇ż = σ(ξη2mσ 2 E − βmσнаходим β = 2mσ 2 E sin2 α.Область недостижимых значений η определяется условием2mσ 2 E − β/(1 − η 2 ) < 0 или|η| > | cos α|.Итак, движение происходит в области |η| < | cos α|, 1 < ξ < ξ0 (заштрихованная на рис. 173 область).12.14.
Переменные в уравнении Гамильтона–Якоби разделяются в эллиптических координатах (см. [1], § 48, задача 2 при α1 = −α2 = α).Для частицы, летящей из бесконечности вдоль оси z, постоянная β == −2mEρ2 + 4mασ, где ρ — прицельный параметр.При β < 0 траектория качественно не отличается от траектории частицы, рассеиваемой в поле точечного диполя (см. задачу 12.6 б).При β > 0 частица «падает» на диполь (т. е. проходит в своем движении через отрезок O1 O2 ) и вновь уходит на бесконечность. Если дополнительно pη (η1 ) = 0 при η1 < 0, то частица движется в области, ограниченнойгиперболой η = η1 (рис. 174).В уравнении Гамильтона–Якоби2 2 2 e∂S + 1∂S∂S1∂S+ B(z)r++ r=02m∂t∂z∂r∂ϕ 2c12.15.(1)338Ответы и решения[12.1512.16]339§ 12. Уравнение Гамильтона–ЯкобиУравнения траекторийpr2∂S = −= B1,2∂C1,22(z + C1,2 )2(9)— уравнения прямых, пересекающих ось z в точках −C1,2 ,1 т.
е. z0 = −C1 ,z1 = −C2 . Из (6) получаемaРис. 173pσ(a) − pσ(−a) +Рис. 174−aaB 2 (z) dz = 0.(10)−aПоскольку |z0,1 | a, из (7), (8) получаемотделяются время и угол ϕ: z).S = −Et + pϕ ϕ + S(r,(2)Рассматривая далее только траектории, пересекающие ось z, положимpϕ = 0. Разделить переменные r и z в уравнении не удаётся, и мы будемискать интеграл его приближённо, в виде разложения по r:2 z) = S0 (z) + rψ(z) + r σ(z) + . . .S(r,2σ(±a) = − zОценим8ap1,0.(11)σ 2 dz.
Согласно (6) σ(z) — монотонная функция. Поэтому−aaσ 2 dz (3)−a2ap2 pσ(±a).2z1,0Таким образом, из (10)Так как радиальный импульсpr = ∂S = ψ(z) + rσ(z) + . . .∂rS0 (z) = pz,(5)2pσ (z) + σ 2 + e 2 B 2 (z) = 0.4cВне линзы (при |z| > a, B(z) = 0) из (6) следует, чтоpz + C1pσ(z) =z + C21 + 1 = e2|z0 | z14c2 p2(4)для частицы, летящей вдоль оси z (при r = 0), равен нулю, то для рассматриваемого пучка частиц ψ(z) = 0. Подставляя (3) в (1) и приравниваякоэффициенты при одинаковых степенях r, получаем (ср. [2], § 56, задача 2)σ(z) =2σ dz + e 24c2a−aB 2 (z) dz = 1 .fУсловие |z0,1 | a действительно соблюдается, если a (12)cp.eB12.16. Все вычисления предыдущей задачи до формулы (6) включительно применимы и к этой задаче.
Замена σ = f /pf приводит (6) к виду2 2*+1 + κ 2 z 2 f (z) + e B2 f = 0,2c(6)а затем заменаприz < −a,(7)приz > a.(8)κz = tg ξ,−π < ξ < π,22f (z) =η(ξ)cos ξ1 При z, близких к C1,2 , σ → ∞, так что разложение (3) неприменимо. Однако уравнениятраекторий (9) остаются справедливыми и в этой области.340Ответы и решениядает[12.17η (ξ) + λ2 η(ξ) = 0,гдеλ2 = 1 +e2 B 2 .4c2 κ 2 p2Отсюдаσ = sin ξ + λ cos2 ξ ctg(λξ + α)и уравнение траекторий22∂S = − pr λ cos ξ = B,∂α2 sin2 (λξ + α)илиr cos ξ = B sin(λξ + α).При r = 0 оказывается λξn + α = πn, откуда α = −λ arctg(κz0 ) и точкифокусировкиκzn = tg arctg κz0 + nπ .λВ зависимости от величины λ имеется одна или несколько точек фокусировки.12.17.S(q, q0 , t, t0 ) = f (q, α(q, q0 , t, t0 ), t) − f (q0 , α(q, q0 , t, t0 ), t0 ),где f (q, α, t) — полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби, а зависимость α(q, q0 , t, t0 ) определяется уравнением (системой уравнений дляслучая многих степеней свободы)∂f (q, α, t0 )∂f (q, α, t)=.∂α∂α§ 13.
Адиабатические инварианты13.1. E 2 l = const.Поясним полученный ответ. На колечко A действует сила F, определяемая натяжением нити T . При малых углах отклонения маятника ϕ силаFx = mgϕ,Fy = 1 mgϕ2213.2]§ 13. Адиабатические инварианты341(ось y направлена вертикально вверх, ось x в плоскости колебаний). Так какдлина нити AB = l изменяется медленно,можно усреднить силу по периоду колебаний ϕ = ϕ0 cos ωt, ω = g/l, считая длину нити постоянной.ПолучаемFx = 0, Fy = 1 mgϕ20 .4При смещении колечка на dy = dl энергия убывает на Fy dy = 1 mgϕ20 dl. Так какE = 1 mglϕ20 , то42dE = − 1 E dl.2 lОтсюда E 2 l = const.13.2. После того, как частица столкнется с обеими стенками, её скорость v изменяется на 2l.˙ Условие медленности означает, что |2l|˙ v.Выберем такое время Δt, что2l Δt l .v|l|˙Рис.
175Такое Δt существует в силу условия медленности. За это время произойдет vΔt/(2l) пар столкновений со стенками,и скорость изменится наΔv = −v l˙ Δt .lИнтегрируя, получаем vl = const или El2 = const.Интересно проследить подробнее как изменяется произведение vl. Этолегко сделать, воспользовавшись графиками l(t) и v(t) (рис. 175 а,б).
График I = vl представлен на рис. 175, в. Величина vl колеблется около приблизительно постоянного значения vl, причём амплитуда колебании име˙ет относительную величину ΔI ∼ vl .IОтклонение vl от постоянной имеет высший порядок малостиd vl ∼ l˙2 .dt342Ответы и решения[13.313.3. Если бы g(t) = g − a(t) было постоянным, то закон движенияшарика был быz(t) = h − 1 gt2 (при − 2h/g < t < 2h/g).2Изменение g(t) на Δg приводит к изменению потенциальной энергиина mzΔg, а за период — на mzΔg, где z = 2 h среднее по времени3значение z.Изменение полной энергии Δ(mgh) происходит именно из-за изменения потенциальной энергии.
Поэтому mΔg 2 h = Δ(mgh) или gΔh +3+ 1 hΔg = 0, откуда h ∝ g −1/3 .3В предложенном выводе мы следуем, по существу, тем же путем, которыйможно применить в общем случае для доказательства сохраненияCp dq (см. [1], §49).Разумеется в этой задаче (как и в других предыдущих) можно былосразу же воспользоваться результатами общей теории.Если плита медленно поднимается (но g(t) = const), то h = const. Этоочевидно, если скорость плиты постоянна (достаточно перейти в системуотсчета, связанную с плитой). Если же скорость изменяется, то результат,согласно общей теории зависящий лишь от высоты подъема плиты, измениться не может. При этом предполагается, что относительное изменениескорости за время 2h/g мало, плита поднимается плавно.213.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
