1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В каждом подпространстве Ф существует канони(а) ческий базис, т. е. функции ~р(" ~(й) Д=1,2, ...,г), которые под действием операторов Т(у) преобразуютсл по формуле ° а . Т (у) ~р(ато (й) ~чз, т)~а' (у) ир)а"' (й). (50Л) 1=1 Объединяя все такие базисные функции, получим базис в пространстве Ф, так что любую функцию на группе Р(й) можно представить в виде суммы: Р (й) - Х чэ Х С)""'р)""' (й), а-1 т ш-1 если должным обрааом подобрать коэффициенты С,'" ~.
(ат) Найдем функцпн ~;, т. е. решим в этом частном случае вторую основную задачу прикладной теории групп. Пользуясь определением (50,2) операторов Т(у), з83 перепишем соотношение (50,3) так: чл р)""'(Ьу) - Х тТ (у) ~М""'(Ь). Это — тождество по Ь и у. Положим Ь е. Получйм 'а Видим, что каждая функция ~р("~'(у) может быть выражена в виде некоторой суммы матричных элементов то (у) ()=4, 2, '., з.), взятых с соответствующими ое коэффициентами. В силу равенства (50.4) это свойство переносится и на произвольную функцию Г(Ь).
Теорема полноты доказана. Мы видим, что Функции Увит)ч'(у) (а $,2, ..., о; (,)- $,2,, з„) образуют ортонормированный базис в пространстве Ф. Поэтому их число совпадает с размерностью етого пространства: з1+ за+ + зв Х 1Иы получили уточнение неравенства (46.5)'. 5 5$. Пример. Анализ смещений механической системы Продемонстрируем методы предыдущего параграфа на примере, связанном с механической системой, состоящей из восьми частиц двух сортов, Назовем их условно атомами натрия и хлора. Пусть в равновесном положении эти атомы располагаются в вершинах куба, причем каждое ребро куба соединяет два разноименных атома.
Наша цель — описать группу симметрии 6 равновесного положения системы М, рассмотреть представление Т этой группы в пространстве смещений и выделить надпространства однотипных векторов, т. е. решить вторую основную задачу прикладной теории групп, Элементами группы симметрии С являются преобразования пространства, не изменяющие расстояний между точками и совмещающие равновесную конфигурацию системы М саму с собой. Перечислим элементы группы симметрии, С этой целью обозначим четыре диагонали т83 куба символами С(») (» = $, 2, 3, 4). Диагональ С(»)' проходит через вершину куба с номером 1 (рис, 29).
Положительное направление определим как направление от вершины с меньшим номером к вершине с большим номером. Поворот на $20' вокруг диагонали С(») будем обозначать тем же символом, поворот. на 240' — симво- лом С*(»). Все восемь ука- Г(З ЭФ ванных поворотов входят в группу С. Обозначим через'Я($), Б(2) и Я(3) прямые, лараллельиые осям координат ОХ, ОТ, ОЯ и прохо- З(2) дящие через середины граней. С ними связаны зеркальные повороты на 90'. Я(1), Я(2) и Я(3), т. е. повороты на прямой л угол с последующим отражением в плоскости, проРяс. 2й Элементы симметрии ме- ходящей через центр кухаявческсй системы На»01» ба и перпендикулярной соответствующей оси.
Группа С содержит операции Я(»), Ю»(») и Б»(») (~ », 2, 3). Кроме того, группа С содержит отражения в шести плоскостях, соединяющих диагонали противоположных граней. Обозначим эти плоскости (я одновременно отражения в них) символами счь с„, с„, счь о„ и сгь условившись, что плоскость а„проходит через вершины с номерами» и к. Вместе с тождественным преобразованием пространства — единицей е группы — получаем всего 24 элемента. Проверка показывает, что эти элементы образуют группу. В кристаллографии она обозначается символом Т, и называется группой тетраэдра.
Группа тетраэдра имеет пять неэквивалентных неприводимых представлений. Характеры этих представлений указаны в табл. 54Л. Вычислим характер т,(я) представления Т группы Т» в пространстве А смещений системы М. Воспользуемся декартовым базисом. Напомним, что он состоит из смещений ея (! $, 2, ..., 8; 1* $, 2, 3), определяемых следующим образом: если атом с номером ) смещен на единицу длины в направлении оси с номером 3, а смещения всех остальных атомов равны нулю, то это и есть базисное смещение е„. Подействуем на смещение е„ какой-либо операцией симметрии б.
Получим форму» лу вида з Т(б) ея ~ ак~(б) е;.к, (51.1) к=1 где )' — номер того атома, в который переходит под действием операции б атом с номером 1. Полученное соотношение сильно упрощает вычисление характера т,,(б). .з'з блица Ы.з В самом деле, если атом с номером у переходит в другой атом, то» чье и в разложении (51.1) диагональный элемент (Т(б))юк Равен нУлю. Инымн словами, такой атом не вносит вклада в величинУ те(б).
Следовательно, пРи подсчете характера у,(б) следует учитывать только те атомы, равновесные положения которых остаются неподвижными, когда над системой М производят операцию ужт,. С другой стороны, каждый неподвижный относительно операции б атом вносит в величину характера Х,(б) один и тот же вклад; Х.(б) Х п(б). Таким образом, получаем соотношение Х (б) - (б)Ь(б). (51.2)' где п(б) — число атомов, равновесные положения которых не изменяются'при операции л. Обращаясь к нашему случаю, легко заметить, что г»(е) =*8» п(Сз(1)) = п(Сз(з)) =*2» п(У(з))'= О, п(оа)'= 4 (й 1, 2, 3), Подсчет характера )(,(я) упрощается, если выбирать каждый раз оси координат наиболее подходящим образом. Так, если я — отражение в плоскости, то две оси координат следует распело)нить на плоскости, а третью— направить по перпендикуляру к ней.
При етом Т(а)е, е„Т(а)е, е„Т(о)е, ° -е, и, следовательно, )(,'(о) = 1+ 1 — 1 1. Подобным же образом для поворота С, на угол )р и зеркального поворота Я, на тот же угол легко получаем 2,(С,) 1 + 2 соз ~р, 2,(8,)' -1 + 2 сов )р. В нашем случке Х.(С(1))- Х'(С*Щ) = О, 2.(г(г))- у (Я'(г)) = -1, .Х (У(Е)) -1, Х.(ол) 1 Сопоставляя етн равенства с формулой (51.2)', получаем значения, характера Х,(я) (см. последний столбец табл. 51,Ц. Теперь с помощью формулы (49.4) легко найти числа и, вхождений представлений то,.;, т, в представление Т.
Пользуясь последним столбцом табл. 51,1, находим т) ° — (24 1 )() (е) + 4 6 у) (о)) )() (е) + )() (о). Подставляя сюда значения )()(е) и у,(о), получаем т, 2, т, О, и, 2, т, 4, т, 2. Зтот результат находится в полном соответствии с соот- ношением (49.5): 2з'+ 2 + 4 + 2* 24 (24'+ 6 4з) ° 28, Итак, Т 2т,+2т,+4т,+2т,. Сумма размерностей всех представлений, входящих в представление Т, равна 2 1 + 2 2 + 4 3 +.2 3 24, что совпадает с размерностью представления Т.
Соответствующее разложение пространства Ь в сумму подпространств однотипных векторов Ез имеет сле(а) дующую структуру: 5 Еп) + ~)з) + Е(з) + Еы) + ф4) + фе) + Еи) + ~(з) + й (Ь) причем подпространства Е~", Е',", Е',", Е7', Е~"4 ЕЗ4) двумерны, подпространства Ег 4 Ез, Ез четырех- )4) 44) )4) мерны. Легко понять, почему все числа вхождений ж, являются четными. Система М состоит из атомов двух видов, причем равновесные положения атомов одного вида перв- ходят в равновесные положения атомов другого вида при отражении .(инверсии) относительно центра куба. Пространство смещений Х представляет собой сумму двух подпространств: Х Х»4+ Хсь где Х», — совокупность всех смещений системы М, при которых атомы хлора занимают свои равновесные положения.
Аналогичный смысл имеет символ Хс). При любой операции симметрии только одноименные атомы могут обмениваться местамн. Поэтому каждое нз подпространств Х», и Ею инвариантно относительно всех.операций группы Т,, а представление Т распадается на сум. му двух представлений; Т Т„,+Т ь которые действуют соответственно в подпространствах Х», и Хс). Интуитивно ясно, что представления Т», и Тю эквивалентны. Это, однако, нетрудно и докааать. Для этого воспользуемся операцией инверсии, (51.3) где г — ' радиус-вектор, проведенный из центра куба. Ин» версия переводит каждую вершину куба в ей противо положную и, следовательно, меняет местами атомы натрия и хлора.
Инверсия переводит смещения ив подпространства-Х,„, в смещения нз падпространства Хс) и наоборот. Равенство (51.3) показывает, что операция ин-' версии коммутирует с любым элементом группы Т4. аХ Хз (д ~ Т4) Пусть Хо Х4, .—, ))4 — произвольный базис в подпроСтранстве Х»4 н 44 Т(уЦ,- Х Т„(б))н Ь-4 Рассмотрим. смещения Х) ХХ) (9 1, 2, ..., 12)'. Они принадлежат поу~ространству Хв) и, будучи независимы1а7 ми, образуют там базис.
Вычислим матрицу оператора Т(у) в базисе 1). Имеем Т(й))',- Т(й) Ц;-1Т(д) ~,- >з 1з -Т ~тп(б)),- ~Т„(й)~. 1=1 > 1 Мы видим, что каждый оператор Т(я) изображается в базисах Щ и >>>) одной и той же матрицей. Зто и означает, что представления Тл, и Т„зквивалентны. Каждое неприводимое представление т,-входит столько же раз в представление Т„„сколько и в представление Тсц числа лза и иа равны друг другу, а числа <кз> <с» лза лза + ))>а — четные. <кз> <сп Из приведенного рассуждения вытекает, что инвариантные подпространства Ьа можно искать только в (а) подпространстве Ла..
После того как онй найдены, автоматически определяются соответствующие подпространства з'з а>. Прн построении базиса в подпространстве однотипных векторов достаточно найти з/злз„смещений типа е,, принадлежащих подпространству Ь„„и присое(а) динить к ним столько же инвертированных смещений из подпространства Тю.
Следующий шаг в анализе представления Т вЂ” зто построение подпространств однотипных векторов Ез~" (где а = 1, 3, 4, 5). Начнем с составления трех вспомогательных таблиц. Каждый злемент группы Т, совершает перестановку одноименных атомов. Вращение С(1) оставляет на месте атом 1, атом 3 переводит в атом 8, атом 8 переводит в 'атом 6, а атом 6' переводит в атом 3. Запишем зто так: С(1)- (386) „Подобным же образом, т. е. с помощью рис. 29, найдем перестановки, соответствующие следующим злементам группы Тз'. С(1) - (386)'; С(2)- (163); С(3)- (168)'; С(4)- (138)'; 8(1) - (1368)'; Я(2)- (1386)'; (51.4) Я(3)- (Ы38); о„ - (68); о„ - (38); о„ - (36)'; пзз '" (18); Озз "' (68); озз ~ (13) Перестановки, соответствующие квадратам поворотов С(з), вторым и третьим степеням зеркальных поворотов 183 Ю(1), проще всего получить путем двукратного или трех. кратного применения перестановок, соответствующих элементам С(1) и Я(~).
Запишем, как преобразуются орты 1„1„1„направленные вдоль осей ОХ, ОУ, ОЯ, под действием преобразований из группы Т» (оси координат параллельны сторонам куба). С помощью того же рис. 29 составляем таблицу (табл. 51.2), в первой строке которой под каждым элементом уж Т» записан вектор л(„во второй и третьей строках — векторы л1, и ф, соответственно. Теперь легко выяснить, как действует любой элемент б группы Т, на заданное смещение ев декартова базиса. Так, если нас интересует смещение С(2)еео то с помощью (51.4) находим, что С(2)- (163), и, следовательно, первый' индекс, в данном случае- индекс 1, пере» ходит в индекс 6; далее, по табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
