1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Поэтому можно утверждать, опираясь на общую теорию малых колебаний, что каждая квазисистема имеет столько линейно независимых решений типа главных колебаний, сколько у нее есть степеней свободы. Полный набор главных колебаний системы М можно составить из главных колебаний специального вида, а именно из главных колебаний, при которых одна из квазисистем совершает глазное колебание, а все остальные — покоятся. В соответствии с этим набор всех собственных частот системы М есть объединение собственных частот ее квазксистем. Кратность собственной частоты е» системы М равна сумме кратностей этой частоты, взятой по всем квазисистемам.
Коэффициенты ал и Ъз в выражениях для кинетической и потенциальной энергий зависят, разумеется, от выбора обобщенных координат. Если при одном выборе таких координат выражения У и Т расщепляются, т. е. принимают специальный вид (54.5) и (54.6), то прн другом выборе такое расщепление ке произойдет. Теория групп дает общий метод расщепления симметричной системы М на несколько квазиснстем или, возвращаясь к алгебраическому языку, общий метод выбора обобщенных координат, при' котором обе энергии, кинетическая и потенциальная, представляются з виде сумм; У У, + У, +...+ 5г„, Т Т, + Т, +...+ Т„ причем каждая пара (Ц, Т,) зависит только от «своих» координат.
$55. Симметрические координаты В этом параграфе делается первый шаг на пути к расщеплению механической системы на несколько квазисистем — вводятся так называемые симметрические координаты. Рассмотрим малые колебания системы М, состоящей ив н материальных точек. Обозначим через б группу тех движений пространства,,которые оставляют неизменной равновесную конфигурацию системы М.
Пространство смещений системы М обозначим буквой Ь, а представление группы б в пространстве смещений — буквой Т. Представление Т вещественно в декартовом базисе е„ 204 (см. 1 52) — все его матрицы Т(Е) (еж С) вещественны. Введем в пространстве смещений скалярное произведение (г'", г"'), положив (ги>, г<м) ~ (с~~о, г~~ ~). ь=1 (55.1) Символ (а, Ь) означает естественное обобщение обычного скалярного произведения двух векторов а н Ь на случай, когда их компоненты (ао ао а,) и (Ь„Ь...Ь,)— произвольные комплексные числа: з (а, Ь) = ~ гчбо (55.2) два смещения гго н гсо с комплексно-сопряженными координатами гзн г~'~ естественно называть комплексно- сопряженными и писать г'о = г'-'. Из определения (55.2) вытекает простое правило: (г'", г'о) (г'", г'").
Отметим еще одно очевидное свойство введенного ска- лярного произведения (55.1) — представление Т унитар- но относительно него: (Т(Яг'', Тг(д)г'") =(г'", г'") (уж 6). Это вытекает из того, что взаимное расположение смещений Т(б)г'" и Т(у)г'и — такое же, как и у' смещений гсо и г'". Координаты смещения г в декартовом базисе ев (1 1, 2, ..., и; ~ 1, 2, 3) будем обозначать через.хв. г = ~~'., -~ хдед. 5=5<=1 205 При вычислении потенциальной энергии У(г) смещение г, разумеется, предполагается вещественным. Как уже говорилось, потенциальная энергия является квадратичной функцией координат. Поэтому можно написать Ьг(г) = 2 ~~ ~, Япхдхц, (55.4) у=~ аз=1 В дальнейшем все коэффициенты У)зп предполагаются известными.
Применим теперь аппарат теории групп. Начнем с того, что решим вторую основную задачу для представления Т, действующего в пространстве смещений Ь. Иными словами, найдем в пространстве Е ортонормированный каноничеекий базис (е)" )) (и 1, 2, ..., та; ) 1, 2„..., еа), (55.5) аа еа г ~~~~ ~~я~', ~я~ д'я~)(г)е( (55.6) а а=) г=т Коэффициенты этого разложения р) называются сил\а%) метрическимйкоординагами смещения г. Вообще говоря, оии комплексны. Легко выразить декартовы координаты через симметрические.
В самом деле, из равенства (55.3) следует, что хл (г, ее). Подставляя сюда вместо г его выражение (55.6), полу- чаем хя ~ ~~~~ ~~ д, (е;, ед). а т (55.7) 206 т. е. базис„обладающий 'следующими - двумя свойствами: . а) набор векторов (е( ~)) () = х, 2, ..., е,) с фиксированными индексами и и гп образует канонический ба. зис в подпространстве Ь""), которое преобразуется по неприводимому представлению т группы 6; б) набор векторов (е~ ~) (и $, 2, ..., в)„) с фиксированными индексами )х и 1 образует базис в подпространстве однотипных векторов Е; . а) Индекс а в (55.5) пробегает номера тех иеприводимых представлений, которые содержатся в представлении Т; т — число, показывающее, сколько раз представление т, содержится в представлении Т; е„(как и всегда) — размерность представления т,.
Всякое смещение г системы М можно выразить через базисные векторы: ~ат) Заметны, что скалярное произведение ~с», ел) имеет простой геометрический смысл. Это — проекция на координатную ось с номером 1 смещения точки с номером ~ при смещении системы г е) $56. Потенциальная энергия в симметрических координатах Единственное, ио очень важное достоинство симметрических координат состоит в том, что, как будет сейчас покааано, потенциальная энергия системы приобретает в этих координатах существенно более простой вид. То же относится и к кинетической энергии, выраженной через обобщенные скорости, т.
е. через производные по времени от симметрических координат. Будем исходить из выражения (55.4) для потенциальной энергии. Пользуясь вещественностью координат ют перепишем эту формулу так: а 3 П(г) -+ ~',;~' и,"„"л...„, а~-1 ььтз а затем перейдем к симметрическим координатам, заменив декартовы координаты их выражениями (55.7). После приведения подобных членов получим равенство вида 2 ~в~ ат~ а~т я а~тот с известными коэффициентами Уат; . Покажем, что в этой формуле отличны от нуля только те коэффициенты а'тп~ Р с ат~, у которых а и' и ~ -~ .
Для этого заметим, что при любом мысленном повороте или отражении в плоскости всей системы М как жесткого целого ее потенциальная энергия в новом положении — такая же, как и в исходном положении. Запишем это так: У(г) 0(Т(й) г) (йж 6), Воспользуемся очевидньщ следствием из этого равенства~ П(г) - — 'Х П(Т(й) г). (56 1) вео Выразим потенциальную энергию ЩТ(й)г) через симметрические координаты исходного смещения.. С помощью равенств (55.6) и (48.4) получаем, Т (р) г ~~'., д( (г) Т (д) е) а а,( ° а ~ч~ ~р()а ) (г) ~З~ т(а() (д) е( алч) Отсюда следует, что скмметрнческие коордянаты смещения Т(я)г равны в д))" ) (Т (я) г) т( т(7) (8) д)~" ) (г).
) ) Теперь можно вычислить; у )',(((Т(у)г)- еио 1 %~ 'а')' (ат) (а'1а') 1 чььт (а) (а') — хааа) д о( у тп (з) т.~ ( ° (56.2) аа() еяо а'а')'(' Внутренняя сумма (по к(иС) есть не что иное, как скалярное произведение двух матричных элементов: (а) (а )х 1 т)( ( т)'(' ) = баа4п'6!Р. ~а Поэтому суммирование по индексам (х', Г, у в выражении (56.2) исчезает, а сами индексы заменяются соответственно индексамн (з, 1, у: / 1а ч(~~ (;(Т( ) .) 1 ~а~~ ~ч)~~ 1~~ ()ааа'( (аа) (.) (аа') (,) еею а,) а,а' (еч Вводя обозначение За ((аале' Х Саа и вспоминая равенство (56.1), получаем (( ()) ~ 2 ~л~з~'~л~> ~л~з~ ((атт' Д)( ()') 4() (г), (56,3) а 1 а,а' В атом выражении каждому неприводнмому представлению т, соответствует з квадратичных форм (а) (г) Х ь(а Ч)(аа) (г) д(аа )(г), (56.4) т,а( 208 Мы видим, что переход к симметрическим координатом существенно упростил выражение для потенциальной энергии.
Во-первых, уменьшилось число слагаемых, вовторых, потенциальная знергия расщепилась на несколько с.вагаемых, каждое из которых зависит от своей еруппы симметрических координат, и, наконец, указанные слагаемые, относящиеся к одному и тому же неприводимому представлению и отличающиеся друг от друга только индексом 1, имеют совершенно одинаковые коэффициенты. Легко видеть,' что точно такое же превращение происходит и с выражением для кинетической энергии при ' <аьз переходе к обобщенным скоростям цг Недостатком симметрических координат является то, что оии, вообще говоря, являются комплексными, в то время как теория малых колебаний предполагает, что все используемью координаты принимают только вещественные значения.
В связи с этим в следующем параграфе производится переход к вещественным координатам. $ 57. Потенциальная энергия в вещественных координатах Ъ'отравим существенный недостаток полученного выражения (56А) для потенциальной энергии: фигурирующие [аеп в этом выражении симметрические координаты щ принимают, вообще говоря, комплексные значения при вещественных смещениях т системы М.
С атой целью будем полнзоваться специальным выбором канонических базисов, который был описан в $ 52. При этом матрицы т)у~(у) и представления первого типа т, и его комплексно-со(а) пряженного представления т- та связаны соотношением )-'(у) ='Т(у). Матрицы представлений второго типа вещественны. Представления третьего типа отсутствуют у группы симметрии любой равновесной конфигурации конечного числа материальных точек, и о них можно не заботиться. Пусть т,— представление первого типа..ТоГда смещения А,'~~~(Т) еьд и А,'",~ (Т) еь г (1,1 1,2,..че;, й 12, .„и; г 123), т4- Г.
Я. лкбагсвва 209 где А(( (Т) и А,'('(Т) — операторы, определяемые равенством (46.6) прн ) а и ) и, комплексно-сопряжены. Вспоминая конструкцию (48.3) базисных смещений е,' (аа) Гав) видим, что смещения е( и е) также комплексно-сопряжены. Если г — произвольное веществерное смещение, (ат) <ат) то координаты дР и р) — комплексно-солряжениые числа: (ат) (аа) (57. 1) Пусть т, — представление второго типа. Тогда все смещения А„( (Т)ез,( вещественны. Вместе с ними ве(а) щественны и смещения е;(а ), н координаты д~" )(г) любого вещественного смещения г.
Обратимся к правой части равенства (56.4). Выделим в ней два слагаемых, соответствующих какой-либо паре комплексно-сопряженных представлений т, и т,: ~7а+а ( ) 2~ (г)аале'т) (гМ." (") + (Л 33$,а 1 + У- ,у~а )(г) ф'"") (г)). Согласно равенству (57Л) это можно переписать так: "'а Х (с- + и-„„,„),(."'р,'""). Если обозначить через х(а ) ж У)" ) вещественную и мни( ) мую части координаты д) (ат) (ат) + .. (ат) Ч) х) + )У) з и, кроме того, положить (а) . (а) У~ ~ + У-„,„— и „.
+ )() „,, то получим "'а у())-(Г) - ~2~ (п(а),(х(а",)х(а™) +,а.,) (а...)) юв,а'аа — и (х)» )у(а ) — у(~~)х(" ))) (57 2) С представлениями т, второго типа дело обстоит проще, так как соответствующие симметрические координай(О ты д, веществеииы, Для едииообравия ' обащвачеии$ (ат) ПОЛОЖИМ )ат) х)а ) и калишем <у(а) ~ ) ~( - (а) (аеа (аип т,т~=) Подобным же образом расщепляется выражение для кияетической зяергии после перехода к обобщеяпым скоростям ху, у, (т,— представление первого типа) ' (ат) ' (ат) и х, (т„— представление второго типа). ' (ат) Это означает, - что система М расщепилась на ряд квазйсиетем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
