1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Это можно записать так: И=Ела — Х за акп акгы $53. Доказательство теоремы унитарности ' После того как читатель познакомился с содержанием предыдущих' параграфов этой главы, для не)о не составит труда проследить эа доказательством теоремы унитарности. Пусть С вЂ” конечная группа, а Т вЂ” ее представление, заданное в некотором прастракстве Ь. Пусть (л, р)— 197 некоторое скалярное произведение векторов х, у ы Е.
«Улучшимл его с помощью операции усреднения по группе С. Говоря точнее, определим в пространстве Ь новое скалярное произведение, положив (х, у), —,~' (Т(Ь) х, Т (Ь) у). (53.() лао Установим, что все операторы Т(у) (уж 6) унитарны относительно этого скалярного произведения, т. е. до- кажем тождество (Т(у)х, Т(у)у), (х, у),. (53.2) Пользуясь определением (53.1), получим (Т(у)х, Т (у)у), у ~в~~ (Т(Ь) Т(у)х, Т(Ь) Т(у) у) ляо — )' (Т(Ьу)х, Т(Ьу)у). (53.3) лиа Когда элемент Ь по одному разу пробегает все элементы группы 6, произведение Ьу (у фиксировано) тоже про- бегает по одному разу все элементы этой группы.
По- этому суммы (53Л) н (53.3) отличаются только поряд- ком слагаемых и, следовательно, равны друг другу.' Это и доказывает тождество (53.2) и, следовательно, теорему унитарности. Можно построить представление Т„эквивалентное представлению Т и унитарное относительно исходного скаляркого произведения. Для этого построим два бази- са (с;)', и Щ, причем первый из них ортонормирован относительно исходного скалярного произведения (х, у), а второй — относительно скалярного произведения (' у) '. (хэ ел) бв, (Ь Ул)о бв (т', Ь "л, 2, ..., з). (53.4)' Определим оператор В, положив Ве, Ь ($ $2,...,г)'.
Для нас важно следующее свойство оператора В: (х, у) (Вх, Ву).. (53.5). Проверим его для базисных векторов ее Имеем (Веь Ве~)л 5, Ь)', ° бо (ев еД, Если х ~х,еп у *~~'~у,е;, то 4 Вх ~ х~~м Ву ° ~ УД. Поэтому в силу соотношений (53.4) имеем (х, у) Х х,ум (Вх, Ву) ~'„' ,хуо 4 " л Это оаначает, что 'равенство (53.5) имеет место, каковы бы ни были векторы х, у ы Ь. Представление Т„эквивалентное представлению Т, определим так: Т,(у) - В- Т(у)В. Убедимся в том, что оно унитарно относительно исход- ного скалярного проиаведения. Искольвуя равенство (53.5) и унитарность представления Т относительно ска- лярного проиаведення (х, у), последовательно находим (Т~(у)х, Т,(у)у)' (В 'Т(у)Вх, В 'Т(у)ВУ) (ВВ-'Т(у)Вх, ВВ-'Т(у)ВУ)', (Т(у)Вх, Т(у)Ву), (Вх, Ву)~ (х, у).
Это и докааывает унитарность представления Т„вкеива- лентиого представлению Т. Глава 9 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСРЕМ В втой главе дается систематическое изложение теории малых колебаний механических систем, обладающих той или иной пространственной симметрией. Теория малых колебаний рассматривает движение механической системы вблизи ее положения устойчивого равновесия в предположении, что скорости всех ее точек достаточно малы. Под симметрией механической системы подразумевают ее симметрию в положении равновесия.
Мы огравичнмся механическими системами, состоящимв иэ конечного числа материальных точек. Методы теории групп позволяют лочти беэ всяких вычислений определить количество и кратности собственных частот колеблющейся системы. Кроме того, ори существенно упрощают процедуру вычисления этих частот и соответствующих вм главных колебаний. Для решения этих двух задач используется теория представлений конечных групп в том объеме, в котором она изложена в гл. 8. $54. Некоторые сведения из механики Хорошо известно, что устойчивое положение равновесия механической системы — это то положение, в котором ее потенциальная энергия минимальна. Если нам удалось выразить потенциальную энергию системы через какие-либо параметры (координаты до дм ..., дп характеризующие конфигурацию системы, т.
е. положение всех ее точек в пространстве): У = У(чо Рм ", 0 ) и если положение устойчивого равновесия отвечает знае е о чениЯм ды де,, „бт этих паРаметРов, то можно записать ®у,', о'„.'. „д,') ш(п. Отсюда следует, что все частные производные в этои точке равны нулю: (54.1) (запись у=о означает, чтобг = бы тэ = чз, ° г Ъ = 'хт~ е о' ох 200 В теории малых колебаний довольствуются приближенным значением потенциальной энергии, которое получается, если разложить потенциальную энергию в ряд Тейлора н ограничиться квадратичными членами: ч - (и,:, ...,а)+Х(г-а)ф~ Вз55 2 4~> (Ч5 Д5)(Р5 Р5) дд Вч а» 5Л=1 дд ВЧ5, а дз55 1 где Ьд —.1 — некоторые числа. ВЧ,ВЧ5 ~д=, Подобным же образом упрощается выражение для кинетической энергии.
В приближении теории малых колебаний она представляет собой квадратичную функцию обобщенных скоростей чььч Т 2,~~ а5545й ,,=1 (54.3) с постоянными коэффициентами а„. В механике показывается, что движение механической системы, у которой потенциальная и кинетическая энергии имеют вид (54.2) и (54.3), определяется следующей системой дифференциальных уравнений; (а55д5+ Ь55д5) О (5 1, 2, ..., ч), (54.4) 5 г Постоянное слагаемое можно отбросвть, так как потенциальная энергия определяется в механике с точностью до постоянного слагаемого, члены, линейные относительно разностей (д5 — д';), равны нулю в силу (54,1).
Поэтому остаются только члены, квадратичные относительно этих разностей. Вез ограничения общности можно определить параметры д5 (5 1, 2, ..., т) таким образом, чтобы в положении равновесия все члены 9~5 были равны нулю. ,Я'%да для потенциальной Ьйергии системй 'в приближе1 .иии малых колебаний пплучлвмя следующее выраженив5 ч 2 зЬ5 ч.~ (54.2) 5,с=г Таким образом, формулы (54.2) и (54.3), выражающие потенциальную и кинетическую энергии механической системы через обобщенные координаты д, и скорости дь определяют в то же время и зид дифференциальных уравнений, которым подчиняются обобщенные координаты движущейся системы. Если всмотреться в эти формулы, то можно увидеть следующее замечательное об-.
стоятельство. Предположим, что все обобщенные координаты а> можно разбить на две группы (до д,:, д~) н (д~+, ... ..., д,) так, что в выражении для потенциальной энергии ве будет ни одного слагаемого, содержащего произведение двух координат из разных групп. Это означает, что потенциальную энерию У можно представить в виде суммы двух потенциальных'энергий: П У~+ Гь (54.5)' л ч $ чР чгт Ул 2 ~ ЬФЧв 5з 2 ~и бяйй Й1 т.!=а+1 так что вотенциальная энергия К будет зависеть только от координат первой группы, а У, — только от координат второй группы.
Физический смысл энергии У, состоит, очевидно, в том, что это — потенциальная энер. гия всей системы в тех ее положениях, когда все координаты второй группы равны нулю. Аналогичный смысл имеет в величина Уь Предположим далее, что в кинетическая энергия Т также не содержит вм одного произведения обобщенных скоростей из различных групп. Это означает, что и ее можно. представить в йиде суммы: Т-Т,+Т„ (54.6) л Ф 1 '%~ т %~ Т вЂ” ~з апд,дп Т 2 ~ аду~до ~,1=ц х 1=л+1 Присмотримся к виду дифференциальных уравнений (54.4), когда имеет место описанное одновременное расщецление 'потенциальной и кинетической энергий. Нич-' вем с тех уравнений системы (54.6), у которых номер $ ве превосходит числа й.
При (~ й й )) й' все коэффициенты ае и Ье равны нулю. Ивымв словами, первые й 202 уравнений системы (54.4), а ~ч~', (ап дг+ Ьод;) О ($ $, 2, ..., й),, (54.7) 1 не содержат ни одной координаты из второй группы. Подобным же образом ни одно из уравнений с «-.я, (апд;+ 5;«);) О (~ й+ 1, ..., ч), (54.8) г э+« пе содержит ни одной координаты .из первой группы. Следовательно, математическая задача — найти все возможные решения системы (54.4) (т. е.
на языке физики — найти все возможные движения системы М) — распалась на две совершенно независимые задачи; одна из них относится к системе дифференциальных уравнений (54.7), другая — к системе (54.8). Естественно, что затраты труда, необходимого для решения этих двух «подзадача, вообще говори, существенно меньше, чем для решения исходной задачи. Если бы система М состояла иэ двух совершенно независимых подсистем М, н М„которые описывались бы соответственно координатами д„..., д, и энергиями У, и Т, и коордкнатами д,+ь ..., д„и энергиями ь', и «м то имели бы место разложения (54.5) и (54.6).
Обратное утверждение, однако, неверно. Если ямеют место разложения (54.5) и (54,6), то зто вовсе не означает, что система М распадается на две независимые подсистемы . материальных точек М, и М,, Тем не менее факт полной незавясимости координат одной группы от координат другой группы достаточно примечателен, чтобы заслужить некоторый специальный термин. Условимся говорить в атом случае, что система М представляет собой совокупность двух квазисистем М, и Мз. Движения этих ЙЬ ~ИЗЮМ% зя назвать их подсистемами, так как одни и те же материальные точки могут входить в обе квазисистемы одновременно. Будем говорить, что кваэисистема М, имеет й степеней свободы, где й — число координат дз входящих в выражение для 5(«.
Кваэксистема М„очевидно, имеет (и — й) степеней свободы. Пусть механическая система М распадается на несколько квазисистем. Рассмотрим совокупность уравнений, соответствующих одной иэ квазисистем. Она по своей структуре ничем не отличается от уравнений, опи- 203 сывающих малые колебания любой механической системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
