1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 30
Текст из файла (страница 30)
по неприводимому представлению Яо На полученные результаты можно посмотреть и подругому. Если бы мы не знали, как преобразуется опера1ез тор возмущения Н' при переходе к повернутой системе координат, то согласие приведенных реэультатов с экспериментальными результатами. (сдвиг энергетических уровней и вероятности переходов) оэначало бы, что положенная в основу расчета гипотеза о векторном характере оператора Й'-верна. $ 44.
Гипотетический случай Ситуацию, описанную в предыдущих двух параграфах, можно рассматривать как простейшую модель гораэдо более сложных ситуаций. Поясним это. Мы рассмотрели 'систему — атом в слабом магнитном поле. В отсутствие магнитного поля симметрия задачи описывалась группой вращепий,- после включения магнитного поля — более бедной группой поворотов. Кроме- того, было известно, что возмущение Й' преобраэуется по векторному представлению группы вращений при вращениях системы координат. Было показано, что на основании этих сведений можно сделать следующее: 1, Классифицировать энергетические уровни исходной и возмущенной систем. 2.
Найти ряд соотношений, связывающих сдвиги энергетических уровней в результате возмущения. 3. Найти кваэнстационарные состояния возмущенной системы. 4. Вывести ряд соотношений, свяаывающих вероятности переходов между кваэистационарными состояниями, в частности, получить правила запрета. 5. Свяэать вероятности переходов со сдвигами энергетнческих уровней. Легко видеть,'что такую же работу и теми же методами можно выполнить и в более общем случае, когда группа симметрии б, невоэмущенной системы отлична от группы вращений, а вовмущение снижает симметрию системы до некоторой подгруппы бш 6,.
и само преобраэуется под действием операций группы О, по некоторому представлению Т втой группы. ,Сделаем еще один шаг. Представим себе, что магнитное поле Земли во много раэ больше, чем оно есть в самом деле, и существенно скаэывается на энергетических уровнях атомов. Можно представить себе далее, что физики, не наблюдая атомы в отсутствие магнитного поля, воспринимали долгое время раэличные состояния атома в магнитном поле как различные атомы.
Затем воэникла 1Р аеЭ гипотеза, что это в действительности — один и тот же атом, но находящийся в разных состояниях, причем симметрия атома описывается некоторой группой 6и Какова первая и наиболее легкая проверка этой гипотезы т Мы объединяем в группы известные лам атомы так, чтобы в каждой группе они имели примерно одну и ту же массу покоя (т. е.
примерно одну и ту же энергию). Пусть зо зм зи ° ° > з~ — числа различных сортов атомов в этих группах, Затем мы высказынаем предположение, что атомы одной группы представляют собой различные состояния одной и той же системы, отвечающие одной и той же энергии. Естественное возражение: «почему же их энергии не в точности равны друг другу и почему мы не наблюдаем суперпозиций этих состояний*)Г» мы легко отводим, говоря, что, по-видимому, существует некоторое возмущение, нарушающее симметрию 6, н выделяющее квазистационарные состояния, которые мы принимаем за различные атомы.
В подтверждение своей гипотезы мы вцписываем размерности неприводимых представлений группы 6,: а,Кщ~...~а,<... Если они совпадают (в любом порядке) с числами з„ з„..., з„то это — серьевное подтверждение нашей теории. Если, скажем, число з, больше, чем а„и равно и, — т, то и в этом случае не все потеряно. Мы просто заявляем, что еще не все виды нашего атома обнаружены, и предсказываем существование еще одного, пока что неизвестного атома. Если его действительно обнаружат, то этс— триумф теории. Если же между числами з„з„...
и по а„... не наблюдается никакого сходства, то следует поискать какую-либо другую группу в качестве группы симметрии 6в. На этом заканчивается первый этап построения и проверки новой теории. Следующий этап связан с правилами запрета. На этом этапе нужно дополнить гипотезу указанием подгруппы 6 и представления Т группы 6„ «) То есть состояний, волновая фуннция которых представляет собой линейную комбинацию волновых функн„:вй различных состояний атома, 164 по которому преобразуется возмущение Й', фигурирующее в (неизвестном) уравнении Шредингера. После этого правила запрета выводятся из рассмотрения произведений представлений ' т~ Х Т Х ть где т~ и т~ — представления группы 6„соответствующие.
двум рассматриваемым состояниям атома Ч"~ и Ч"ь Переход Ч", - Ч", будет запрещен, если это произведение не содержит единичного представления. Согласие выведенных таким образом правил запрета с совокупностью реально наблюдаемых переходов — еще один признак правильности теории. Еще более убедитедьные доводы в пользу выдвигаемой теорий дает подсчет соотношений между массами покоя наблюдаемых состояний атома, если он приводит к результатам, согласующимся с экспериментом.
Последний шаг — вывод соотноШений между вероятностями различных переходов и опять-таки сравнение с экспериментальными данными. Если эти вероятности велики, то так называемое время жизни мало. Оно сравнйтельно просто поддается как измерению, так и вычислению и потому также может быть использовано для проверки теории. Мы так подробно остановились на этом гипотетическом исследовании, потому что оно дает представление о методах примвнения теории групп в физике элементарных частиц.
Эти методы привели к'очень серьеаным успехам. Однако здесь'мы ие имеем вовможности' остановиться на этом вопросе. Главе 6 ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП Настоящая глава знаиомпт читателя с результатами и своеобразными методами теории предстанвениа навечных групп, т. е. групп, содержащих конечное число злементов. Ценность зтих результатов для привлздной теории групп ва првмере вздачи о малых колебаниях будет продемонстрирована в гл. 9.
Теория представленвй конечных групп интересна еще и тем, что она послуязилв образцом для построения гораздо более сложных теорий, относящихся в различным влассам бесвонечвых групп. С точна зрения прииладноб теории групп теория представлений конечных групп важна тем, что в ней дается общий метод решения второй основной задачи, применимый для любой вонечвов группы.
В атой главе мы постоянно будем пользоваться понятиями и сведениями нз линейной алгебры. Читатель, не знаномый в должном объеме с линейной алгеброй, может пользоваться втой главой иан справочнввом. $45. Теорема унитарности представлений и первые следствия Все основные ревультаты теории представлений иояечпых групп вытекают иа следующего утверждения. Теорема упитариости. Если Т вЂ” представление конечной еруппьь с, определенное в конечномерном пространстве Б, то в атом пространстве лзожно определить скалярное произведение (х, у) (х, у <в Т) так, чтобы все операторы Т(у) (деист) были унитарными, т.
в. чтобы тождественно по х, у ж Ь и у ж 6 выгюлнялось соотношение (Т(у1х, Т(у)у) (х, у). В дальнейшем всегда будем предполагать, что скаляриое проиаведеиие в пространства Е определено именяо таким обрааом и, следовательно, все операторы Т(у) представлеиия Т упитарвы. Докааательство етого утверждения излагается ниже, в $53. Пусть Е, — подпространство пространства Ь вЂ” таково, что, каков бы ии был вектор х си Бн имеет место 166 соотношение Т (у')х ы Е, (х ж Б~', у <~ 6)..
Иными словами, операторы представления Т(у) не выводят из подпространства Е, принадлежащие ему векторы. Такую ситуацию условимся характеризовать словами еподпространство Б, с Е инвариантно относительно представления Тг. Следствие 1. Если Ь, — инвариантное относительно представления Т подпространство, то ортогональное Б, подпространство Б,<=. Б тоже инвариантно (относительно представления Т). Д о к а з'а т е л ь с т в о.
Пусть у ж Тм т. е. (х, у) О, каков бы ни был'элемент х ж Ьь В частности, в силу инвариантности подпространства Б, можно написать (Т(у ')х, у) О (уж О, хввЕД. Теперь воспольауемся унитарностью представления Т: О (Т(у-')х, у) (Т(у)Т(у ')х, Т(у) у). Так как Т(у)Т(у ')х х, то последнее равенство означает, что (х, Т(у)у) О, каковы бы ни были вектор х ж Б, й элемент у ж б. Это и означает, что Т(у)у гн Ь,. Следствие 1 доказано. Итак, в условиях следствия 1 представление Т имеет двв инвариантных подпространства Б, и Ьи причем сумма их совпадает со всем пространством Ь. Каждый оператор Т(у) можно при желании рассматривать только в Ео Суженный таким образом оператор Т(у) будем обозначать Т,(у). Аналогично определяется к оператор Т,(у). Легко проверить, что совокупности операторов (Т,(у)) и (Т,(у)) (у ж С) образуют два представления Т, и Т, группы гг, а представление Т есть не что иное, как их сумма: т Т,+Т,.
Это, в частности, означает, что представление Т приво- димо. Мы пришли к. важному следствию. 167 С л е д с т в и е 2. Если т — напр иводимог е) пред ставление конечной группы, то пространство Ь нв содграгит ни одного нетривиального подпространства *е), инвариантного относительно представления т. В дальнейшем мы убедимся, что из этого следствия вытекают далеко идущие выводы.
$46. Дальнейшие следствия ив теоремы унитарности. Операторы проектирования и соотношения ортогональности В атом параграфе выводятся соотношения ортогонаш ности между матричными элементами неприводимых представлений и строятся операторы, с помощью которых автоматически решается вторая основная задача прикладной теории групп. Поясним, какие соотношения ортогональности имеются в виду. ' Рассмотрим совбкупность Ф всевозможных функций, определенных на элементах группы 0: гр(а)' Каждая функция <р (д) задается с помощью )т' чисел, представляющих собой значения этой функции на У элементах группы С. Легко видеть, что Ф вЂ” это линейное )т'-мерное комплексное пространство с естественно одре- деленными действиями сложения и умножения на число. Определим в Ф скалярное произведение, положив (Ч Ф) + Х % (б) "Р (д) гыо (черта, как и всегда, означает переход к комплексно-сопряженной величине).
Если скалярное произведение двух функций равно нулю, то говорят, что эти функции взанмно ортогональны. Пусть т„тг, ..., т,— полный набор неэквивалентных неприводимых унитарных представлений, а 4~в(д) (1=1,2, ...,щ т,п ° 1,2, ...,г,). (46.1) ') Напомним, что кепрпводкмымк мы условились называть те представления, которые нельзя рассматривать как сумму двух предстгвлеккй. г') То есть подкроотрекотвг положктелькой размервостк, ко торов ке совпадает со всем прострвпством б, !66 — матрица представления т, в произвольном ортонормированном базисе е~ еш ео 11 гг ° г Матрицы т (д) унитарны: (о <„"„(Ь-') = <„'> (Ь) (ь, = а).
(46,2) Напомним еще, что из операторных равенств т" (д) т'о (й) = т" (ай) следуют соотношения между их матричными элементами: ° г Пэ(дй)- Х Ф(д) Й(й) Соотношения ортогональности, о которых идет речь, состоят в том, что мотричные элементы т'„(в) и тгг(в) различных представлений т, и ть а также равные матричные элементы одного и того лгв неприводимого представления вгаил о ортогональны: (4'„, т0) О, если ~ чь у, (46.3) (тйщ, тг() = О, если пгФй нли пчел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
