1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 26
Текст из файла (страница 26)
„ и.,о а ва где С,(и), С,(а) и С,(а) — повороты на угол а вокруг осей ОХ, ОУ и 03 соответственно. Найдем точечный спектр операторов С,(и) и 1,. Мы уже внаем, что в любом пространстве функций (будь то скалярные функции одного или нескольких радиус-векторов или различного рода вектор-функции) всегда можно построить базис, каждый элемент которого обладает следующим свойством. Он принадлежит некоторому надпространству, преобразующемуся по тому или иному' неприводимому представлению, и в" этом подпространстве играет роль одного нз векторов канонического базиса. Мы условились обозначать такие базисные функции символами. е, причем верхний индекс указывает вес соответствующего неприводимого представления, а нижний индекс — номер базисного вектора.
По определению канонического базиса имеют место следующие соотношения; Сз (с~) ем = е 1""е',„ 141 Выясним, что происходит с функцией егп под действием оператора 1.. Имеем:. гзе'„-Нш 1 (дз(оз)е',„— е ) -Нш — '(е '" — ()4. а.+о а аоа Из теории пределов известно, что о оооо — з Нш — — 1зп, в о Позтому 1зА- — ~~4в Мы видим, что спектры операторов С,(и) и 1, состоят соответственно из чисел 'еричем т пробегает либо есе полозе числа, либо есе полуцелые числа.
В силу изотропии пространства такой же спектр у операторов поворота на угол а вокруг любой оси и соответственно, у операторов 1, и 1,. е г. Найдем явный вид оператора 1з в наиболев важных случаях, исходя - из общего У определения (39.1) . Т Начнем со скалярных функций ор(г, $)'. Для удобства будем пользоваться не прямоугольнымн, а сферическими координатами; г,8 и у (рис. 28). Функцию ор(г, т) запишем в виде функции от сферических координат: ор(г, з) зр(г, О, зр, з).
При переходе к новой системе координат Кь повернутой относительно пврвоначальной системы вокруг оси ОЯ на угол сь функция ог(г, 8, <р, з) перейдет в функцию Сз(а)зр(г, 8, <р, з), равную С,(н)зр(г, О, Ф, г)= ор(г, О, Ф вЂ” ач 1), Это равенство показывает, какой конкретный вид имеет оператор С,(а) в рассматриваемом случае. С его помощью легко вычислить оператор 1,: У ( ) р $(г,в; — а,г) — ~>(г,е,е,ц Ф $~»~1 ачэ де д (последнее равенство — по определению проивводной). Итак, 1 ф (г, О, ~р, г) — — зр (г, 8,'<р, г).
Если скалярная волновая функция описывает состояние системы иэ я частиц, то подобным же образом получаем »э"т' (гы Ц, (ры ..., г», 8», ~р„, $) ° 1 д д — + ° ° . + — $(г„йю фд, ..., г», О», ф», Ф). ~ ~ь » Можно сказать, что в этом случае оператор 1, равен сумме операторов 1ц (1 $, 2, ..., л), соответствующих отдельным частицам системы.
Оператор 1, является аддитивным подобно оператору проекции импульса. Поэтому оператор 1, совпадает с оператором М, проекции момента квантовой системы на ось ОЯ (разумеется, с точностью до некоторого множителя): лг»- -а1.. Подобным же образом получаем М. — В1„̄— В1,: Существенно иначе выглядит оператор 1, в пространстве двухкомпонентных волновых функций ф (, г) $-1/э '~ ' значения которых в каждой точке преобразуются при вращениях по представлению Ю,я.
КФ(г Г)-~> .(О) Г(б '*, Г) '(О Л) Для вычисления оператора М; рассмотрим преобразование волновой функции при повороте С,(а) я(0, а, 0) заз ' '(см. $24). Учитывая, что — «е о~ 1 ег Ж«м(0, а,0)- о †' «агг г получаем 1 С (а) «р (г, 9, «р, г). о о «(«(г«8««р, — а«г). е Дифференцируя это равенство по и и полагая затем а О, для оператора М, найдем следующее выражение: М, — (й1 — ~ ) «р (г, д, «р, Ф) + И вЂ” «р(г, 9, «р, г). Мы видим, что в рассматриваемом случае оператор М, представляет собой сумму двух операторов. Первое слаеаемое называется оператором проекции спина, второе— оператором проекции орбитального момента.
Заметим, что в случае, когда волновая (бункция — скаляр, проекция момента совпадает с проекцией орбитального момента. В более сложных случаях эти понятия «расщепляются з. Спиновый момент появляется у частиц, волновая функция которых имеет две компоненты. Такие частицы называются частицами со спинам 1/2. Это название можно связать либо с весом представления Я«г„либо с собственными значениями оператора проекции спина, которые равны ж'Щ Это сразу видно иэ тождеств -'"~' -'©--'"(') М -' И')- 4 $10) Жели компоненты волновой Яункции преобразуются по представлению Ж„то еоворят, что частица имеет спин, равный ).
Для всех частиц с одним и тем же спинам оператор проекции спина на ось ОЯ изображается одной и той жв матрицей. У частиц с разными спинами зги операторы изображаются различными матрицами. Рассмотрим теперь оператор квадрата момента: М вЂ” Мз+ Мгг+ Я'„ 144 При поворотах системы координат операторы проекций момента на оси координат преобразуются как векторы. Из этого факта (который мы примем без докавательства) вытекает, что оператор квадрата момента вообще не меняется при вращении системы коорднйат. Следствием этого является одно очень важное свойство оператора М'. Если какая-либо функция»р (независимо от числа ее компонент)). принадлежит надпространству функций, которое преобразуется при вращениях по неприеодикому представлению Жь то под действием оператора М' она умножается на число, зависящее только от веса ): М»ф Я+»)й»»р.
Это означает, что функция»р является собственной функцией оператора квадрата момента. Таким образом, принадлежность функции надпространству, преобразующемуся по неприводимому представлению Жь равнозначна тому, что в состоянии, описываемом втой функцией, квантовая система имеет совершенно определенное значение квадрата момента.
Болев того, зто значение однозначно связано с весом представления Если функция»у играет роль одного из элементов е канонического базиса, то это означает, что ока описывает состояние с определенным значением квадрата момента, равным ~(~+ 1)й', и определенной проекцией момента на ось 02, равной»пй. Существование оператора проекции спина имеет многочисленные следствия, позволяющие объяснить многие экспериментальные наблюдения. Однако этот оператор (так же, как и само существование квантовых объектов, описываемых многокомпонентными функциями) был открыт без помощи теории групп.
Открытию спина электрона способствовали ряд фактов, обнаруженных экспериментальной физикой, н внутренняя логика развития науки, указывавшая на существование «неизвестной земли» вЂ” релятивистского аналога уравнения Шредингера. Первое такое уравнение, построенное одним из создателей квантовой механики — Дираком, ввело в физику четырехкомпонентные вектор-функции„значения зтих функций преобразовываются по представлению Ж,п+ + лд,п, Из уравнения Дирака вытекает правильная формулировка закона сохранения момента и наличие у влек- трона спина, равного 1/2. 40 г. я, Лпв»»«ввз $45 Чем объяснить, что аппарат теории групп при создании основ квантовой механики использовался не в полной мере г По-видимому, для созйательного введения в арсенал науки того или иного общего метода необходимо иметь перед глазами ряд примеров неосознанного, чстихийного» применения этого метода.
Эти примеры являются своего рода экспериментальными фактами истории науки, которые и наталкивают на мысль, что ва ними скрывается некая новая идея, новый общий метод. Справедливости ради следует сказать, что в настоящее время роль теории групп существенно иаменилась. Очень многие принципиальные достижения физики элементарных частиц были- получены именно благодаря применению идей теории групп. э 40. Квантовые чисиа систем, обладающих сферической симметрией В настоящем параграфе рассматриваются только те квантовые системы, группа симметрии которых содержит все вращения.
Мы уже знаем, что совокупность всех волновых функций квантовой системы, описывающих стационарные состояния с'одной и той же энергией Е Е„, преобразует-. ся под действием элементов группы симметрии по некоторому представлению Т этой группы. Кратность вырож-.
дения внергетического уровня ń— это то же самее, что и размерность представления Т. В тех случаях, когда представление Т приводимо, говорят о случайном вырождении, цак как не видна прпчин, по которым волнбвые функции, относящиеся к равным неприводимым представлениям, отвечают одной и той же энергии. Налячие случайного вырождения йесколько усложняет вопрос о выборе' квантовых чисел и связанный с ним вопрос о выборе базиса в пространстве всех волновых функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
