1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 21
Текст из файла (страница 21)
равенств а - а„, для любого интервала (г», )»), принадлежащего непрерывному спектру, укаэать вероят-' ность р(ц, р) события а ( а ( р. В дальнейшем для простоты будем говорить только о тех физических величинах а, у которых нет непрерывного спектра. Исключение составит $30, в котором рассматриваются намерения положения частицы. Соответствующие физические величины — координаты х,.р и э— не имеют точечного спектра; спектр этид величин является непрерывным.
в 29. Волновая функция Каким же обраэом эаконы квантовой механики поэволяют вычислять вероятности раэличных реэультатов измерения? Для ответа на этот вопрос следует ввести в рассмотрение фундаментальное понятие «волновая фужН4 цияэ и осветить два отдельных вопроса: как вычисляется волновая функция и какую роль она играет при вычислении вероятностей раэличных реэультатов иэмерения3 В этом параграфе мы остановимся только на втором из этих вопросов.
Если квантовая система состоит с точки зрения классической фиэики иэ и частиц (например, и электронов в поле ядра), то ее волновая функция является функцией от и радиус-векторов и времени: ф ф(го г„..., г„, 1). Пусть а — фиэическая величина, эначение которой мы хотим измерить. Каждой Яизической величине в квантовой механике сопоставляется определенный оператор, действуюи1ий на волновую (дункцию, Условимся обоаначать символом а оператор, соответствующий величине а. Мы уже говорили, что состояния квантовой системы, в которых величина а имеет определенное эначение, наэываются собственными состояниями величины а.
Квантовая механика дает простой способ узнать, является ли данное состояние собственным. Для этого следует подействовать оператором а на волновую функцию ф, и если получитсн функция ф аф, которая пропорциональна функции 9: аф Хф (29.1) то состояние квантовой системы с такой волновой функцией будет являться собственным состоянием физической величины а. Более того, коэффициент пропорциональности Х даст нам эначепие величины а в состоянии, описываемом волновой функцией ф.
Операторы а, соответствующие физическим величинам, обладают важным свойством, которое можно было бы наэвать свойством мгновенности. Оно состоит в следующем. Допустим, что реэультат воэдействия оператора а на волновую функцию ф(г„г„..., г, 1) есть функция » (ги гь ' ' 1 гю 1) аф(го г„..., г„, 1) Яги гь ..., г„, Ф). Если нас интересует эначение функции 1 только в ладанный момент 1= 1„то для вычисления этого эначения ~(ге ..., г, 1) нет необходимости спать волновую функцию ф во все моменты времени, достаточно знать ее только в тот же момент, 1=, го 8» 115 Отсюда следует, в частности, что для решения вопроса: «является ли данное состояние собственным состоянием данной физической величины?» достаточно анать волновую функцию «р только в момент измерения.
Иными словами, предыстория рассматриваемой квантовой системы несущественна. Если рассматривать соотношение (29Л) само по себе, как некоторый математический факт, вне связи с квантовой механикой, то его можно описать, сказав, что функция»р является собственной функцией оператора а, число й — собственным числом этого лсе оператора. У данного оператора может быть много различных собственных чисел; (29.2) и соответствующих им собственных функций ф, »р„ »ра а»р. = г..»р. (и (, 2, ...).
Совокупность собственных чисел оператора а называется его точечным спектром. Квантовая механика утверждает, что имеет место следующее замечательное соотношение: точечный спектр физической величины а совпадает с точечным спектром оператора а.
Напомним также, что собственные состояния системы, соответствующие физической величине а, описываются волновыми функциями, которые являются собственными функциями оператора а. Задача вычисления собственных чисел и собственных функций операторов и исследование их свойств — это одна из фундаментальных задач современной математики, в аначительной мере определившая пути ее развития за последнее столетие. Накоплен огромный фактический.материал, создана глубокая разветвленная теория, разработаны вычислительные методы, решено много конкретных задач.
Исследования в этой области математики стимулировались как внутренней логикой развития математики, так и потребностями квантовой механики. Впрочем, первые применения собственных функций относятся к задачам распространения тепла и принадлежат Фурье ((822 г.). Впервые использованный им метод (метод Фурье) является одним из основных методов математической физики. 116 Как вычислить вероятности различных результатов измерения, если в момент измерения Г = й волновая функция зр зр(гь ..., г„, г) не являлась собственной функцией оператора а? Квантовая механика сводит этот вопрос к чисто математической задаче представления функции $(го гм ..., г„, Г) в виде ряда: зр(го гм ..., г„, г,)'= С,ф(ги ..., г„)+ +С,чь(гь ..., г„)+...+С„ф„(гь ..., г,)+..ч (29,3) где ть ~?г, ° °, чь ° .. — собственные функции оператора а, удовлетворяющие одному дополнительному условию, которое будет сформулировано в $31,, фф..., С„, ...— подлежащйе вычислению коэффициенты.
Такой ряд называется рядом Фурье, а искомые коэффициенты — коэффициентами Фурье. Ниже будет показано, как практически вычислять коэффициенты Фурье. Оказывается, что представление волновой функции ф в виде ряда Фурье имеет непосредственный физический смысл: квадрат модуля коз44ициента С~ есть вероятность того, что в результате измерения величины а получится результат, равный собственному числу ?ч. Итак, звание волновой функции в момент измерения и умение представлять ее в виде ряда Фурье по собственным функциям оператора а — это все, что требуется для вычисления вероятностей различных исходов .измерения величины а. $ 30.
Измерение положения частицы Наиболее важным примером физических величин, имеющих только непрерывный спектр, являютси координаты х, у, з квантовых частиц. В то же время связь между волновой функцией квантовой системы, состоящей из одной частицы, и вероятностью различных результатов измерения координат этой частицы дает, как мы увидим, одно ив наиболее наглядных представлений о волновой функции. Вероятность каждого конкретного набора из трех координат (х„у„з,) равна нулю; можно говорить лишь о вероятности обнаружить частицу в той или иной области т' пространства. Обозначим эту вероятность через р(т').
Начнем, с вопроса, каким языком, какими матемаН7 тнческими средствами мы располагаем для описания втой функции. Вероятность р(У) обладает важным и в то же время очевидным свойством аддитивности: если область У состоит из непересекающихся областей У„ У„ ..., У , что записывается так: У У,+У,+...+У„, то вероятность р(У)' найти частицу в области У равна сумме вероятностей: р(У)'= р(У )+ р (У*)+" + р (У-1 Очень широкий класс функций области, обладающих свойством аддитивности, можно строить следующим обу разом. Возьмем произвольную функцию 7'(х, у, г) трех координат.
Заданную область У разрежем на большов число параллелепипедов с помощью трех семейств плоскостей, параллельных соответственно плоскостям ХТ, УЕ и ЕХ. На рис. 27 эта операция изображена применительно к плоской области. Перенумеруем как-нн- Р 27 Двв семой УДь эти паРаллелепипеДы: прямых разрезают об- У Ув У,, У» пасть У ив болыпоо число прямоугольников н выберем в каждом иа них произвольным образом по точке. Обозначим через хь уь г, координаты точки, выбранной в параллелепипеде У„и составим сумму Х (У): Х»(У)=~(хо уо г,)У,+...+~(х», у», г»)У» (ЗОЛ) (в этом соотношении У~ означает величину объема параллелепипеда У~), Разумеется, сумма Х»(У) зависит от выбора точек (хь уь г,) и от способа, каким мы разрезали объем У. Однако, если число параллелепипедов возрастает неограниченно, а максимальная длина диагонали параллелепипеда стремится при этом к нулю, то 'суммы Х (У) стремятся к пределу.
Этот предел называется интегралом от функции 7(х, у, г) по области У и обовначаетея Из символом *) Интеграл представляет собой аддитивную функцию области. Формула (30.х) для величины Хя(У) дает приближепное значение интеграла. При наличии ЭВМ эта формула поаволнет вычислять интеграл практически с любой необходимой точностью. Оказывается, и интересующую нас вероятность р(У) можно представить в виде интеграла но области У: р(У) ) ю(х, у, г) о'$', (30.2) т Фигурирующая адесь функция ю(х, у, г) называется плотностью вероятности, Оиа имеет простой физический смысл. Применим формулу (30.2) к области У очень малых размеров.
Чем меньше размеры области У, тем меньше изменяется функция ю(х, у, г) внутри этой области и тем меньше будет ошибка, если заменить функцию ю(х, у, г) ее значением в одной из точек (х„у„г,)' области Р(У) ~ ю (хе Уе| гв) сП' Иа описанного выше определения интеграла следует, что ) ю(ха~ Уе1 го) ор ю(хз~ Уо~ гз) У~ т Таким образом;плотность вероятности в точке (х,, у„г,), ю(хе1 Уе| ге) у р р(у1 приближенно равна вероятности найти частицу в области т', отнесенной к объему атой области, причем погрешность этого приближенного соотношения стремится к нулю, когда стремятся к нулю размеры области У. Это означает, что плотность вероятности ю(х, у, г) есть предел от- ') Введенное таким образок ловгтие сбъемвогс ввтегрзла явь ляется естествзввми развитием понятия вятеграла ~ у (г) е г пс отрезку. ношения вероятности р(У) к объему У, когда область )т стягивается к точке: и~ (х, у, г) = !Вп —, рЮ а Задание плотности вероятности определяет вероятность р(т') найти частицу в любой заданной области )т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
