1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Так, например, температура в точке, где расположен термометр, вообще не зависит от выбора системы координат. Компоненты скорости точки и компоненты приложенной к етой точке силы преобразуются по одному и тому же закону; иначе преобразуются девять фупкций (19А), характеризующих напряженное состояние упругого тела.
Однако во всех случаях формулы, по которым преобраауются друг через друга компоненты всякого' фиаического поля, должны согласовываться с фак» том изотропии пространства. ВЗ Займемся теперь вопросом, в какой мере изотропия пространства ограничивает возможные виды. преобразований физических полей при повороте используемой системы координат. Переход от компонент у,, гх г ° ° .ту» поля у в системе координат К, к компонентам г1, гх, » .., г» того же поля у в системе К, можно рассматривать как некоторую операцвю а(Ко К,) и записать так: И'~) ж(Км Кх) Я,'~~, (19.2) Приведем некоторые соображения, позволяющие перечислить все возможные виды преобразований а(К„К») в предположении, что они являются линейными »).
Начнем с того, что введем в рассмотренна еще одну систему координат, систему К,. Компоненты поля у(М) в системе К, можно определить по любой из двух формул: Ж*'1 сс(Кх К) Ж'Ъ Ю")-а(К,К»)Ы")» Подставляя (19.2) во вторую из этих формул и сравнивая результат с первой, получаем первое свойство операций а(К, К"): гх(Ко К,) п(Км К,)а(Ко К,). (19.31 Выберем фиксированную систему координат К,. Если К яКе то преобразование а(К„К) однозначно определяется вращением у: гь(Ке К)' аЫ (К=аКд. Попытаемся установить возможный вид введенной таким образом функции а(у). Для этого воспользуемся принципом Галилея, согласно которому все инерциальные системы координат физически эквивалентны.
Зтет принцип, в частности, означает, что операция а(Ко К,) зависит не от каждой .из систем К„ Кх в отдельности, а только от их взаимного расположения. 'Гак как при повороте Ь, производимом одновременно над обеими системами координат, их взаимное расположение не ») Это предположеаае вытекает также аз азотропаа пространства. Н самом Леле, если тра поля й Л а й ссааавы е пакойлибо састеме координат соотношением г Л+ й (что можво уставозлть експервмеательво), то а салу ревеоправпоста всех ваерплальвмх слстем такое же соствошевле должно сохравлтьсл а зс всех других састеках коордллат, бе изменяется, то а (ЬК», ЬКг) = а (К Хг) ° Пусть К,=Ь,К„Х,=Ь,К,; тогда последнее равенство можно переписать так: а(ЬЬ,К„, ЬЬ»К») а(Ь,К„Ь,К,)'.
Последнее равенство справедливо при любом выборе вращений Ь, Ь, и Ь,, Положим здесь Ь Ь, с; тогда получим а (К„Ь, '-Ь,К,) = а (Ь,К„ЬгК,) = а(К„К,). Это означает, что а(Кс Кг) а(Ь» сйг) (Кс ЬсКг Кг = ЬгКг)» (19 4) Мы видим, что вследствие принципа Галилея преобразование а(К„К,) просто выражается через введенную ранее функцию а(л). Воспользуемся свойством (19.3) н формулой (19.4), Полагая К, Ь,К„имеем сс 'сЬс Ьг) а'сйс Ьг) а сйс Ьг). Положим сначала Ь, е, а затем Ь, ' Ь,Ь,. Получим а(Ь,Ь,) = а(Ь,) сс(Ь,).
Мы видим, что операции а(д) не образуют представ- ления группы вращений. Однако, если ввести операции 1(й) а(й ') то соответствие л- ~(д) будет представлением группы вращений. В самом деле, (1(е)=а(е) Е н ЯЬ»Ь)=а((Ь»Ь,) )=а(Ь, Ъ, )=а(Ь, )а(Ъ, ) р(Ъс)р(Ьг). Это и означает,что операции р(Ь) (Ь»иК) образуют пред- ставление группы вращений. Вернемся к соотношению (19.2).
Полагая Х, = Х», Кг=Ь 'К„получим Я"! — 9 (Ь) Я") (К, = Ь-'К,) (компоненты поля 1 рассматриваются в одной и той же точке М пространства — в той точке, где установлены пряборы для измерения этих компонент), 90 Представление р, как и всякое конечномерное представление группы вращений, можно записать в виде суммы нескольких неприводимых Представлений: ()-йрз +Ж~,+,. + Ж;, ~ (2)з+ т) и . Мы видим, что р имеет дискретный набор возможных значений, причем для фиксированного и число этих значений конечно (см. табл.
19.т). Таблица 19Д а й~, 2й~о ЗЖв И~1 Представление р является важнейшей физической характеристикой поля. Два поля, преобразующиеся по одному и тому же представлению р, относятся к одному классу — классу р. Таким образом, теория зррпп позволяет провести классификацию возможных физических полей. Если представление р состоит из нескольких представлений с одинаковым весом: то общий вес ! этих представлений называется спинам ) поля ~.
В наиболее важных случаях вводятся специальные термины, характеризующие вид преобразований полей при повороте системы координат. Так, например, поля, преобразующиеся по представлению Я, группы вращений, называются векторными в узком смысле этого слова, а преобразующиеся по представлению Я,ХЫ,— тензорными. Скалярным полям соответствует представление Ы,. Линейный характер операции (з(Ь) означает, что в точке М компоненты ~~ поля у в системе К й 'К. линей- 9$ яо связаны с его компонентами Д в системе К,: а ~р (М, г) ~ ~м(Ь)Д(М, е), (19.5) Легко проверить, что (4,(Ь) — матрица операции р(Ь) в базисе е„е„..., е„, который строится простым способом: е, * (1, О, ..., 0), е, =(О, 1, О, ..., 0), ..., с„ (О, О, „., О, О, 11, Функции У,(М, е) и Уаь(М, 1), входящие в соотношение (19,5), зависят от координат точки М.
Однако при вычислении функций ЦМ, е) естественно пользоваться координатамн (к, р, з) точки М в системе отсчета К Ь 'К„ а при вычислении функций Д(М, е) — координатами той же точки М в системе К,. Как связаны друг с другом эти координатые Для ответа на этот вопрос воспользуемся следующим свойством систем К, и К Ь 'Х,. Координаты к„ ре з, произвольного радиус-вектора г в системе К, равны координатам (к, р, з) вектора Ь 'г в системе К Ь-'К„ Это свойство становится очевидным, если жестко скрепить вектор г с системой К, которая сначала совпадала с системой Кч а затем подверглась повороту Ь '.
Вектор г перейдет при этом в вектор Ь 'г, а его координаты в системе К не изменятся, так как он жестко связан о этой системой. Это означает, что для вычисления координат к„ у„ з, точки М в системе К, следует поступить следующим образом. Берем вектор г, у которого координаты в системе К, равны и, р, з, т. е. координатам точка М в системе К Ь-'К,; производим над ним вращение Ь ' и координаты к„рв, з, полученного таким образом вектора Ь 'г берем в качестве искомых координат к„р„ г,. Теперь равенство (19.5) можно переписать так: и ~~ (г, г) ° ~ ~ел(Ь) Д(Ь ~г, г). (19.6) ь Операции такого вида мы уже рассматривалн в 3 16. Было показано, что они образуют представления группы вращений. Сопоставляя результаты $16 и настоящего параграфа, можно сказать, что формула (16.8) дает обиеий вид 4ивическоео полл ив класса,У, которое при эл вращении координат ведет себя как вектор е' канонического базиса представления Я), группы вращений г(.
Обратим внимание на то, что представления р и лРг имеют разный физический смысл. Представление (1 характернзует преобразования координат поля в фиксирован ной точке М при вращениях системы координат. Представление,й, характеризует преобразования поля во веем пространстве при тех же вращениях. Это различие проявляется наиболее наглндно, когда поле определяется формулой 1(г)= г, как зто показано на рис.
2(.. Если повернуть этот рисунок вокруг начала координат на произвольный угол, то картина йоля не изменится. Поле $(г) г не изменяется при вращениях — оно преооразуется Рис. 21. Плоское вектоРное по- ло 1(г) г по представлению Яг, 'однако значение етого поля в каждой фиксированной точке, являясь вектором, преобразуется по представлению р =Ы,. Сделаем одну оговорку. Все сказанное относится только к тем физическим полям, компоненты которых могут быть измерены. Именно зто привело нас к выводу об однозначной аависимости компонент поля от выбора систем координат. Долгое время были известны только такие поля. Одаако с появлением и развитием квантовой физики были обнаружены также поля, у которых можно было измерять только квадраты модулей компонент.
Мы еще вернемся к этому вопросу. $ 20. Симметрия системы уравнений физического поля Каждое физвческое поле 1(х, у, г, 1) удовлетворяет некоторой системе уравнений А. Эта система позволяет (по крайней мере в принципе) вычислить поле во все моменты г ) Фо если оно известно в момент 8 Ф,. Так, например, электромагнитное поле подчиняется системе уравнений Максвелла.
Если известно поле в не- 93 который момент времени, то с помощью уравнений Максвелла его можно рассчитать для любого последующего момента времени при условии, что рассматриваемый объем не содержит вещества (является «пустымэ). При переходе от одной инерциальной системы координат К, к другой К, Ь 'К, электромагнитное поле Е(г,«), Н(г, «) преобразуется: во-первых, вектор т в системе К, имеет совсем не такие координаты, как в системе К,. И, во-вторых, проекции векторов К и Н на новые оси координат, естественно, отличаются от проекций на старые оси. Таким образом, шестерки функций К„(х, у, з, «)', Е„(х, у, з, «), Е,(х, у, з, «), Н,(х, у, з, «)', Н„(х, у, з, «), Н,(х, у, з, «) в системах К, и К, Ь 'К, различны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
