1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Операторы непрнводимого представления размерности п 21+1 принято обозначать йР,(б). Число 1 называется весом представления Жэ Базис пространства, в котором действует представление Жь обычно выбирают специальным образом и нумеруют целыми числами: ач ° -1, — 1+ +1, ...,1-1,у: $ 1 з~ 5 е-1+и ° ' ' г 'Ч-М зз' Выбор базиса проиаводится так, чтобы имели место равенства Я);(Сз(~р))ег е ' ез~ (еж~созгз+1з(па, 1- "г'-1). (15 1) В етом базисе матрицы У~(й) поворотов С~(~р) имеют диагональную форму еев О е'<'-пе'' ®~ (Сз (рИ- О е-пе Поиск матриц Ж,(б)' в этом базисе очень упрощается, если воспользоваться углами Эйлера.
Полагая для простоты жДу(е, ~, й)) ж,(й, р, ф), согласно соотношениям (14.1) и (15 1) получаем Ы~(0, ф> ф) .'Юф[Са(ф)] Ы~(Са(8))Ж~~Са(р)~. 1+ сов 8 1 — сов 8 — в1о8 ']/2 2 — — - в1а8 ~/й 1 — сов 8 2 -=в1а8 Уй 1+со»8 2 Сов 8 — в!о8 Ух Подведем итоги. Размерности неприводимых представ- лений группы вращений образуют ряд, состоящий из нечетных чисел: и 1,3,5,7,„, к — 1 Величина 1 — называется весом неприеодимого 2 представления.
Канонический багие состоит ив векторов р~ (и -], -1+1, ..., 1), обладающих следующим свойством: Ж1 [Св(ф)] еве е-' рев, Классификация всех канонических векторов произво- дится с помощью двух целых чисел: веса] (1 О, 1, 2,,. ) 73 Поэтому Я>, (В, ф, ф) Е1 = Е 'пв йд, [С, (ф)],Ы, [С, (В)] Е~ 1 , -е-1"'вЖ1 [С,(ф)] 2~ йр»ь. [С,(ВИе»1= А -1 е-'"'е ~ х е-'»ойрат [С, (В)] е[. в -з Это равенство показывает, что 22)18.
(В, р, ф) - е-"'+""Р,.„(В) (Р„.,(В)=йр»в [С, (В)]). (15.2) Мы получили простую зависимость матричных влементов Ж» (В,ф,$) оператора Я,(у) от углов Эйлера ф и вр а свели аадачу к определению функцай Р» .»(В), вавасящах только от одного аргумента В. Все функции Р„,(В) (й, и О, М, ..., ~]) являются полиномами от вш В н сов В одной и той вке степени ].
Эти полиномы известны, соответствующие формулы приведены в $24. Для дальнейшего достаточно рассматривать полиномы Р,,(В) как известные функции, Для 1 1 ети функции имеют очень простой вид: и индекса тл (тл -7, -1+1, ..., 7). Эта классификация переносится на решения любой задачи, обладающей сферической симметрией (т. е. имеющей в качестве труппы симметрии группу вращений). Представление Ю, (й) является тривиальным — каждому элементу й соответствует единичная операция в одномерном пространстве; Решения, преобразующиеся по этому представлению, называются скалярами. Представления !В,(й) реализуются иа совокупности векторов обычного трехмерного пространства.
Поэтому оно называется векторным представлением, а величины, преобразующнеся по этому представлению,— векторами. Роль канонического базиса играют три вектора: !+АЙ) д . д 7 — д) е д — — з ез нд ед уз' Д где 1, 3, й — единичные векторы, направленные по осям ОХ, ОУ н 02 соответственно. 5 16. Два примера решения второй основной задачи Согласно общей схеме пременения теории групп к решению задач, обладающих группой симметрии, требуется уметь решать две основные задачи. Первую задачу — отыскание неприводимых представлений — мы будем считать решенной раз и навсегда для всех групп, представляющих практический интерес. Это оправдывается существованием таблиц этих представлений.
По сути дела, мы можем не интересоваться методамн составления таких таблиц, подобно тому, как при пользовании таблицами логарифмов можно не знать тех хитроумных приемов, с помощью которых вти таблицы были составлены. Вторую задачу приходится рассматривать, к сожалению, в каждом конкретном случае в отдельности, т. е. для каждой группы симметрии и для каждого пространства Ь, в котором действуют элементы втой группы.' Продемонстрируем, как это делается, на двух важных примерах. Пример 1. Рассмотрим представление У группы вращений, действующее в пространстве Ь всех непрерывных функций трех координат и времени, 7'(г, 7) ((х, у, з, Г)', и заданное соотношением Т()д)((гд д1 (()д 'г, с)' (й дв В), (16.1) 74 Приведем простую интерпретацию операторов Т(у)'.
Пусть .5(г, 5) — температура твердого тела в точке, нмеющей радиус-вектор г в момент времени 5. Подвергнем зто твердое тело какому-нибудь врал(гнию Ь. При атом точка М тела, радиус-вектор которой до вращения был равен, скажем, гг, перейдет в новое положение, характеризуемое радиус-вектором Ьг,. Это означает, что после поворота температура твердого тела в точке с радиус-вектором Ьг, равна температуре до поворота в точке г,: ~.
(Ьг,) 5 (г,). Это соотношение справедливо при любом выборе точки М и, следовательно, при любом выборе радиус-вектора сь Полагая г, Ь 'г, получим ~л(г, 5)=5(Ь 'г, 5) Т(Ь)5(г, 5), Итак, оператор Т(Ь) осуществляет переход от распределения температур 1(г, 5), которое имеет твердое тело до поворота, к распределению температур после поворота.
Из приведенной интерпретации вытекает равенство ' Т (у) Т (Ь) )(г, 5) = Т (уЬ) ) (г, г)' (у, Ь ы В), т. е. Т(у)Т(Ь) Т(уЬ). Разумеется, полученное соотношение можно было бы доказать и непосредственно, пользуясь определением (16.1) операторов Т(Ь). Учитывая, что Т(е) ° Е, делаем вывод, что операторы Т(Ь), заданные равенствам (16.1) в пространстве Е непрерывных фуик55ий, осуществляют некоторое представление группы вращекий. Приступим теперь к решению второй основной задачи прикладной теории групп. Найдем подпространство Е~'~ функций, однотипных вектору е ' .
Если некото555ая функция 5(г, 5) принадлежит подпространству Е , то по (5 определению вто оаначает, что существует набор функций Ы~' (г, 5)1 (1 — 5, У + 1. . . 5; УР ( , 5) У (г, 5)) таких, что 5 Т (Ь) ~5 (г1 й) ви ~5 (Ь г 5) ~з~~ Я>з5 (Ь) ~з (гз й) ь (16.2) Для решения поставленной задачи воспользуемся спе- циальным приемом. Положим в (16.2) г г„где г,— ча вектор, лежащий на оси 02.
В качестве Ь-' возьмем вращение, характеризуемое углами Эйлера, Ь ' «(б,у,ф, Элемент Ь, обратный Ь-', ранена) Ь-С,(-р)С,(-6)С.(-р)-С,(я- р)С,(6)С,( — р) и, следовательно, характеризуется углами Эйлера: Ь я(6, я — $, я — ~р). Что представляет собой вектор Ь 'г,Р Очевидно, что он направлен по оси 02' (см. рис.
12, в), и поэтому его координаты равны х г,з1пбеш~р, у -г,зш9соз~р, з-г,созб, г, !г,!. (16.3) Равенство (16.~) принимает следующий вид: у Д(х, у, и, с) ~ Я)а'„(6, я — ф и — ~р) (а(ге, г), а Подставляя сюда соответствующее выражение для йраж (см. равенство (15.2) ), 'получим 1 у' (х, у, г, 1) ~~э„( — 1) +" ек е+аюРа~; (6) Д (г, г). а=у Координаты х, р, з связаны с углами 6 и ~р соотношениями (16.3). Левая часть не зависит от угла ~р. Это поаволяет существенно упростить правую часть последнего равенства. В самом деле, для того чтобы правая часть этого равенства не зависела от угла ф, необходимо, чтобы все члены, содержащие множители е'"е (йтьО), были равны нулю. Это оаначает, что (16.4) 1а(г„г)-О, (й~о), УМ„(х, р, з, с) - ( — 1)"е' еРо„,,(6) 4 (ге, т) (и О, ~ 1, ..., ~1). Здесь ре (ге, г) — произвольная функция сферического радиуса г, (х'+р'+з')ьв и времени й Это и есть общий вид всех наборов функций, образующих канонические базисы, соответствующие неприводимому представ- *) это следует иа легко прозеркемого тождества С~( — О) ~ С1(л]С1(Е]Са(и), ленив Жь Вместе с тем Формула (16.4) дает полков решение второй оенозной задачи.
После того как найдены подпррстравства однотипных векторов Е~,'т. е. решена вторая основная задача, следует согласно общей схеме применения теории групп искать только'те решения, которые принадлежат этим подпростравствам. Напомним, что такие решения называются каноническими. В рассматриваемом случае это означает, что решения следует искать в виде функций (18.4). Входящую в правые части соотношений (16.4) неизвестную функцию ~аз следует искать, исходя иэ конкретных условий рассматрвваемой задачи. Определение этой функции — существенно болев простая задача, так как чем меньше аргументов у вецэвествой функции, темлегче ее найти. Таким образом, располагая решением второй основной задачи, можно: 1) исходную задачу заменить более простой; 2) вайдЯ одно Решение Гз(гз, Г) этой более пРостой задачи, получить с помощью формулы (16.4) еще (2г+ 1)' решений г",,(х, у, з, Г) (т О, ~1, „~у) исходнойэадачи; 3) еще ве приступая к решению аадачи, знать, как зависят искомые решения от углов 6 и ~р.
Последнее позволяет установить ряд свойств этих решений. 51ожно, например, утверждать, что интегралы ~ ЦЯЛЬр О, если т~т! о Это утверждение можно усилить — равенство интеграла нулю сохранится, если заменить решения ~' и ~ к у одной в той же задачи решениями 1' и у г двух различных задач при условив, что их операции симметрии имеют вид (16.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
