1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 12
Текст из файла (страница 12)
и, люсаэгваз бб такое фундаментальное понятие, как каноническое решение. Как и всякое представление, представление Т, либо неприводимо, либо является суммой нескольких неприводимых представлений. И в том и в другом случае ьюжно написать Т, тл(т,+т,тз+...+т.т, (и,'Л-.О; 1 1, 2,, о). Зто равенство означает, что представление Т, является суммой )(= и), + т, +... + )и, неприводимых представлений, из которых и), представлений эквивалентны неприводнмому представлению т;, )и, представлений — представлению т, и т. д. Наномним смысл этого утверждения.
Пространство Х, в котором действует представление Т„ есть сумма 1( надпространств: в иа Х- Х ХХ(ш), а )м 1 каждое из которых инвариантно и преобразуется по одному из неприводимых представлений т. Верхний индекс (а) указывает номер соответствующего неприводимого представления, нижний'индекс т нумерует надпространства, преобразующиеся по одному и тому же представлению, Рассмотрим одно из надпространств Х . Выпишем (а) из таблиц представлений матрицы неприводимого представления т~: т(оч) (й) (й - =~). (13.1) Так как подпространство Ха преобразуется по пред- (а) ставлению, которое эквивалентно представлению т, то в Ха можно выбрать базис таким образом, чтобы мат(а) рицы операторов Т(л) совпадали с табличными матрицами (13.1).
Такой базис условимся называть каноническим, и составляющие его решения задачи А(Ь) — каноническими решениями. Обозначим векторы канонического базиса подпространства Хн символами (а) ( ) (в ) (а о х) зле ф ° гала так что Т (л) к',)) ~ т(оэ)(й) к)"~) (у * 1, 2. ..,, в„). ь-1 Объединяя канонические базисы всех надпространств Х'а', получим базис в пространстве Х: х(а ' (а=1, 2,...,о;т=1,2,..., и)„; Р-1, 2, ..., за), (13.2) Любое решение х ы Х' можно представить в виде линейной комбинации канонических решений (13.2): (ат) х = ~ Сат)х) ° а,т,) Позтому отыскание совокупности' Х всех решений задачи А(Ь) зквивалентно отысканию канонических решений атой задачи.
Напомним, что по определению каждое каноническое решение связано с тем или иным непризодимым пред(ам) (а) ставлением: решение х( принадлежит тину е( ) и, следовательно, содержится в подпространстве однотипных векторов Е; пространства Е. Теперь становится ясным, какую роль израет вторая основная задача прикладной теории зрупп.
Решив зту задачу для пространства Ь, мы найдем все содержащиеся в нем надпространства однотипных векторое Е; . Пс(а) скольку все решения х.ат) (тп* 1, 2, ..., т„) содержатся в подпространстве Е) т то и искать их следует в етом ~а) подпространстее. Тем самым задача А (Е) расщепляется на ряд более простых задач; А(Е)~)) (и 1,2, „„о; ) 1,2, ...,за). Такое расщепление существенно упрощает нахождение всей совокупности решений Х задачи А(Ь), подобно тому, как решение системы линейных уравнений с и)+и неизвестными требует, как правило, больше времени, чем решение двух систем с )и и и неизвестными каждая.
Соображения симметрии позволяют внести еще одно упрощение в процесс отыскания всех решений задачи. После того как найдены все решения х, (и 1, 2, ... (ат) (а х ..., и) ), нет необходимости рассматривать задачи А(с) ) с )>1! В самом деле, при фиксированном индексе )и решения (ат) (ат> (ат) зхе з а ° ~зх1а образуют базис в инвариантном надпространства Е (а) которое преобразуется по представлению т группы б.
Ва ВЧ Поэтому; действуя на найденное решение х) всеми (ат) операпиямв симметрии 'Т«(у) (у ш (э), получим набор решений ««(у) х) (К~йг каждое из которых принадлежит надпространству Ь„. (а) Выбирая из них г, линейно иезависимых решений, папу[а) чим бааис в подпространстве У и, таким образом, найдем. и само подпространство Ь (а) Ниже будет показано, что во многих случаях суще- ствуют еще более простые методы восстановления под- пространства )вешенвй Ь по содержащемуся в нем (а) решению х, (ам Подводя итоги, можно сказать, что теория врупп об- наруживает и использует асимметрию в подпространстве решений.
Яв «общей массы«всех решений она выделяет решения, связанные с тем или иным неприводимым пред- ставлением, а из этих последних — решения, образующие канонический базис етого представления, Иэ выделенных таким образом решений, как уже было показано, можно построить базис в подпространстве Х. Такую же асимметрию и подобным же образом теория групп вносит и во все пространство Е, среди элементов которого надлежит искать решения Эта единая класси- фикация элементов пространства «.
и решений из Х очень облегчает поиск решений: решения типа е))(~ следует искать среди элементов из Б того жв типа. Это сужает «поле поискав н тем самым облегчает нахождение всех решений, Глава 4 ЗАДАЧИ, ИМЕЮЩИЕ ГРУППОЙ СИММЕТРИИ ГРУППУ ВРАЩЕНИИ В настоящей главе две основные вадачв прикладной теорин групп рассматриваютск на примере группы вращений. Мы выбрали такой пример, потому что, с одной стороны, вращения пространства — достаточно привычное понятие, а с другой — выводы теории групп, получаемые для задач с группой вращений в качестве группы симметрик, нетривиальны и играют весьма существенную роль в физике.
Симметрия, описываемая группой вращений, присуща пространству, в котором мы живем. Все ваправлэнйя в этом пространстве физически эквивалентны. Все (внерциальные) различно ориентированные снстемы координат также физически эквивалентны — законы природы (ураввення механики, влектродинаминя, квантовой механики и др.) записываются одинаково зо всех этих системах отсчета. Это объясняет, почему многве фундаменталы ные задачи фвзини симметричны относительно любых вращений. В первых пяти параграфах этой главы изучаются чисто алгебраические свойства группы вращений.
Приводнтся решение первой основной задачи првнладной теории групп — дается описание всех вепрвводвмых представлений группы вращеянй в выясняются вх свойства. В двух часто встречающихся случаях решается и вторая основная задача првкладвой теории групп. Далее вводится важное понятие проиаведенвя представлений п рассматривается вторая основная задача применительно к пространству, преобразующемуся по произведению каких-либо двух неприводимых представлений группы зращенвй.
Последние два параграфа этой главы носят совершенно другой характер. Здесь группа вращений выступает как группа симметрии физического простракстза. Показано, что какдое физическое поле связано с тем или иным представлением группы вращений. Благодаря атому классификация представлений группы вращений переносится на физические поля и выявляются свойства, общие для всех полей данного класса. Рассматриваетсн также вопрос о спмметрив систем уравнений, управляющих тем илн иным физическим полем, подобно тому, как уравнение Максвюша управ'- лает электромагнитным полем.
Помимо группы вращений, в фнввке важную роль играют многие другие группы симметрии физических задач. В первую очередь зто группа Лоренца — групйа, связанная с переходом от одной дввжущейсн инерциональной системы отсчета к другой. В последние два десятвлетия в целях поиска групп симметрии в теории влементарных частиц усиленно изучаются различные группы квадратных матриц разлвчньгх размерностей.
В кристаллафизияе важную роль играют группы симметрии кристаллических решеток. Существенную роль как в теорив групп, так и в физике систем с одинаковыми частицами играют группы перестановок, Рассмотрэннэ всех этих групп нэ является нэагей задачей, однако приведенный э конце кнктн список рекомендуемой литературы содэржнт учебники к ыонографнн, э которых этн груааы рассмотрены достэточно аодробно. 3 14. Группа вращений Что такое поворот твердого тела вокруг некоторой оси — каждый может ясно себе представить. Поэтому мы не будем определять это понятие. Всякий поворот можно охарактеризовать, указав с помощью вектора )г направление оси поворота, а также задан точку О, лежащую на втой оси, д угол поворота ф.
В связи с этим условимся обозначать повороты символами Сх(ф). Каждый поворот будем рассматривать как некоторое линейное преобразование пространства. Для того чтобы узнать, в какой вектор г' перешел данный вектор г под действием поворота Сь(ф), поступим так: мысленно жестко свяжем вектор г с твердым телом, аатем произведем над этим телом поворот Сх(ф) и посмотрим, какое новое положение г' в пространстве занял вектор г. Вектор г' мы и будем считать результатом действия поворота Сх(ф) на вектор г.
Легко видеть, что прн таком естественном определении операции Сх(ф) два поворота вокруг одной и той же оси на углы ф, и фэ соответственно совпадают, если ф, = ф~ + 2п: Сх «р) Сх «р + 2п). Произведение двух поворотов вокруг одной и той же оси на углы ф, и ф,— это поворот вокруг той же оси на угол ф, +фэ: С„(ф,) С„(фэ) - С„(ф, + ф„). Из атого равенства следует, что совокупность всех погаротаз вокруг одной и той же оси образует группу, Нам понадобится и другой способ описания вращений — путем задания положения тела после соответствующего поворота.
Свяжем с твердым телом вспомогательную систему координат ОХ У'Я', которая до вращения совпадала с системой ОХУе', и опишем ее расположение после вращения с помощью трех углов, 8, ф и ф называемых углами Эйлера (6 — угол между осями ОЯ и Ое"). Для определения углов ф и ф введем в рассмотрение так называемую ось узлов — прямую пересечения плоскостей ХОУ и Х'ОУ', Вели эти плоскости совпадают, то в качестве оси узлов возьмем ось ОХ'. Угол, на который следует 70 повернуть вокруг оси ОЯ (против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительной полуоси 02) ось ОХ, чтобы она совпала с осью уалов, обозначим буквой тр. Наконец, тр определим как угол, на который следует повернуть вокруг оси ОЕ' ось уалов, чтобы она совпала с осью ОХ' (рис. 18).
Углы Эйлера замечательны во многих отношениях. Для нас, однако, существенно, что вращение б(В, <р, ф), характериауемое этими тремя углами, можно представить в виде произведения трех поворотов на углы ~, В и ~р: Х Ф б(В, <Р, ~) Се(~Р)С,(В)~,(~Р), (14.1)' где С~(а) и С,(и) — повороты на угол а вокруг осей ОХ и ОЯ соответственно. В качестве докааательства этого соотношения приведем три рисунка (рис. 19, а, б, в), на которых изображены положения системы ОХИ после Рис.
(9. Последовательные положения системы координат ОХ'У'Л' после поноротон Са(т), Сз(0)СеЩ) и Сэ(%)С1(В)Сз(й) того, как ее последовательно 'подвергают поворотам С,($), С,(В') и С,(р). Группа вращений В есть совокупность всех поворотов вокруг всевозможных осей, проходящих через фиксированную точку О. Тот факт, что ата совокупность действительно образует группу, менее тривиален, чем это кажетсл на первый вагляд. Действительно, так ли уж оче- т1 видно, что перемещение твердого тела, осуществляемое последовательно двумя поворотами Сь, (фг) и Сз, (т з)» может быть произведено с помощью одного поворота Сз(ф)9 Можно доказать, что зто возможно сделать. $15. Первая основная задача— неприводимые представлении группы вращений Цель настоящего параграфа — рассказать о неприводнмых представлениях группы вращений, не останавли-' ваясь на выводах илн доказательствах излагаемых фактов. Группа вращений имеет по одному иеприводимому представлению каждой нечетной размерности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
