1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пример 2. Рассмотрим пространство Б, элементамн которого являются совокупности непрерывных функций 0ж(г~ 1))'». Каждому вращению Ь |и В сопоставим оператор Т(Ь), определяемый равенством Т(Ь)К(т, Г)). (Р„(г, Г)), (16.5~ где Р„(г, Г) ~ Тф(Ь) ~ь(Ь г, Г)з Тзь (Ь) — матрица некоторого представлеиия Т, группы оп вращений. Если Т~ — векторное представление группы вращеиий, то описанную ситуацию можно интерпретиро- вать следующим образом. Рассмотрим электростатическое поле Е, создаваемое векоторой системой жестко скреп- леивых друг с другом заряжевных проводииков.
Поле Е характеризуется тремя функциями — проепциями яапря- жениости полн Е(г) иа оси координат, Е„(г), Е„(г), Е,(г) — и может рассматриваться как злемеит простран- ства Х. Если иад системой проводников произвести ка- кой-либо поворот, то вместе с ней повернется и поле Е.
3 У Для вычисления компонент Е» (г), Ег (г), Е, (г) повер- нутого полл в произвольной точке г нужно знать поле Е в точке г' — Ь-'г, поскольку имеиио эта точка после пово- рота Ь' займет положение г. Кроме того, сам вектор Е(Ь 'г) при вращении Ь поворачивается, превращаясь в всктор ЬЕ(Ь 'г), причем (ЬЕ(Ь 'г))ь "~аьм(Ь) Еь (Ь 'г), где аьм(Ь)-косинусы углов между осями систем координат К =ОХУ2 и ЬХ ОХ'ГЯ'.
Мы получили частный случай операций (16.5). Легко проверить, что операторы Т(Ь) удовлетворяют соотношениям Т(е)=Е, Т(Ь)Т(Ь )=Т(Ь Ьз)' (Ь,Ь жВ) и, следовательно, образуют представлевие группы Н, Для простоты будем предполагать, что представление Т, сов- ладает с каким-либо пеприводимым представлением Ж„. Приступим к решению второй основной задача при- менительно к примеру 2. Найдем общий вид вектор-фувк- ций у(г, г) 9„(г, Г))-, которые преобразуются под дей- ствием оператопон Т(Ь) по иеприводимому представле- нию Яь Если У'">(г, Г) (т = О, М, ..., ~У)- какой-либо набор таких функций, то, с одной стороиы, должно вы- полняться равенство Т (Ь) г""' (г, г)- ~л~~ йр„(Ь) г ро(г, г), а с другой стороны, по определению, т 1Т(ЬИ" '(.г)1 — Х йР" (Ь)й" (Ь ' А.
с- -т Сопоставляя зти два равенства н полагая т т, ° г)г (где Ь вЂ” единичный вектор, направленный по оси 02), получим ч Х М)з~(Ь)У"ю(г)г. т)- Х йр'с(Ь)4 '(Ь 'г„т) (16.6) Как и в случае первого примера, положим Ь '= л(6, ф, ~), Ь *л(6, я — ф л — ~р). Вектор Ь 'г, имеет координаты х, у, г, определяемые равенствами (16.3). Система. соотношений (16.6) позволяет выразить функции 7зз (х, у, з, 1) через функции двух переменных: )а" (г~ т) (а=О, ~1, ..., ~»; Ь О, М, ..., ~у).
Делается зто так. Умножим обе части равенства (16.6) на Жте(Ь ) и просуммируем по индексу а от -т до т. Учитывая, что Хйр:.(Ь-') йр." (Ь) =йбтс(Ь-'Ь) =1й' () =б,а. От) получим в правой части единственное слагаемое 7т (х„ у, з). Позтому т 7т (х, р~ хю Ф) Х Жуа (Ь ') Х йОАи (Ь) 7а (Г)г~ 1). Дальнейшее укрощение получится,' если зослользоваться формулой (15.2) для матричных злементов М>„"е(Ь ') и Жьв (Ь): 6 (х~ ра зх 1) т ~~Ы (г)г 1) Р ~ т (6) Рз З (8)ебм ь -1а -т (16.7) Координаты х, р, г не зависят от угла ф Позтому н левая часть равенства не зависит от ф Это означает, что все слагаемые правой части, зависящие от ф в действительности равны нулю', т.
е. что )еб (ге1сз 1) Оз если й тасс Это обстоятельство очень упрощает формулу (16.7) . 79 . В сумме остаются только те члены, у которых й оп э ф' (хд уе ве «) ~ е ~ Ьа (те «) Рта,ч (6) Рат,т (6)е (16,8) где «г ш1п(т, 1), т (зл+ у'+ зт) из, а Ую(т «) ии вы А'е (тй~ «) — проиавольяые функции т я «. Формула (16.8) определяет самый общий вид набора вектор-"функ««ай ~«' ~(г, «) ° [ф'"~ (г, «))т „, лт ° — ), — « + 1. ..
„ «, образующего канонический базис неириводимово иредстаеления «й)ь Она решает вторую основную вадачу и сводит решение задачи А(Ь) к иоиску (2««+1) неизвестных функций 1н(т, «) двух иеременных т и «. Напоиявм, что в задаче А(Ь) неизвестными были (2т+1) фуякций четырех переменных: х, у, х и «. Заметим еще, что решение (16.8) второй основной задачи дает нам явную зависнмость компонент «тот ' (х, у, в, «) искомых Функций от углов 9 и <р. Мы видим, что все задачи, обладающие операциями симметрии (16.5), вмеют решения стандартного вида (16.8), какова бы ки была конкретная задача А(Ь).
Решения вида (16.8) называют сферическими волнами со спинам, й 17. Произведение неприводимых представлений Определим новое понятие: лроивведение Т, Х Т, двух данных иредставлвний Т, и Т,. Впоследствви мы увидим, что ситуации, при которых наряду с двумя представлениями Т, и Т, группы С приходится рассматривать и ех произведеяие, встречаются достаточно часто в приложениях теории групп.
Пусть 6 — какая-либо группа, а Т~(у) и Т,(у)- два не обязательно различных) представления этой группы. бозначим матрицы этих представлений так: Та ~,и (у) Т~~~е (у) (ссг и 1 2в и « 1,2, „„и,), Образуем все вовможные пары (а, Д. Перенумеруем вх каким-либо образом; номер, присвоенный паре (а, ()), 80 обоакачим [а, Я. Обраауем матрицу порядка и = я,л,: Т[адздйаз] (в) ~ Тй а (в) Тдрдз (б) (17 1) Убедимся в том, что соответствие б -+Т[вде,[[вВ] (Ы) есть представление группы О.
Имеем [1, если ад ад Т[а В [[аВ](в) ~ Та и(в) Т~ В(в) О в пйотиэоположком случае, Условие сгд сг, ([д ([ эквивалентно условию (а,~Д ° (сд, р). Это и озвачает, что матрица Т[вдзд[[вз](в)— единичная матрица раамервости о. Далее, если й,йж0, то Т[а Вд[[аз] (яЬ) а~ Таа (йЬ) Т Вмз (бЬ) вд в - Х Т.'д],(й) Т3,(Ь) Х Т~",,(Ь) Т,"В](Ь)- Х 7 [в Вд[[рв] (Я) Т[рв][аа] (Ь) Суммирование по всем р и О равносильно суммироваивю по всем значениям индекса (рд] от 1 до О.
Поэтому пос- ледняя сумма есть матричпый элемент произведения опе- раций Т(д) и Т(Ь), Итак, Т[адзд](аз](лЬ) ' (Т(й) 7 (Ь))[адВд)[аВ] ° Это озоачает, что Т(бЬ)' Т(б)Т(Ь). Соответствие й-« Т(й) действительво является представлением. Это представление, олрвдвлявмов Яорлдулой (17.1), навывавтсл проивведвниелд представлений Тоз и Т'и (Порядок множителей роли ке играет), Нредполодквм, что й дд — группе вращений, а Т, и Т.— ее иеприводимые представлепия ]з]„и йр,. Нас будет ивтересовать, какие кеприводимые представления Юд группы вращений содержатся в произввдеиии ]с]„ХЖ,. Оказывается, что зто произведение содержит по одному разу все неприводимые представления ]з]ь вес 7 которых ааключен в пределах [[д-т1! вц р+еч Ю„Х йр, !й)в-ч+ Я>в-ч+д+ ° * ° '+ Ж,+и (17.2) Докажем зто важное свойство кеприводимых представлений группы вращений.
В г. я, лдрсвглвва 81 Пусть Š— каков-либо пространство, в котором действует представление Т Я„Х.'Ю,. По определению в Ь можно выбрать базис е, з, так, чтобы Т(б) езай =' ~2~~ Ха~а(к) Ж~р(л) е(а е зз (а,е,! В частности, если л С,(гр), то Т[Сз(<Р))есаз1 е с™есаи (т~сз+Р) ° Обозначим Я подпространство, состоящее из тех векторов, которые под действием оператора Т(Сз(гр) ) умножаются на е '"'. Выясним, какова размерность этого подпространства. Для решения этого вопроса сопоставим каждому вектору еомз точку плоскости с координатами (а,(з) (рис. 20). Легко видеть, что все точки, лежащие на пря,е ег мой гз+ () — т, отвечают Ркс. 2О.
цзобрзжвккв базкскык вектоРам е~ и из поДпРовекторов е< з~ точками икоокооти страйства 8 . Число этиХ точек зависит от аначения параметра т, Если т р + т, то имеется только одна точка (р, т); если т =* д + ч — 1, то две точки (р, ч — 1) и (и - 1, ч), и т. д.' На прямой а+р (з — ч расположено (2р+1) точек. Этих сведений, как сейчас будет показано, достаточно для определения коэффициентов разложения произведения Ы„ХЯ>„ на неприводимые представления: ж„х йР, - Хй;М)р Последнее равенство оаначает, что пространство Е представимо в виде зг Ь-Х ХТР, ь з где Ц (й = 1, 2...
„й;) — подпРостРанства, пРеобРазУ- Ф ющиеся по представлению Юь Канонический базис подпространства ЬР состоит из (2г'+ 1) векторов е'ам (т О, И, ..., ~1), причем е ' си 8 . Отсюда выте- пз кает, что размерность подпространства Я равна числу 82 слагаемых с индексом 1>пз в разложении (17.3). Это позволяет сделать следующие выводы. В сумме (17.3) нет ни одного слагаемого с у > и+т и есть только одно сла- гаемое с 1= и+э. Мы видели, что, когда число тп уменьшается на еди- ницу, остававсь ббльшим (р — т — 1), размерность под- прос*ранства Б увеличивается на единицу.
Это означает, что число слагаемых в сумме (17.3), удовлетворяющих условию 1» лт, увелцчивается ровно на единицу при уменьшении на единицу числа тп. Другими словами, й =1, если пз~р+т и зибер — т. Итак, представление йР„ХЯ, содержит по одному разу все представления Ф (р — т~1( у+э). Сумма размерностей этих представ- лений »вз Х (2/+ 1), как легко убедиться, равна произведению (2р+1)Х Х(2з+1), т. е. размерности представления Я„ХЯ,. Это означает, что никакие другие представления не содержат- ся в Я>,ХЫ„. Таким образом, соотношение (17.2) до- дазано. Из доказанного соотношения вытекает, что разлолсение (17.3) пространства Е в сумму инвариантных надпро- странств в действительности имеет следуюи1ий вид; »+з 1(Я з=!»-и Индекс й опущен, так как каждому представлению .'6, (~р — т! =г'< р+т) в пространстве Ь соответствует только одно надпространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
