1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Может быть, все траектории, имеющие общие начало и конец, принадлежат одному классу? Оказывается, что это не так. На рис. 23, б показаны две траектории из разных классов. Как ни деформируй сплошную траекторию, изображенную на этом рисунке, она всегда будет со- р держать две диаметрально д \ с ! противоположные точки. Зададим следующий во- т в в прос. Сколько различных классов можно образовать из траекторий, оканчиваю- а б щихся в одной П той же точке б? Приведенный на Рве. 23.

Траектории е- в иа одрнс. 23, б пример показы ного класса (а) в ка разкых классов (6) вает, что таких классов имеется по крайней мере два: один класс (назовем его основным) содержит траектории, которые не .выходят на поверхность шара (штриховая траектория на рис.

23, б), другой класс содержит траектории, которые соединяют точку е с какой- либо точкой сферы 77, затем перескакивают на противоположную точку этой сферы и оттуда приходят к точке б; иными словами, зги траектории содержат по одной паре диаметрально противоположных точек. Может показаться, что траектории, оканчивающиеся в одной и той же точке, образуют бесконечное число классов, а именно, траектории, у которых имеется'(к — з) пар диаметрально противоположных точек, образуют класс с номером и (н 2, 3, ...).

Оказывается, что и это неверно! Рассмотрим для примера траекторию, имеющую две пары диаметрально противоположных точек: В и В', С и С' (рис. 24, а). Как это на первый взгляд ни странно, но эта траектория принадлежит тому же классу, что и штриховая траектория ОА, т. е. основному классу. На рис. 24 показаны этапы непрерывной деформации этой траектории, которая позволяет совместить ее со штриховой траекторией. На первых трех рисунках (а, б, в) показано, ко точки В и С постепенно сближаются, на рисунке з они сли-. лись в одну точку, соответственно сближаются н антиподы атих точек,,точки В' и С', что приводит к исчезновению дуги В'С' на рисунке в.

Далее, точка В покидает 7а 99 сферу П, втягиваясь внутрь шара П (рисунок д). Па рисунках д и е показана дальнейшая деформация сплошной траектории ОА, заканчивающаяся полным совмещением со штриховой траекторией ОА. Таким образом, все траектории, имеющие общий конец А, делятся всеео на два класса) В этом смысле еклассов вдвое больше, чем вращенийь. В' 8 д в Рис. 24. Непрврывяак.деформация траектории ОВВ'СС'А в траек- торвю ОА (штриховые) Очень легко указать по одному простому представителю каждого из двух классов. Пусть точка у есть вращение ай.

Рассмотрим совокупность всех положеяий тела, которое поворачивают вокруг неподвижной оси )г на угол а. Эти положения изображаются прямой еу (рис. 25). Положение, которое займет тело после завершения поворота на угол сг, обозначим а. В зто же положение можно перевести тело, поворачивая его в противоположном направлении па угол (2п — а). Последовательность положений, проходимых в процессе поворота, изобразится штриховыми линиями. Мы получили две траектории из разных классов — основного и дополнительного. Условимся обозначать основной класс траекторий е- у через у+, а дополнительный — через у .

Покажем теперь, как можно ввести действие умнозсения классов и тем сакььк превратить совокупность всех классов в группу, 100 В качестве первого шага введем понятие левого сдвига траектории. Пусть д — произвольный элемент группы вращений, а е — Ь, — некоторая траектория. Составим всевозможвые произведения элемента я ва элементы й, входящие в траекторию е- Ь,: яй (Ь~и е — Ь,). "Теперь можно сделать следующий шаг и определить произведение двух траекторий: (е- л) (е- й). Делается это так.

Заметим, что начало траектории я(е — Ь) совпадает с концом ,траектории е - л. Поэтому эти две траектории можно объединить в одну; е- я+у(е- й). Рнс. 25. Дзв траектории— представители основного н донозннтеньного классов Зта составная траектория и называется произведением траекторий е — л и е — Ь: е- Ьд (е- Ь) (е ° л). Оказывается, что класс ((е- й).(е- д)), которому принадлежит произведение траекторий е- Ь и е- л, ве изменится, если траекторию е- Ь замеквть любой другой траекторией из класса (е- Ы, а траекторию е- ив любой траекторией из класса (е- а), Это свойство позволяет перевести действие умножения с траекторией ва классы: произведение класса (е — Ы ка класс (е — й) определим как класс, содерзгащий произведение траекторийе- Ьие- йч (е- Ы (е — д) ((е — Ь) (е- и)).

Легко проверить, что совокупность всех классов тра- екторий после введении указанным образом группового 101 Совокупность всех таких произведений образует новую траекторию, которая начинается в точке л и заканчивается в точке лй,. Зта траектория и называется левым сдвигом траектории е- й„совершенным с помощью элемента у. Будем обозначать ее так: д(е - Ьв). действия становится группой. Эту группу принято называть накрывающей группой группы вращений. Мы будем обозначать ее символом В.

Накрывающая группа играет принципиальную роль в квантовой механике и в теории злементарных частиц. 5 22. Преобразования квантовомеханических полей при вращениях системы коордянат Квантовомеханическне поля ~(ги г„..., г„, Г), описывающие состояния и частиц (п-1, 2, ...), отличаются от классических полей тем, что они не могут быть измерены. Измерению поддаются только квадратичные образования из компонент этих полей вида ~;(г„гм ..

„г'„, 1) ~;(го гм .. „г„, Г), (22А) где ~» (4 ° 1, 2, ..., п) — компоненты поля ~, а черта обозначает операцию комплексного сопряжения. Заметим, что при умножении волновой функции на постоянное число е", модуль которого равен единице, ни одно из выражений (22.1) ие изменяется и, кроме того, полученная функция е"1 удовлетворяет тому же уравнению, что и функция (.

Это оаначает, что волновые функции определены в каждой системе координат лишь с точностью до множителя е", Точнее будет сказать, что данное состояние квантовомеханнческой системы описывается в каждой системе координат любой функцией из некоторого семейства ((), причем различные представители этого семейства отличаются друг от друга постоянным множителем, равным по модулю единице. При переходе иа одной системы координаФ К в другую систему К' семейство (У) переходит в некоторое другое семейство Ц'). Предположим, что, исследуя систему А уравнений, управляющую изменением во времени квантовомеханнческого поля ~, мы обнаружили операцию Т(К„К'): (Т(Кг~ К'.) 1(г» гг~ ° ° *.

гю Г))гп - '3 Тг ()г)Яв ггм й тгм 'й ггю Г)(ЬК' Кг)г (22.2) В 1 которую надо произвести над полем ), заданным в некоторой системе координат К„чтобы получить одну из волновых функций, опасывающих то же состояние в системе 102 К' Ь-'К,. Каждая такая операция определена с точностью до произвольного множителя. Возникает вопрос: можно ли подобрать эти множители так, чтобы соотношение Т(К', К")=Т(К„К )Т(К', К,) (22.3) выполнялось для любой тройки сястем координат К„К и К") В настоящее время установлено, что для многих квантовомеханических систем такой подбор невозможен. С другой стороны, современная теория считает, что указанные множители можно подобрать так, чтобы соотношения (22.3) были справедливы в ограниченной области, а именно, при условии, что углы поворотов, переводящих систему К, р-систему К' и систему К' в систему К", достаточно малы (скажем, меньше к/2).

Несмотря ва то, что вто предположение не вытекает ни из изотропни пространства, ни из вида уравнений квантовой физики, оно полностью подтверждается экспериментом во всех исследованных случаях. Поэтому в дальнейшем будем считать это предположение справедливым и пользоваться соотпошением (22.3) для всех вращений с достаточно малым углом поворота. Из соотношений (22.3) и изотропии пространства вытекает так же, как и в случае классических полей (З 49), что т(ь,ь,) = т(ь,) т(ь,); (22.4)' если углы поворотов у вращений Ь; и Ь, достаточно малы (меньше Ы2); при этом оператор Т(ь) определяется равенством т(ь) т(к. ь-'к.), а К, — фиксированная система координат. Мы уже видели, что выяснение структуры всех операторов Т(Ь), удовлетворяющих условию (22.4), является задачей актуальной с точки зрепия физики. Для решения атой задачи ааманчиво использовать понятия и аппарат теории групп. К сожалению, соотношения (22.4) недостаточно для этой цели, так как совокупность элементов Ь„Ь„для которых оно справедливо, не образует группы.

В следующем параграфе будет показано, как преодолевается эта трудность, $03 $ 23. Преобразования квантовомеханических полей иак представления накрывающей группы В Займемся анализом соотношения (22.4), помня, что оно получено не для всех вращений, а только для тех, которые проиэводят повороты на углы, меньшие я/2. Условимся обозначать совокупность всех таких вращений буквой Л.

Характеристики

Список файлов книги