1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В качестве первого шага отождествим вращения лш Л с элементами 4+ накрывающей группы. Множество элементов д+ (я~и Л) будем обоэначать тем же символом Л. Соотношение (22.4) можно переписать так: т(ь+) т(ь,') - т(ь',й,), Доопределим операторы Т на всю группу Л и покажем, что построенные операторы Т(и) (я шЛ) образуют представление накрывающей группы В: Т(а) Т(р) Т(а()) (а, () ш М). (23.1) Для атого проведем следующее естественное построение. Пусть а — произвольный элемент накрывающей группы.
Оя представляот собой класс траекторий (е- Ь). Выберем какую-нибудь траекторию (=е- й из этого класса. Отметим на этой траекторйв точки Ь„Ь„..., Ь. (Ь,-е, Ь =Ь). (23.2) Дугу траектории (, заключенную между точками Ь„и Ь,+~ (Ь 1, 2, ..., и — 1), обозначим череэ (ь Точки Ь,' расположим на траектории достаточно густо, чтобы каждая из дуг т, обладала следующим свойством: любая па'- ра точек (вращений) л', л" ш (, удовлетворяет условию (й') 'а" '-=л. .(23.3) Построим произведение Я Т(й,'Ь,,)Т(ь,'Ь )... Т(й„.'.,Ь„). (23,4) Оно обладает следующим свойством. Если одну нз дуг (, разбить на две части с помощью какой-либо точки Ь'ш т, и включить эту точку в набор (23.2), то произведение Я не изменится) В самом деле, эта операция сведется к тому, что в проиэведении (23.4) множитель Т(ьь'Ьь) заменится двумя сомножителями: Т(й„'й') Т(ь' 'й„+,). Однако по построению оба вращения Ьь'й' и й' Ьь+, 104 принадлежат Л.
Поэтому они подчиняются правилу (22.4), в силу которого Т (Ь Ь ) т (Ь -'Ь~,) = т (Ь„-'Ь Ь -'Ьз ы) = Т (Ь„-'Ь„„). Из доказанного следует, что произведение Я не иамеийтся при произвольном увеличении множества точек (23.2), если оно ведется путем добавления точек, лежащих на траектории у. Теперь легко показать, что произведение 8', соответствующее другому возможному выбору точек: Ь'„Ь'„..., Ь,„(Ь,,'= е, Ь„* Ь), (23.5) не отличается от 8.
В самом деле, если рассмотреть разбиевие траектории с помощью объединения совокупностей точек (23.2) и (23.5), то в соответствии с утверждением, докауанным выше, соответствующее этому но- "7 вому разбиению произведение Я, будет Р совпадать и с 8, и с Я'. Это и означает, что Я 8'. Итак, при выполнении условия (23.3) произведение Я однозначно опреде- Рвс. 26. Малая ляется траекторией: деформацая 8(у). траектории Осуществим теперь деформацию траектории.
Если эта деформация достаточно мала (рис..26), то на обеих траекториях можно взять один и тот же набор точек (23.2). Это означает, что 8(т)-3(т') (233) С помощью сколь угодно малых деформаций можно перейти от траектории ( е- Ь к любой другой траектории иэ того же класса. Поэтому равенство (23.6) означает, что произведение Б зависит только от класса траекторий, т. е. от элемента и накрывающей группы В, отождествляемого с этим классом. Покажем, что определенная таким образом операция Я(сг) (аеиЯ) совпадает с операцией Т(у') на всех элементах се — у+ ж Л.
Для этого рассмотрим траекторию е - у, состоящую из поворотов С,(Лр) (О<Ь<Ц, где Са (у) — у. В качестве совокупности точек (23.2) можно взять две точки: Ь, е и Ь, у. Соответствующее произведение Я будет равно Т(у). Таким образом, для зоб всех элементов я+ ю Л справедливо соотношение З(д ) = Т(л') (л'ы Л). Это позволяет доопределить операторы Т ва всго накрывающую группу В, положив Т(а) = 8(а) (а <а Д), Осталось доказать, что определенные таким образом операции Т(а) удовлетворяют соотношениям (23.1).
Это делается так. Рассмотрим два произвольных элемента накрывающей группы: а в~Ь, р* е- я. Произведению элементов ар соответствует класс, содержащий траекторию (е- Ь)+Ь(е- у). Пусть я' н д" — две .какие-либо точки, лежащие на траектории е - л н обладающие свойством (я') 'д" ю Л. Тогда соответствующие точки Ье н Ьд лежат на траектории Ь(е- д) и обладают аналогичным свойством (Ья')-'(Ья" ) (я')-'Ь-'Ьд" (я')-'дп' ы Ь. (23.7) Поэтому, если точки «и я„..., я осуществляют требуемое разбиение траектории е - я, то точки Ьдэ Ьд„ ..., ЬЯ.
дают нам требуемое разбиение траектории Ь(е — я)', а набор точек Ь„ Ь„ : , Ь„ Ьйэ Ьдм ..., Ья„ — это требуемое разбиение траектории (е- Ь)+Ь(в- л). Поэтому Т (аЩ Т (Ь„'Ьз)... Т (Ь„,Ь„) Т (д„'дз)... Т (д„',д„,) Т(а) Т(р) (мы учли тождество (23.7) ), Итак, построенные операторы Т(а) дают представление еруппы В( Благодаря этому анализ структуры всех возможных операторов Т(Ь) (Ь ыВ) можно произвести, пользуясь методами теории ерупп. В качестве первого шага следует найти все неприводимые представления накрывающей группы В, $ 24. Неприводимые представлении накрывающей группы Прежде всего заметны, что каждое неприводнмое представление группы вращений В, т(д)-ж,(Е, р, И (7-Э, 1,2,...'), !Оэ: можно рассматривать как неприводимое представление накрывающей группы Л, если положить т(а') - т(й-) - т(й) (а ж))) (у+ и я — основной и дополнительный классы траекторий,е- у).
Однако группа Я имеет и другие неприводимые представления. Ови также обозначаются символами Ыь но вес / пробегает полуцелые значения: / 1/2, Б/2, 5/2, ... Таким образом, зсе представления накрывающей группы характеризуются только одним индексом — весом /. Вес ,может прннвмать любые целые и полуцелые значения.
Размерность и представления с весом Я) равна п = 2) + 1. Это значит, что накрывающая группа Л имеет по одному неприводнмому предстазленюо каждой размерности. Канонический базис в пространстве, преобразующемся по представлению Ы>а записывается так: ) (т- — /,-!+1в ...,!-1,Л. Следовательно, индекс т пробегает либо только целые, либо только полуцелые значения. Если я — поворот С,(ф) ( — и < ф ~ +я)', то имеем я))(2+)в) е ' ее) (т — /, ...,/), Если я = С(8, ф, )!)), то Жвт(К+) = е "' +" 'Рь„,) (О) (/о, т- — /~ " ) /)в где Рве,,(0)- ( — 1)' ") "*2 )((/ — /о))(у+й))(у — т)!(/+т)!1'/'х н+в в-н )-паапа,я~) Ь-~/ х(1 — р) (1+ р) .
+,)! +,!)( (24.1) где р сов О; / О, 1/2, 1, 3/2, ...; /в, т Цриведем явный вид матрицы ЖцЩ ф, )Г): -,)е.)с) -')е-в) вв сов О/2 )ов в)в О/2 .й)„,(в, ф,®- -)е-Ф) —,,)т+е) . )е' ав О/2 в в сов О/2 во? Матрицы Ж,(д ) элементов л дополнительного класса определяются так: Я,(у-) =( — 1) ьЫ,(К'). Впрочем, для наших целей этн матрицы не нужны. Произведение двух представлений с весами /, и )т распадается на сумму представлений следующим образом: Жз Х Я;, Я(т,;й+ Я)р,;;1+т+ ... + Я)/,+~,. (24.2) Это соотношение формально совпадает с соотношением (17.2). Существенное отличие состоит в том, что речь.
идет о представлениях группы В, а не Н, и что веса у, и )т могут принимать как целые, так и полуцелые значения. в 25. Классификация квантовомеханических полей Мы уже видели, что при вращении й системы координат К (К = Ь-'К,) всякое кваятовомеханнческое поле, рассматриваемое в фиксированной точке пространства, преобразуется по некоторому представлению Т(Ь) накрывающей группы Л. Это позволяет перенести классификацию представлений группы Л на квантовомеханическне поля.
Если такое поле преобразуется по одному из веприводимых представлений Я> (/=О, 1/2, 1, 3/2, ...), то будем называть его спинорным полем веса*) у. Будем говорить, что физический объект, описываемый этим полем, имеет спин, равный /. Если квантовомехавическое поле преобразуется по я-й степени представления Жыт, т. е.
по представлению (.'Йпе)" (п О, 1, 2, ...), то будем называть его спинорным полем ранга.п, а значении этого поля в каждой фиксированной точке — спинором ранга и. Спиноры четных рангов выражаются через скаляры, векторы и тензоры: й!~!,й Х ®„т =.'21О+-'2~1, (Бом)' (Я, + Я,)- '= 2Ы. + ЗЫ, + Яе 'и т.
д. Перейдем от преобразований поля, рассматриваемого в.фикснрованной точке пространства, к преобразованию поля, рассматриваемого ео всем пространстве. Для этого достаточно учесть, что вектор г в системе К имеет те же ") Термин ие является общеупотребительным. 10В координаты, что и вектор Ь 'г в системе К,. Иными сло- вами, если г — радиус-вектор точки М (где расположены приборы, измеряющие поле), то для вычисления коорди- нат атой точки в системе К достаточно вычислить коор- динаты точки вектора Ь-'г в исходной системе К,.
Поэто- му квантовомеханическое поле ~„которое в каждой фик- сированной точке М преобразуется по представлению 6 накрывающей группы: Ъ|(М, г) = р(Ь)ДМ, г), рассматриваемое целиком, т. е. как функция от коорди- нат, преобраауется по формуле Ц(г, г) = р(Ъ)~(я 'г, г). (25.1) Эта формула имеет тот же вид, что и формула '(19.6).
От- личие состонт в том, что теперь Ь вЂ” элемент накрываю- щей группы А, а 6 — представление этой группы. Исходя из соотношения (25.1) в предположении, что () * Я„ (т О, 1/2, 1, . ), можно показать, что ни один набор вектор-функций Ц) не преобразуется по представлению Яь если разность 1 — т не является целым числом. Если 1 — т — целое число, то вектор-функции ~""' () =О, 1/2, 1, ...; т — ), ..., 1) можно найти по формулам (16.8), ' в которых суммирование по сс следует вести по значени- ям а — д, — р,+1, ..., и (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
