1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 23
Текст из файла (страница 23)
е. функция а,~(~ является собственной функцией оператора Гамильтона с тем же уровнем энергии Е.:Благодари етому свойству в пространстве ($в„) собственных функций, отвечающих уровню энергии Е, можно построить базис, состоящий иэ собственных функций оператора а,. Пусть это будут функции Ф Ф1 °,1г (т — размерность подпространства ($в„О Соответствую- 126 щие собственные числа обозначим <)) (з) <т) а, , а) ..
. а, (34.1) Если все зтн числа различны, то значение энергии Е„ вместе с результатом измерения числа а, определяет волновую функцию )г. Значения Е„и а называются квантовыми вислами. Их роль — определять волновую функцию квантовой системы с точностью до множителя, равного по модулю единице. В более сложных случаях, когда среди чисел (34.1) имеются одинаковые, для определения функции )Ь недостаточно указать пару квантовых чисел Е„н а — требуется намерить еще одну величину, назовем ее Ь, обладающую следующими свойствами.
Оператор Ь коммутирует с оператором Гамильтона и оператором а: ЬЙ ЙЬ, 5а аЬ. Для характеристики волновой функции в этом случае необходимо задание трех квантовых чисел: Е„, а„ и Ью Этот процесс продолжают до тех пор, пока каждому набору квантовых чисел Е., а, Ью ..., Ь, не будет соответствовать одномерное подпространство волновых функций. Соответствующую волновую функцию )р (определенную с точностью до постоянного множителя) обоаначают символом Ерквв,„~р...аи используя в качестве индексов набор квантовых чисел Е„,а, Ь„...,Ь,.
Набор величин Е, а, Ь, ..., Ь называют полным набором гбиеических величин, а полученный в результате этих измерений набор значений Е„, а, Ью ..., Ь, — полнъхм набором квантовых чисел. Основное свойство полного набора квантовых чнсел состоит в том, что он одноаначно определяет волновую функцию системы (если не считать проиавольного постоянного множителя, равного по модулю единице) . Заметим, что выбор полного набора физических величин неоднозначен — у одной и той же квантовой системы существует много рааличных полных наборов физических величии.
Ниже будет показано, как соображения, связанные с симметрией системы, помогают находить полные наборы физических величии, 127 б йб. Теория возмущений Как изменятся свойства атома водорода, если поместить его в слабое, магнитное или электричаское поле? Как отличаются свойства молекулы тяжелой воды от свойств молекулы обычной воды? Эти и подобные вопросы рассматривает теория возмущений.
В общем виде задачи, решаемые теорией возмущений, можно сформулировать так. Имеются две квантовые системы — возмущенная и невозмущенная, операторы Гамильтона которых Н и Н. мало отличаются друг от.друга. Скажем "Н-Й,+зй', где е — малый параметр, а Н' — оператор, не зависящий от е. В приведенном примере с атомом водорода значение параметра е пропорционально напряженности приложен- ного электрического или магнитного поля. Наличие малого параметра е дает возможность сравнительно просто изу- чить различия в поведении возмущенной и невозмущен- ной систем и получить ряд важных выводов, объясняю- щих результаты широкого круга экспериментов.
Начнем с выводов.'Пусть Е =Е(е) — какой-либо энер- гетический уровень 'возмущенной системы. Устремим па- раметр е к нулю, т. е. будем уменьшать возмущающее воздействие, пока оно не исчезнет вовсе. Уровень Е(в) при этом, естественно, будет стремиться к одному из уров- ней Е~ невозмущенной системы: Е (е) -ь Е," (е -ь 0). Может случиться, что не один, а несколько уровней, Е;(е), Е,(е), ..., Е,(е), возмущенной системы стремятся к одному и тому же уровню Е~ невозмущенной системы.
Оказывается, что зто возможно только в тех случаях, когда уровень Е> 9 вырожден. Более того, имеет место простое правило: сум- ма кратностей вырождения т, уровней Е,(е) (й 1, 2, ... ..., з) Равна кРатности выРождениЯ ЗУ, УРовнЯ Ез: т,+т,+...+т,= Еь Это правило можно выразить и так: в результате возму- щения уровень Ез~ расщепился на несколько близких уровней, число этих уровней равно кратности вырожде- ния уровня Ев, если каждый уровень возмущенной си- 126 стелы считать столько раг, какова его кратность.
Это явление — расщепление уровней — было обнаружено экспериментально еще до появления квантовой механики (см. $ 43). Обратимся теперь к волновым функциям возмущенной и невозмущенной систем. Пусть оро о — волновая функция, соответствующая энергии Е„(е). Когда параметр е стремится к нулю, функции оро, стремится к некотордй предельной функции, обоаначим ее через ор,,: ого, ° оро, о. Окавывается, что функция ого, о совпадает с одной из вол- новых функций, описывающих стационарное состояние невозмущенной системы с энергией Е,'. Если уровень Е,' вырожден, то возникает довольно своеобразная ситуация: далеко не всякая волновая функ- ция ор', соответствующая уровню Еь является предель- ной для функций обо . Иными словами, стационарные со- стояния невозмущениой системы, соответствующие энер- гетическому уровню Еь делятся на два класса: одни иэ них являются предельными для волновых функций воз- мущенной системы, другие — неоявляются.
Поясниьг это на примере двукратно вырожденного уровня Еь Пусть ~Р', н «Я вЂ” базис в подпространстве волновых функций, соответствующих этому уровню. Пусть Е,(е) н Е,(е) — два невырожденных уровня, на коо горне расщепился уровень Е;, . а орь, и ф,,— соответ- ствующие волновые функции, Пределы этих функций орь, и оро о являются волновыми функциями невозмущенной системы с энергией Ео. Поэтому их можно записать в виде о' о о о ор,о а„ф, + агоор„оро о аого(ь + иоооро, где сои, а„, сг,о аоо — некоторые фиксированные числа, зависящие только от вида возмущения еН'.
Любая другая сУмма (вида сггоРо + соооуоУ не имеет ничего общего с возо о1 мущеннымн волновыми функциями $ь, и оро .. Таким образом, возмущение зН' выделяет среди всех волновых функций, отвечающих энергии Е;г две функ- ции ф, о и оро. о. Если уровень Е'; кггкратно вырожден, то возмуще-- ние выделяет не две, а кг, функций фол (й = 1, 2...,. т;), о г.
я. лвборснва г29 кая(>(ая из которых является пределом некоторой волно- вой функции >(>~е,е возмущенной системы при в - О.. Функции >(>ме О фиксировано) обраауют базис в подов пространстве всех волновых функций, отвечающих состоя- ниям невозмущепной системы с энергией Е,'.. Состояния возмущенной системы, описываемые пре- дельными волновыми функциями >()е,е, не являются ста- О) ционарными.
Поэтому, если в некоторый момент г Ц волновая функция ))> возмущенной системы совпадает с одной иэ функций фе,е, то спустя некоторое время со- О> стояние системы изменятся. Если в некоторый более поздний момент времени г,)ее произвести намерение с целью определить, в каком иэ предельных состояний на- ходится возмущенная система, то реаультат такого изме- рения, разумеется, будет случайным. Теория возмуще- ний позволяет приближенно вычислить вероятности раз-.
личных исходов такого измерения, или, как говорят, ве- роятности переходов фе.е 'фюе. О) О) Приведем приближенную формулу для вероятности и> такого перехода в предположении, что воамущенный оператор Й' не зависит от времени, а промсжуток Г, — Ге достаточно велик: - — „' „И а, а'а)) 0Ф)),. (35.Ц Если у . (, то соответствующая формула имеет более сложный вяд мы не будем здесь ее приводить, . Скалярное произведение ПО,» У> т).„т(п ) (35.2) назызается матричным элементом оператора возмущения, связывающим состояния >(>е.е к >ре,е.
О> (П Соотно>пенне (35Л) показывает, что если матричный ее(И) элемент ™е,'р равен нулю, то и вероятность перехода О) О) >(>е;~->р„,е равна нулю (по крайней мере в рассматривае- мом приближении). В атом случае говорят, что переход гв (с >ра,е -е-)(>ю» запрещен (опять-таки в рассматриваемом при- ближении). Правила, позволя>ощие находить запрещен- ные переходы, называются правилами запрета. Теория возмущений дает также приближенную фор- мулу для вычисления расщепленных уровней: Еео (э) Е~е + в (>(>е,'е> П'>Ре',е) (35 3) ~ао '(функции ~рмз в равенствах (35.1) — (35.3) предполага- 0) ются нормированвымн: их норма равна единице).
Формула (35.3) еще раз подтверждает фундаментальную роль понятия «скалярное произведение» в квантовой механике. Из нее следует, что основной задачей при пользовании теорией возмущенна является отыскание квааистационарных состояний ф4",, воамущенной системы. В дальнейшем мы увидим, как теория групп облегчает отыскание'этих состояний н как с ее помощью мощно найти переходы, которые запрещены.' 3 36. Невзаимодействующие квантовые системы Представим себе квантовую систему 9, состоящую нз двух не взаимодействующих друг с другом квантовых систем ф и чм На первый взгляд такая ситуация пе требует изучения — каждая система будет развиваться по своим квантовым законам в соответствии со своим обобщенным уравнением Шредингера.
В действительности же это верно лишь отчасти. Мы остановимся на двух ситуациях, при которых полезно вводить в рассмотрение квантовую систему ()„состоящую из двух невзаимодействующих систем. Первая ситуация — столкновение двух частиц. До и после столкновения частицы не взаимодействуют друг с другом; во время столкновения они образуют единую квантовую систему.
Волновая функция этой системы ((го г, г) удовлетворяет обобщенному уравнению Шредингера: где Н, и Н, — операторы Гамильтона' невзаимодействующих подсистем ~?, и Д„а Й вЂ” оператор, описывающий их взаимодействие. Возникает вопрос: если нам известны волновые функции ~, и ~„описывающие состояния систем Ч, и Д, до момента столкновения (1(Г,), то как вырааить через них волновую функцию всей системы до столкновенняг Вторая ситуация — взаимодействие двух. подсистем 9, и Д, с малой енергией ваанмодействня. При исследовании этой ситуации полезно рассматривать энергию взаимодействия подсистем 9, и ~,'), нак малое возмущение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
