1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Роль не- возмущенной системы играет Д,, т. е. совокупность ие взаимодействующих друг с другом подсистем ~',), и ф, за 131 И в втой ситуации в качестве первого шага исследования необходимо определить волновую функцию квантовой системы ),)., зная волновые функции у, и (ю описывающие состояния систем )',), и )',),. Связь между волновой функцией 1(го г„г) системы ч и волновыми фУнкциЯми (,(гэ Г) н 1,(г„Ф) подсистем ~), и Ч, подчиняется следующим правилам.

П е р в о е п р а в и л о: число компонент т волновой функции ) (г„гя с) системы Д равно произведению чисел компонент т,т, волновых функций 1, и 7';. т тт,. (36,1) Соотношение (36.1) покааывает, что компоненты волновой функции системы Д удобно помечать двойным индексом (а, р): (а 1,2,...,т,;() 1,2,...,тс): Общее число различных индексов равно, очевидно, т,т„ т.

е. совпадает с чиспом компонент волновой функции системы 9. Такая нумерация позволяет просто сформулировать второе правнло: если не взаимодействующие в данный момент системы ~), и )',), различны* ) и никогда ранее не взаимодействовали друг с другом, то компоненты Тю э' волновой функции у системы );) равны ()а,а) (г г )) ()а)(г )) 1(В)(г )) т. е. равны произведению соответствующих компонент подсистем ч, н Ь. С точки зрения теории групп эта формула обладает одним замечательным свойством.

Она связывает представления Т„Т, и Т, по которым преобравуются компоненты волновых функций при повороте системы координат, а именно (см. $17), Т=Т,ХТ,. Мы видим, что связь между этими тремя представленнями не зависит от физической природы подсистем 9, н Д,— она универсальна. Ниже мы выясним, к каким физическим следствиям приводит это обстоятельство, с) Если системы одинаковы (яапрамер, каждая ив вил— электрон), то соответствующее правило формулвруотся значительно сложнее, Здесь мы ие будем иа этом останавливаться, 132 Глава 7 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА Одной из фундаментальных задач квантовой механики явля.

ется выявление тех операторов, которые соответствуют различного рода физическим величинам. Оказывается, что не все физичесняе величины играют одинаковую роль при исследовании конкретной квантовой системы — основная роль принадлежит сохраняющимся велячянам. Именно из нял проще всего построить полный набор величин н соответственно полный набор квантовых чисел. С другой стороны, сам факт существования сохраняющихся величин является следствием симметрии системы. Поэтому отыснание сохраняющихся величин в соответствующих им операторов является естественной задачей теории групп.

Одновременно она связывает квантовые числа с неприводимыми представлениями группы симметрии (и ее подгрупп) и в ряде случаев автоматически решает задачу о возможных значениях квантовых чисел. В компетенции теории групп оказывается также ряд вопросов о связи волновых функций и назаровых чисел двух невэаимодействующих подсистем О~ и Оэ с волновой функцией и квантовыми числами объединенной системы О = О, + Оз (правила сложения квантовых чисел). Решение этих вопросов находит применение прн исследовании столкновений элементарных частиц, вычислении вероятностей переходов из одного квазистационарного состояния квантовой системы в другое и в ряде других случаев. В настоящей главе показывается, как теория групп решает перечясленные специфические вадачи квантовой механики, Все примеры, иллюстрирующие общие, методы, относятся к случаю, когда группой симметрии квантовой системы является группа вращений В нля ее накрывающая группа Й Этот случай ямеет большое практическое значение с точки зрения квантовой физики.

3 37. Законы сохранения и квантовой механике Всем известно, что существует закон сохранения энергии: если какая-либо физическая система не взаимодействует с посторонними (т. е. нв входящими в систему) материальными объектами, то ве энергия сохраняется. Существует также закон сохранения импульса системы н ее момента (так называют момент количества движения). Эти законы легко формулируются н рамках классической механики.

Так, например, если сумма всех сил, действующих на систему материальных точек, имеет равную нулю проекцию на некоторую ось 1, то проекция импульса на зту ось не измвнявтся с течением времени. 133 Оказывается, однако, что законы сохранения энергии, гмпульса и момента справедливы не только в механике, по и в электродинамнке, если должным образом определнть, что такое энергия„импульс и момент электромагнитного поля. При этом, разумеется, условия, прн которых сохраняется импульс, уже нельзя формулировать как равенство нулю суммы проекций действующих сил.

Подобным же образом нельзя пользоваться и известной из механики формулировкой условий сохранения проекций момента. Постепенно, по мере расширения области физических явлений, на которые распространяются перечисленные законы сохранения, выкристаллизовалась следующая едннообравная формулировка этих законов: проекция импульса системы на ось 1 сохраняется, если прв мысленном параллельном переносе всей системы вдоль осн внешние условия (в механике — расстояния до окружающих тел), в которых находится система, не изменяются. Подобным же образом: проекция момента на ось ( сохраняется, если внешние условия не изменяются прп мысленном повороте всей системы (как жесткого целого) вокруг оси й Условия справедливости закона сохранения энергии можно сформулировать в этом же духе: внешние условия не изменяются при «сдвиге» по времени (попроСту говоря, они не меняются с течением времени).

Мы видим, что во всех трех случаях условием справедливости закона сохранения является та или иная симметрия внешних условий (относительно сдвига по координате или времени, илн поворота вокруг одной нли нескольких осей). С другой стороны, так как симметрия внешних условий обязательно означает симметрию условий задачи о движении изучаемой системы, т. е.

как раз то, чем мы аанимаемся, то естественно ожидать, что н законы сохранения найдут свое место в нашей схеме. Чуть ниже мы займемся ахим вопросом. По мере расширения области действия указанных законов сохранения необходимо было расширять сами понятия энергии, импульса и момента сначала на электромагнитное поле, а затем на квантовомеханнческие поля. При этом возник вопрос, какое определение энергии, импульса и момента — правильное, в какое — нет. Очевидный ответ на этот вопрос: «иравильно то определение, для которого справедлив соответствующий закон сохраненняз может показаться многим неудовлетворительным, потому чте такой ответ действительно ие отИ4 личается от следующего определения: энергия (импульс, момент) — это то, что сохраняется, когда имеет место аакон сохранения энергии (импульса, момента).

Между тем именно такие определения являются наилучшими. Они, безусловно, неошибочиы и в то же время не представляют собой тавтологии. Эти определения опираются на утврждения типа: если внешние условия, в которых находится система, не изменяются с течением времени (при параллельном переносе системы, при повороте вокруг некоторой оси), то существует сохраняющаяся величина, которую назовем анергней (проекцнй импульса, проекцией момента). Как именно эта величина связанд с характеристиками состояния системы — ато самостоятельный вопрос, который в каждом конкретном случае требует отдельного исследования.

Изложенное наводит на мысль, что любая симметрия задачи' об эволюции состояния физической системы порождает некоторый закон сохранения. И, наоборот, всякий закон сохранения свидетельствует о наличии некоторой группы симметрии у задачи об эволюции системы." Обратимся к квантовой механике.

Что означает на языке квантовой механики утверждение: «имеет место закон сохранения физической величины а (энергии, импульса и т. п.э? Оно означает следующее; если соствянис квантовой систсмы в некоторый момент времени таково, что величина а имеет в атом состоянии совершенно определенное значение, скал«ем, а а„, то сохранение величины а означает, что система всегда будет находиться только в твх состояниях, в которых значение величины а равно, тому зев числу а„. Сложнее обстоит дело, когда величина а не имеет определенного значения в исходном состоянии системы.

В этом случае сохранение величины а означает, что с течением врвмсни нс изменяется вероятность р (пг 1, 2, ...) получить при измсрении а рсзультат а„. Легко видеть, чте определяемое равенством а- Хр,.ая среднее значение сохраняющейся величины а также сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Какие же величины сохраняготся? Пожалуй, ни в одной области физики связь между симметрией и законами сохранения не является таков непосредственной и прямолинейной, как в квантовой механике. В самом деле, ответ $35 на поставленный вопрос звучит так: если оператор а, отвечающий физической величине а, является операцией сим етрии для уравнения Шредингера а —, — зр =)узы, т.

е. переводит всякое решение этого уравнения опять-таки в решение этого же уравнения, то величина а сохраняется! Доказательство этого утверждения — удивительно простое. Пусть, например, в момент г 8, волновая функция системы ф(г„ гн ..ч г, г) является собственной функцией оператора а: аф(г„.. ч г„, г,) = а„зр(ги ..., г„, г,). (37 1) Рассмотрим функцию ~р(г„..., г., г) азр(ги ..., г., Г).

Характеристики

Список файлов книги