1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Поскольку мы предположили, что а — это операция симметрии уравнения Шредингера, то по определению функция ~р а~р удовлетворяет этому же уравнению. Таким образом, два решения уравнения Шредингера (щ и а„ц) согласно равенству (37.1) совпадают в момент г г,. Они будут совпадать и во все последующие моменты времени (теорема единственности(). Это доказывает первое иэ двух свойств, присущих по определению сохраняющейся физической величине. Столь же просто проверяется и второе свойство.
Пусть в момент времени 1 =1, волновая функция зр(гн ..., г„, Ц разложена по нормированным собственным функциям щ оператора а: 'ф(зп ° 1 ге> Г,) = Хсщ(рщ(г„г„..., гч). (37,2) т Обозначим через ~Р (г„..., г„, 1) волновую функцию (т. е. решение уравнения Шредингера), которая в момент Г, совпадала с функцией ач,(го ..., г.). По только 'что доказанному свойству оператора а она всегда будет оставаться его собственной функцией. Кроме того, ее норма 14 1 всегда будет равна единице. По теореме единственности 'равенство (37.2) означает, что для всех моментов времени Г> Г, будет выполняться соотношение зть(гм ., з гю Г) = л1дстз(т'(гп ..
~ гч1 Г). Это равенство показывает, кдк мы уже знаем, что изме- 136 рение величины а в любой момент времени даст с вероятностью ~с Р результат а =а . Мы видим, что зта вероятность действительно не зависит от времени. Г сть очень простой практический метод выяснить, сохраняется ли величина а в данных условиях, т. е. при данном операторе Гамильтона Й.' Нужно только проверить, выполняются ли операторные равенства д д аН На и — а а —, (37.3) или, как говорят, коммутирует ли оператор а с оператором Гамильтона и операцией дифференцирования по времени. В случае положительного ответа можно смело утверждать, что оператор а является операцией симметрии для уравнения Шредингера и, следовательно, величина а сохраняется. Проверим зто утверждение.
Пусть ф — волновая функция; — — -Яр. 1 дф $ дг Подействуем на обе части этого тождества оператором ал 1-зр — а — аНф дз Согласно условиям (37.3) зто равенство можно переписать так: з—. — аф Наф в дз Следовательно, функция аф удовлетворяет тому же уравнению Шредингера. В тех случаях, когда симметрия задачи вытекает, как может показаться, из очевидных геометрических соображений, ' условия (37.3) позволяют впроверить алгеброй гармониюз.
Однако случается, что уравнение Шредингера имеет совершенно неожиданные злементы симнетрии, не вытекающке, скажем, из изотропии пространства. В этих случаях, имеющих, кстати, немаловажное значение, приведенный формальный прием поисков злементов симметрии очень еффективен. 3 38, Оператор проекцин импульса В предыдущем параграфе было показано, что каждо- му злементу группы симметрии соответствует сохраняю- щаяся величйпа. В связи с зтим возникают два вопроса.
137 Возьмем, например, случай, когда группа симметрии задачи — ото группа вращений. Ояа содержит бесконечное множество злемеятов. Нужно лн столько сохраняющкхся велячяяр Нельзя ли выделить две-три сохраняющиеся величины так, чтобы утвержденве о сохранении остальных величии не содержало дополшпельной полезной инфорыацииг На этот вопрос удастся ответить утвердительно. Второй вопрос состоит в следующем. Каждому елементу симметрии у соответствует конкретный оператор у— тот самый, который, действуя на волновые функции, превращает их в другие волновые функции (т. е.
решения того же уравнения Шредингера). Таким образом, для каждого элемента симметрии у можно выписать конкретный оператор у. Спрашивается, какой физической величине а соответствует этот оператор3 Оба эти вопроса тесно связаны друг с другом, В этом параграфе мы займемся ими применительно к группе сдвигов вдоль оси ОХ. Рассмотрим две системы координат К и К, с параллельными осями.
Пусть начало' О, системы К, находится на оси ОХ системы К, а ее абсцисса равна Ь; Предположим, что одно и то же поле описывается в системе К функцией у(х, у, г), а в системе К, — функцией ~, (х, у, г), Между этими функциями есть простая связь ~,(х, у, г) 1(х+Ь, у, г), так как точка с абсциссой х в системе К, имеет абсциссу х + Ь в системе К.
Следовательно, операция Ь перехода от системы К к системе К„ примененная к функции Дх, у, г), записывается так: Ь|(х, у, г) ~(х+Ь, у, г). Аналогично, если функция ~ зависит от координат и точек, то Ь|(хо уо го ..., х„, у„, г„) ~(х,+Ь, у„г„..., х +д, у., г„)'. (38Л) Предположим, что все операции сдвига вдоль оси ОХ являются операциями симметрии. Иными словами, оператор Гамильтона совершенно одинаково записывается в системах К и К„каков бы ни был сдвиг Ь.
В зтих условиях. операция сдвига, заданная формулой (38Л), является операцией симметрии и, следовательно, соответствует некоторой сохраняющейся величине, гзв Мы хотим выяснить, можно ли вместо бесконечного множества операций Ь (- о( Ь( ) ввести всего одну, и если можно, то какой физической величине будет соответствовать эта операция. Легко видеть, что не все законы сохранения, связанные со сдвигами вдоль оси ОХ, являются независимыми. Действительно, операция сдвига на некоторое расстояние Ь есть Ф-я степень операции сдвига на расстояние, в У раз меньшее (напомним, что проиаведение двух операций — это результат последовательного выполнения операций-сомножителей).
Поэтому все ааконы сохранения, связанные со сдвигами вдоль оси ОХ, являются следствиями законов сохранения, соответствующих сколь угодно малым сдвигам. Сделаем еще один шаг н перейдем к пределу 6- О. Разумеется, мы получим 11шЬ Й ь о Тождественное преобрааование Е уже не содержит никакой информации о группе сдвигов — как говорится, с водой мы выплеснули н ребенка! Поступим хитрее и рассмотрим такой предел: 7- 11ш— "ь — я (38,2) Оператор — (Ь вЂ” Е) представляет собой операцию сима метрни.
Поэтому и предельный оператор 1 является оператором симметрии. Выясним, как действует оператор 7 на функции ~(х» у» го ..., х„, р, г ). Последовательно получаем о 1(хг у» гь ° ° хю уо~ во) 1 1(ш — „(6| (х» у» г» ..., х„, у„, г„) ьо ь 1(х» у» гы ° ° о гю уо, го)) 1 Пш — (1 (хг +Ь, У» г»..., хо + Ъ, У„, г„)— ьоь ~(хо р» го ° ° ° хо~ уо~ го)) Н вЂ” ~(хд + Ь, р» г» ..., х„+ Ь, уо, г„) ~ь ! д д д ~ г Итак, оператор 1 равен сумме производных; (38.3) Отметим принципиальное различие между операторами Ь и Х Согласно формуле (38Л) оператор Ь действует на функцию 1)х„ро з„..., х„, р., х„) как произведение операторов Ь,Ь,... Ь„, где Ь,— оператор сдвига радиус- вектора г„оставляющий неизменнымн все остальные радиус-векторы; аналогично определяются и остальные операторы Ьь Оператор 1 действует на ту же функцию как сумма соответствующих операторов. Это отчетливо видно при взгляде на формулу (38.3) ...
Каким физическим величинам соответствуют операторы Ь в оператор 1? Основное свойство всех этих операторов состоит в том, что изображаемые ими величины сохраняются, если сдвиг вдоль оси ОХ не изменяет внешних условий, в которых находится квантовая система. С другой стороны, при этих условиях сохраняется проекция на ось ОХ импульса р., а значит, сохраняется и любая функция Р(р.) проекции р„.
Нам нужно выяснить, «кто есть кто?». Какой из рассматрнваемых операторов совпадает с проекцией импульса или отличается от нее только коэффициентом пропорциональности, а какой — изображает более сложную функцию от р.? При ответе на этот вопрос решающим является известное свойство аддитивности импульса: импульс системы, состоящей из двух подсистем, равен сумме импульсов каждой из этих подсистем. Это означает, что и оператор, соответствующвй проекции импульса сложной системы, должен обладать свойством аддитивности.
Соотношения (38.1) и (38.3) показывают, что оператор Е этим свойством обладает, а операторы Ь вЂ” нет. Поэтому оператор проекции импульса только множителем отличается от оператора 1: $ Ре — У~ (38.4) Мы не будем останавливаться на вопросе, почему коэффнциент пропорциональности выражается через постоянную Планка. Подводя итоги, можно сказать, что соображения симметрии позволили найти сохраняющиеся величины, по- 140 строить с их помощью аддитиеную сохраняющуюся величину и с точностью до мнолсителя отолсдествить ее с проекцией импульса системы, Получено о'бщее, еыралсение (38.2) для оператора 1 и тем самым общее выралсение (38.4) для оператора проекции импульса. В следующем параграфе мы увидим, что соображения симметрии предоставляют те же (и даже большие) возможности при исследовании квантовых систем с группой вращений в качестве группы симметрии.
й 39. Операторы проекций момента и квадрата момента Обратимся к квантовым системам, группа симметрии которых содержит группу вращений. Каждому вращению у соответствует некоторая сохраняющаяся величина. Ооответствующий оператор у описывается тем преобрааованием, которое испытывает волновая функция при переходе от исходной системы координат К к системе б 'К. По аналогии с оператором Р, введенным в предыдущем параграфе, введем с помощью операции предельного перехода три оператора, положив Св (а) — Е В 7; - ' - Г С)(.)!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
