1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Если влияние магнитного поля гораздо меньше, чем влияние спин-орбитальной связи и релятивистских эффектов, то указанные уровни располагаются следующим образом: 21 уровней группируются возле уровня Е,л и (21+ 2) уровней — возле Е~ь Если же, наоборот, влияние магнитного поля гораздо больше, чем влияние спин- орбитальной связи, то расщепленные уровни группируются попарно, обраауя (21+ 1) пар. Мы рассмотрели одно и то же явление — расщепление энергетических . уровней водородоподобных атомов, помещенных в однородное магнитное поле, в двух разных приближениях: без учета спин-орбитальной связи и с учетом этой связи.
Этим двум приближениям соответ- 157 ствуют два уровня точности эксперимента по измерению энергетических уровней в магнитном поле. Если разрешающая' способность эксперимента не очень велика, то ов подтвердит выводы более грубой теории, ве учитывающей спин-орбитальной связи; более тонкий эксперимент подтвердит результаты более тонкой теории. Обнаруженное таким образом дополнительное расщепление носит название сложного или аномального эффекта'Зеемана. Спин алектрона и других элементарных частиц играет существенную роль в большом числе различных физических процессов, в частности, многочисленные процессы, сопровождающие столкновения частиц, нельзя понять, не учитывая спины этих частиц.
Мы, однако, ограничимся разобранными в 'этом параграфе двумв вопросами. $43. Атом в магнитном поле Ревультаты предыдущего параграфа непосредственно применимы к атому, помещенному в однородное магнитвре поле. Они показывают, что невозмущенный уровень энергии, соответствующий квадрату момента М' (Ц+ + т)31, расщепляется ва (2)+ $) различных уровней. С точки зрения теории групп, после того как сформулированы соответствующиц законы квантовой механики, эффект Зеемава становится следствием анализа неприводимых представлений группы поворотов, содержащихся в неприводимом представлении группы вращений. Оказывается, что гораздо более далеко идущие результаты можно получить, если использовать группу вращений в качестве группы симметрии задачи.
На первый взгляд это невозможно, так как направленное по оси ОЯ магнитное поле нарушает сферическую симметрию. Эту трудность, однако, можно обойти, если воспользоваться формулами теории возмущений (35.1) и (35.2). Эти формулы сводят вычисление смещений внергетических уровней и вероятностей переходов между квазистационарными состояниямй к вычислению скалярных произведений вида ИЙ, ~('фь") где гг' — возмущение оператора Гамильтона, вызванное магнитным полем Н, ~)ъ, и фз — невозмущенные вол(и (о новые функции атома в состоянии с квантовыми числами у, ж и (, й соответственно, Разумеется, магнитное поле Н $56 предполагается достаточно малым, чтобы формулы теории возмущений обладали хорошей точностью.
Приведем два соображения, поаволяющие привлечь теорию групп к вычислению матричных злементов (43.1) оператора Й'. Предположим, что под действием магнитного поля Н произошел переход атома из состояния с волновой функцией $ я в состояние с волновой функцией фаза~. Если наблюдать за этим явлением иэ другой системы отсчета К„ которая получается иа исходной системы К, вращением д, то зто же явление будет выглядеть иначе. Прежде всего, компоненты магнитного поля Н в системе К,— не такие, как в системе К,.
Они совпадают с координатами поля д-'Н в системе К,. Далее, как мы внаем, состояние атома, описываемое в системе отсчета волновой функцией фй в системе К, описывается другой волновой функцией л 'ф', которую можно записать так; 3 а-1Фе- Х Ж(л„(й-1) Ч4]. Подобным же образом трансформируется и волновая функция ф~д . Следовательно, каждый раз, когда в систегв ме К, регистрируется переход т -«-1Р», в системе К, и> <о' будет регистрироваться переход й-'$" -~ л ''Чч~ Это оз(л начает, что вероятности,этих двух событий одинаковы и, следовательно, соответствующие матричные элементы равны (й 'фй» 'йя 'фР) (ф, Йф1о), (43.3) где б-'Н' — оператор возмущения, вызванного магнитным полем д-'Н. Перейдем ко второму соображению, Обозначим через Н„Н, и Н, магнитные поля одинаковой величины, направленные вдоль осей ОХ, ОУ и 02 системы отсчета К,.
Как и любая тройка ортогональных векторов одинаковой длины, введенные поля удовлетворяют соотношениям я-'Н, ~ аы (д-') Ны (43.4) где ац(л-') — косинус угла между осью с номером у си- стемы К, и осью с номером й системы К, = дК, (осям ОХ, ОУ и ОЯ присвоены номера (, 2 и 3 соответственно); И9 СЪУ Обозначим через Рг, ттэ и Нэ операторы возмущения, вызванного магнитными полями Н„Н, и Н~ Воспользуемся линейным характером аависимости оператора Й от магнитного поля Н: Ф 1 если Н сгНг+ с,Н, + сэНм то Н с,Н, + с,Н, + с,Нз. Согласно (43.4) отсюда, в частности, следует, что э д-~Н; '2", ню(б-~) Нь, (43.5) А т Это — все, что нам нужно знать об операторах возмущения Рь.(й 1, 2,3). Теперь можно установить важное свойство совокупности матричных элементов („(в у„,~в) (т -),— )+1...,.,) г 1 2 3; й — 1, ...,)). (43.6) Матричные элементы (б-'ф, д-'Й„б-~$~~а~) линейно выражаются через матричные элементы (43.6): (а-' р"' у-'КГ' р'о)- $ Х, Х с~ йРе'т (б э) иве ($ ~) М'ь (б ~) ($т)~ аю'=-7 а=1 й'=- 1 Н;, ~рь)).
(43.7) Соотношение (43.7) получается сразу же, если воспользоваться формулами (43.2) и (43.5). Истолкуем его в терминах теории групп. Рассмотрим вспомогательное линейное пространство,У размерности 3(2) + 1) (21+ 1). Координаты векторов х этого пространства будем снабжать тремя индексами: х (х .„) (т= — 1, ..., 1; э 1, 2, 3; й — 1, ..., 1)'.
Каждому вращению я сопоставим оператор Т(я), действующий в пространстве Ы и определенный с помощью правила: координаты вектора Т(д)х, к — (х „), равны В (7 (ь) х)тм = Х Х. Д Жй~)е (б ) Фка(б ) Х яь' -га'=(ы=-1 Х ЖЭ э (Э ) хв'а'А' ° (О Легко показать, что операторы Т(б) образуют представление группы вращений.
Для этого достаточно прямым вычислением показать, что (Т(й) Т(л)*)'. =(Т(йл)' .).... 'Представление Т эквивалентно произведению трех представлений: Т-Ы,Ха, Хжь поскольку матрицы ак.(а-') являются матрицами представления У, в декартовом базисе, а матрицы Ж~ь (М Ч— <о матрицами представления Щ в некотором неканоническом базисе,,который, впрочем, просто свяаан с каноническим базисом. Пц причине, которая станет ясной чуть позже, целесообразно выяснить, содержит ли произведение представлений Я> Х Я, Х Я, единичное представление Я,. Вспоминая разложение (25.1) произведения представлений на неприводимые представления, получаем й Х% Жс-с+йк-ч+ + ° ° ° +Фи» т а, Х й„„+ В, Х Ю„л~, +... + а>, + й)„ь Произведение Я, Х У, содержит единичное представление Я, один раз, если р 1, и ни разу, если рчь1.
Поэтому представление Т содержит единичное представление У, один раз, если у+1>О и ~У вЂ” П (43.8) в противоположном случае представление .й, не содержится в Т. Обозначим через й' подпространство пространства 2', преобразующееся по единичному представлению !з), группы вращений (или накрывающей группы Я). Пространство Ю' одномерно, если выполнены условия (43.8), и сводится к нуль-вектору в противоположном случае. Вернемся к матричным элементам (43.6). Соотношение (43.7) показывает, что совокупность этих элементов можно рассматривать как координаты некоторого вектора л' иа пространства Ы': под действием операторов Т(8) они лреобраауются как координаты каждого вектора х ~ Ы'.
С другой стороны, соотношение (43.3) показывает, что вектор х' не изменяется под действием операторов Т(л) и, следовательно, принадлежит подпространству д'. Отсюда вытекают два следствия. И Г. я. любазсзза' 161 $; Если условия (43.8) не выполнены, то все матричные элементы (43.3) равны нулю. Физически это означает, что в рассматриваемом приближении теории возмущений вероятности переходов»)) -). (()» равны нулю— О) О) такие переходы запрещены. Из условий (43.8) следует, что запрещены. все переходы, сопровождающиеся изменением квантового числа )' более чем на единицу. 2.
Если условия (43.8) выполнены, то методами теории групп можно найти единичный вектор е', принадлежащий подпространству д',.и, поскольку х'(яд', написать л~ М, КйГ'1-) '»» Тем самым все матричные элементы (43.61 определяются с точностью до общего множителя Х, не зависящего от индексов ш, з и й, но, вообще говоря, зависящего от индексов 1 и й Иными словами, если, путем измерения вероятности одного из переходов »()„ -)- $» найден хотя бы один из матричных элементов (43.6), то все остальные матричные элементы с теми же индексами 1 и ( можно вычислить, а полученные результаты проверить на эксперименте путем измерения вероятностей других переходов (() ~ -)'(()» .
Если ) (, то появляется дополни- О) . (О тельная воэможность экспериментальной проверки — путем измерения возмущенных энергетических уровней атома в магнитном поле. Фактическое вычисление компонент вектора е' нвляется чисто алгебраической задачей. Мы не будем ею заниматься. Решив эту задачу, мы обнаружили бы, в частности, что энергетические уровни, получающиеся при расщеплении невозмущенного уровня Е, образуют арифметическую прогрессию. Это хорошо согласуется с экспериментом. Основное достоинство описанного метода состоит в следующем.
На бааз очень скудной информации об операторе возмущения удалось получить большое число количественных соотношений между характеристиками таких, казалось бы, различных процессов, как расщепление уровней и переходы между квазистациоиарными состояниями. Единственное использованное в нашем рассуждении свойство оператора возмущения Й' состоит в том, что он преобразуется при вращениях как вектор, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
