1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(46,4) В силу этих (еще не доказанных) соотношений совокупность матричных элементов всех неэквивалентных вепрнводимых представлений образует ортогональную систему функции. Число этих функций равно сумме квадратов размерностей неприводимых представлений и, разумеется, не может превосходить размерности пространства всех функций на группе: ег + гг + ° ° + гэ ~~ г1' ° Отсюда следует, что у конечной группы имеется только конечное число неприводимых представлений. Размерности этих представлений ограничены неравенством (46.5). Впоследствии мы увидим, что в'соотношении (46.5) следует всегда писать знак равенства.
Доказательство соотношений ортогональности удобно вести параллельно с изучением свойств операторов А)го(Т), которые строятся следующим образом. Пусть Т вЂ” какое-либо представление конечной группы 6, действующее в пространстве Б размерности Я. г69 Определим оператор АЯ (Т) так< А<ьо(Т)-у )'„тф(У-<)Т(У) Ц< Ь-1,2, „., э<)' (46.6) еао (суммирование проиаводптся по всем элементам у группы О).
Приведем два элементарных свойства оператора АЯ. Свойство <. Матричные элементы оператора Аф(Т). еелзаны с матричными элементами оператора Т(у) соогно<некием (Аф(Т)) „(Т „, тЯ). (46.7) Докаэа тельство. Согласно определению (46.6)', соотношению (46.2) и определению скалярного произведения имеем < 'сч <о (А<ьо(Т))тч д~ лг< т<В (я ') Ттэ(у) *~ .
еао Сч ° т у~ Ттп (у) те< (у) = (Ттп где<), "ето С в ой с т в о 2. Операторы Аф(Т) коммутируют с операторами Т(Ь) следуюи(им образом: а< Т (Ь) А)4< (Т) Х т<<аь< (Ь) А<<)< (Т) (46 8) « Д о к а э а т е л ь с т в о. Согласно определению (46.6)' имеем Т(Ь) А))ь (Т) — 5' т(ь (У-<) Т (Ь) Т (У) ° еао у ~~~ т)<ь,'(у <) Т (Ьу). (46.9) еао Если элемент у пробегает всю группу О, то и элемент Ьу (где Ь вЂ” фиксированный элемент группы) также пробегает всю группу. Поэтому суммирование по у совпадает с суммированием по 7': ~ч.", т(ье(у-<)Т(Ьу) - ~ т))<(у-<)Т(Ьу), у Ь <), ето <то и равенство (46.9)' можно переписать так: Т(Ь)А)ьо(Т) у,)' ъ<ь<(~ 'Ь) ТЯ. гас 170 а! Учтем еще, что тсз (У 'Ь) ~2~ та!~(1 ')тй(Ь). Следоваа=! тельно, Т(Ь) А(зс(Т)- а! а! у ~' тсл (Ь) ~~~ т)~а~(1 ') Т(~) )' тало(Ь) А,'! (Т).
! ! ано ! ! Мы пришли к соотношению (46.8). Отметим важное следствие, вытекающее иэ этого соотношения. С л е д с т в и е. Пусть х, — произвольный вектор пространства Е: Образуем г, векторов хд = А~го (Т) х, (!с = (, 2, ..., г,) (индексы ! и 1 фиксированы). Под действием операторов Т(Ь) векторы х, преобраауаотся друг через други следуюи1им образом: а! Т (Ь) хь Х 'саа (Ь) ха, (46ЛО) а=! так что их линейная оболочка Цх,), т. е, совокупность всех сумм вида х с,х, + е,х, + ...
+ е,,хао инвариантна относительно представления Т. Доказэ тел вотво. Согласно соотношению (46.8) а! а! Т(Ь) хз Т (Ь) А!эха Х т!1 (Ь) Аа! (Т) ха лл та1 (Ь) х!. с=! Мы получили соотношение (46АО). Соотношение (46АО) показывает, что при любом выборе вектора х, и индекса 1 вектор ха — Ааааа(Т)х, однотипен вектору еас;! канонического базиса неприводимого представления то Доказанное следствие позволяет построить цепочку очень важных умозаключений. Применим это следствие к неприводимому представлению Т т, и.
предположим, что размерность г, этого представления больше, чем размерность г, представления ть Согласно следствию в пространстве Т имеется инвариантное подпрострапство !'(х,), размерность которого не превышает г, и, следовательно, меньше го Мы уже знаем, что неприводимые представления не имеют инва- Я риаитиых подпространств, кроме тривиальных. Возможность Ь(х,) Л в нашем случае отпадает, так как размерность подпространства Е(х,) меньше размерности пространства Ь. Остается вторая возможность: Е(х,) содержит только один вектор, а именно — нуль-вектор. Это означает, что все векторы А)ьо(тДх, раввы нулю. Ввиду произвольности вектора х,ш Е отсюда делаем вывод, что все операторы А)ьз(т~) О, если г, ~ зь Теперь обратимся к соотношеиию (46,7).
В силу доказаииого из него следует, что (г'„"„, т'„' ) О, (46.11) если г, ) гь Однако ввиду симметрии условия ортогональности (если ~р ортогональпо ф то и ф ортогояально <р) можно считать, что соотношеяие (46.11) доказано и в случае, когда з, ( гь Обращаясь опять к соотношению (46.7), приходим теперь к выводу, что соотношение Аф(т~) = 0 имеет место и при з~ < гь т. е. всегда, когда размерности представлений т< и т, различны. Остается рассмотреть случай г, г, (1Ф().
Покажем, что и в этом случае разеяство Л(х,), Е, невозможно. Если предположить противоположное, то в пространстве Е можно построить два базиса . х„х„..., х. и е„е„..., е, (г з,=г,). Первый из них согласио равенству (46.10) преобразуется по представлению т„ второй — по представлению т,:. Т(Я) еь = Дт~,~~(б) е„. г=г (46.13) Т(Ь) Вез = ~ тД(й) Вез, ф=г Докажем, что представления т, и т, эквивалентны вопреки предположению 3 ~ й Противоречие, которое мы таким образом получим, и будет означать, что Е (х,) Ф 6.
Введем в рассмотрение оператор В, определенный равенством Ве„ хь Оп имеет обратиый оператор В ', причем В-'х, е„, Равенство (46.10) можно записать так: или В 'Т(Ь)Ввь ~ тД(Ь)ер, р 1 Сравнивая последнее равенство с (46.13)', приходим к выводу, что матрицы трь(Ь) и тря(Ь) являются матри- (О (и цами двух эквивалентных представлений Т(Ь) и В 'Т(Ь)В. Это означает, что предположение 1(х.) = Б может осуществляться только в том случае, когда 1 1, т.
е. когда представления т, и т, совпадают. В нашем случае Т(х,)тьТ. Следовательно, Т(х.)=0. Отсюда, как и раньше, вытекают соотношения ортогональности (46.3) для любой пары неэквивалентных неприводимых представлений. Вместе с тем доказано равенство нулю всех операторов -4(ь (т() при 1 чь Ь (и Для доказательства второй группы соотношений ортогональности и соответствующих им свойств операторов А((ьэ (т,) требуются некоторые дополнительные соображения, которым и посвящен следующий параграф. 5 47. Лемма Шура Дальнейшее развитие теории связано с леммой Шура.
Лемма Шура. Пусть два неприводимых представления т, и т действуют в пространствах Б( и Т( соответственно. Пусть  — линейный оператор, определенный на векторах иг Ь, и переводящий их в векторы ив Ц. Пусть, кроме того, оператор В удовлетворяет условию Вт;(у) т((у)В (у (н (р) (47.1)' тозсдестеенно' по у.
Лемма утверждает, что оператор В равен нулю, если представления т, и т, негквивалентны, и кратен единичному оператору, если они эквивалентны, а пространства Ь( и Т( совпадают. Несмотря на неожиданность и кансущуюся искусственность формулировки, эта лемма полезна в приложепиях и необходима для дальнейшего развития теории. Докажем лемму сначала для случая т, т, т, Т(=Е, Е. При этом оператор В, 'как и всякий линейный оператор, определенный в конечномерном пространстве Л, причем Вхю! (х(и П), имеет по крайней мере одно собственное значение Х Это означает, что линейное 173 / пространство Вм состоящее из решений уравнения Вх Хх (хж Ь), (47.2) имеет положительную размерность.
Условие (47.2) обеспечивает инвариантность подпространства Е, относительно представления т. В самом деле, если х, >н Ьи то выполняется соотношение Вт(у)х, т(у)Вх, Хт(д)х,. Оно означает, что вектор т(у)х, удовлетворяет уравнению (47.2) . и, следовательно, принадлежит надпространству Еь Вспомним, что представление т неприводимо. Поэтому инвариантное надпространство Ь, должно быть тривиальным, Подпространство г', не сводится к одному лишь нуль-вектору. Поэтому оно должно совпадать со всем пространством, Этт> означает, что любой вектор х>и Б удовлетворяет соотношению Вх-Хх, нли, иными словами, В ХЕ. Лемма Шура в случае ~ > доказана.
Извлечем два важных следствия из полученного результата и с их помощью завершим доказательство леммы Шура, рассмотрев случай > чь й С л е д с т в и е $. Пусть т — неприводимое представление еруппы б, действу>о>цее в некотором пространстве Ь. Если в двух разных базисах (е>)> и (Я> пространства Ь матрицы операторов т(у) одинаковы: к (у) е„, = ~ тзм (у) е,ц то зги базисы отличаются только 'множителем >' >е ',(>и $, 2, ..., з).
Дока зательстро. Расс>готрим оператор В, определенный равенствами Ве„7 (>п = 4, 2, ..., з). Он обладает свойством, предусмотренным леммой Шура: Вт (у) = т (у) В. (47.3)' Проверим это соотношение. Имеем Вт(у)е,„= В ~~".', т„~(у)е„= ~ т„(у) ~з т(у) ~~= т(у)Вез>, а=э ' в=-т $74 Это и означает, что Вт(у) т(у)В. Из (47.3) следует, что В ХВ и, следовательно, 1 = Ве„= ХЕ . Следствие 1 доказано. Сл еде т в и е 2. Получим соотношения ортогональности (46.4) для матричных влементог одного и того лсе неприеодимого представления т. Пусть т» — неприводимое представление группы В в пространстве Ь с каноническим, базисом (е )",. С помощью операторов А „(т() образуем векторы (») хь А(ьо(т() е ((с 1, 2, ..., г,) (индексы 1 и о( фиксированы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
