1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 34
Текст из файла (страница 34)
51.2 находим, что С(2)1, — 1„и, следовательно, второй индекс у смещения ем, т. е. индекс 3, переходит в индекс 1, и, кроме того, найденное смещение е„следует взять со знаком минус. Таким образом, получаем С (2) е„° -е»п Указанным выше способом составлена таблица смещений Т(б)еп, Т(й)ееь Т(д)е„(табл. 51.3). Теперь следует приступить к построению операторов А',а»'(Т) (а - 1, 3, 4, 5; й *= 1, ..., в,). Согласно определению для построения этих операторов необходимо знать матричные элементы ты (л).
Пользуясь таблицей вп иеприводимых представлений группы Т» (см., например, 19)), составим таблицы этих матричных элементов для представлений т„т, и т, (табл. 51.4 и 51.5), Матричные элементы тг» представления т» можно найти с по- ($) мощью табл, 51.5, если воспользоваться следующими со; отношениями: ч)ь»'(л) т(~а»~(б), если л е, С(1), Сз(1), Я(1); ч(»'(б)--т~,"(б), если б-Я(1), Яз(~), Теперь, пользуясь определением АЙ'(2') - — „' Х ~Й'(а) Т(б-'), зиа 1В9 нетрудно выписать все операторы А 11 (Т). Имеем ю) А11'(т)- ~ )' т(б)1 зе гэ 2441) (т) (т (э) + т (а (ц) + т (о (2)) + т (31 (3))) + + е(Т(Сэ(Ц) + Т(Сз(3)) + Т(С(2)) + Т(С(4))) + + ез(т(Сэ(2)) + Т(Сэ(4)) + Т (С(ц) + Т (С(3)))1 24А',з)(Т) е(Т(а„) + Т(а„) + Т(31(ц) + Т(Я(ц))+ +е'(т(а„)+ т(а„)+ т(г (2))+ т(8(г)))+ + (Т (а,з) + Т (а„) + Т (Я* (3)) + Т (Я (3))), 24А~~11) (Т) (Т (е) + Т (Яз (Ц) + Т (а,э) + Т (а ))— — (т(3 (ц)+ т(г(ц)+ т(г*(2))+ т(гэ(3))), 24А~ з) (Т) (Т (а,э) + Т (8 (3)) + Т (С (2)) + Т (С (4)))— — (Т (а1~ + Т (Яэ (3)) + Т (Сэ (ц) + Т (Сэ (3))), 24А11ээ) (Т) (Т (а,э) + Т (Юэ(2)) + Т (С(3)) + Т (С'(4)))— — (Т(азз) + Т(Я(2)) + Т(Сз(ц) + Т(Сз(2))).
Операторы А11'(Т), А)з (Т) и А>з'(Т) получаются иа опеРатоРов Аы (Т) А11 (Т) и Азэ (т) пеРеменной зва(а> (э> (э> ка у тех слагаемых т(й), которые соответствуют отражениям в плоскостях а„и веркальным поворотам Я(1), 8'(1) (~ 1, 2, 3). Построим смещенное, . Для этого подействуем опе- (11) ратором Ам (Т) на смещение е1о а затем нормируем (1> полученное смещение. С помощью равенства (51.5) и табл.
51.3 находим 24Ам (Т)еы езч — е,э+ еэз+ ... +е,г+ еж. и) Собирая слагаемые с одинаковыми первыми индексами и производя нормировку, получаем еэ ' =.((ем — е;з+ езз) + ( ез1 + эзз езз) + У12 + (эзг+ эез + эзэ) + ( ээз эз+ зээ)) Смещение каждого иа атомов: 1, 3, 6 и В изображается вектором длины 1/2, направленным по прямой, соедивяющей центр куба с несмещенным положением етого 182 атома. Это означает, что смещение е< ' системы М имеет (1,)) ту же симметрию, что и ее несмещенная конфигурация. Впрочем, зто вытекает и непосредственно из тождества т<111)(2)яя1 (е(н Т,) и общего соотношения (48.4), которое в рассматриваемом случае принимает следующий вид: Т (А) е(11 зн е<(л> (л ен Те).
Заметим еще, что, опираясь на последнее соотношение, можно было бы из чисто геометрических соображений сделать вывод, что смещение е1 ' имеет описанную выше СК1) форму. Смещение е,' п~)инадлежит кодпространству Ек,. По- (1,1) этому смещение е1 ' можно получить, положив (1Л е< '1) уе<'1) е, ' =* е, ' , Оно, разумеется, принадлежит подпространству Лс>. Для вычисления базисных смещений, связанных с остальными предстевлелиями группы Те подействуем операторами А„(у $, 2) на смещение е1о оиерато.
<з> рами АМ (у = 1, 2, 3)*) — на смещение е„и операто(з? рами А,у (у =1, 2, 3) — на смещения е„и еоз Приве(з) дем результаты таких вычислений: Е<1 '1) а<П + за(1> + Ззаю>, е, ' — а(1> — еса<'> — за<с>„ , )/3 ГДЕ З вЂ” — +1 — И 2 2 1 а<" — (е(з езз — евз + езз)1 >У)2 а(> — (е(,+е, — е„-е,), з ')('12 1 а< > =( — е(1+,е 1 — ез(+ е, ).
УГ2 ° з 1 «) Кзи показывают вычисления, смзщеииз А1-"„)еы равно иулю. 13 Г, я. Л1«зароков 1аз Далее, е( ' - '2 (е(>+ еэ>+ ез)+ еа>) 4,1) '1 (у 1, 2, 3), †' (е>3 + е 3 + еэз — е,з — езз еза — езз + езз)1 1 1 = (е>1 — е,з + ез< + езз е41 — езз еэ< + езз)1 — (е„— е, — е,> — езз — е,1 — ез, + еэ< + еж), 1 1 =(е1 — е„+ е„+ е„— езз + еза — езз езз)1 1 — ( — е — е 3 + ез< + еаз + ез< — езз + ез< -езз)„ )'й 1 = (е,(+ е„— е,< — е,з — е31+ ез, + еза — е„). '$(8 е('>= Е1 ' <4,3) е,' (4,3) ез' е< ' > Е1' Сделаем несколько замечаний по поводу найденных смещений. Смещения е, ' и е, ' получились комплексными. <3,1> <ЭЛ) В ряде случаев желательно перейти к вещественным <эл> смещениям.
Для этого достаточно вместо смещений е, ' и е,' взять вещественную и мнимую части одного из этих смещений (скажем, е, ' ) к затем их пронормиро- (3,1)т вать. Получим 4(3,1>, ~Ъ(а<1) 1, <а> 1 я<э)) Уа ' ф 2 (я(3> 3<3). Легко видеть, что (зл) 1 1 <3,1) (3,1>1 * — <Е,' — Ез' (3 * = 131 ' + ез ' ]. <В,П 1 <за) (з,ц 1 ")/2 Следовательно, сумма подпространств Е> + е'3 1совпа<з> (3> дает с суммой подпространств Р( + Рз „где Рз <3) (3> (з>' () = 1, 2) — совокупность всех смещений вида ед"*' .(з,1> (с — любое комплексное число).
Геометрическая характеристика этих смещений такова; смещение каждого ато- 194 ма лежит в плоскости, перпендикулярной прямой, соединяющей данный атом с центром куба. Смещения е," () = $, 2, 3) характеризуются следубь1) ющим свойством: смещение каждого атома натрия на' иравлено по касательной к окружности, которую описал бы этот атом при вращении несмещенной конфигурации системы М вокруг оси 8(~); направление касательной соответствует повороту против часовой стрелки относительно положительного направления втой оси. Смещения е~ап (~ т, 2, 3)' получаются путем параллельного переноса системы М как жесткого целого на расстояние $/2 вдоль осей ОХ, ОУ и ОЯ.
Смещения е) л~ (~= л, 2, 3) имеют более сложный характер. Атомы натрия при смещении е' и сдвинуты по диагоналям граней, перпендикулярных орту еь причем два иа них сдвинуты навстречу друг другу, а два других — в противоположные стороны. На этом мы закончим анализ решения второй основной задачи прикладной теории групп. Эта задача решена нами для представления группы Те в пространстве смещений описанной системы М.
Полученные результаты будут использованы при исследовании малых колебаний системы, представляющей собой механическую модель молекулы, состоящей из четырех атомов натрия и четырех атомов хлора, в 32. Комплексно-сопряженные представления Начнем с определения. Пусть т — неприводимое представление, а тя(я) — его матрицы в некотором базисе. Они, как известно, удовлетворяют соотношениям ч~л (бй) Х тя (е) ти (Ь)ю 1 1 И, 1 йл чзл (е) б~л '(О ~ ча й Переходя к комплексно-сопряженным числам, получим ч л (Ф) - Х 'Ь (й тм Яе чм(е) - бм. 195 Зтв равенства показывают, что "комплэкспо-сопряженные матрицы тв(в) (д ж 6) также определя1от некоторое представление группы С.
Назовем это представление колгплексно-сопряженныи представлению т в обозначим т. Характеры у комплексно-сопряженных представлений комплексно-сопряжены: Х; (в) = )( (в). Отсюда сразу следует, что представление т неприводило. В самом деле, скалярный квадрат характера чг~ (Х. Х ) =— ~ ,Д~ Х. (а) Х. (б) вне согласно (49.3) равен единице. Так как у;(д) = у~(я), то скалярный квадрат характера сопряженного представления также равен единице, а это означает, что представление т веприводимо. Разделим все непризодимые представления на три типа, в зависимости от их отногаения к своему комплексно-сопряженному представлению. К первому типу отнесем те представления т, которые не эквивалентны предртавлеиию т. У таких представлений характер )((в) не является вещественной функцией у(д)Фд(у).
Ко второму типу отнесем все непризодимые вещественные представления, т. е. такие, что в некотором базисе их матрицы вещественны. Очевидно, что каждое представ- ленив т второго типа эквивалентно своему сопряженному представлению т. И, наконец, к третьему типу отнесем все невещественные неприводимые представления с вещественным характером, Ови, разумеется, также эквивалентны своим сопряженным представлениям. Существует простой способ определять тип неприводимого представления т, если иавестен его характер. Для етого следует составить сумму — „ХХ (б') вес Она равна нулю, единице или минус единице, если представление т принадлежит первому, второму или третьему типам соответственно. Разумеется, для представлений первого типа есть более простой способ — посмотреть, все лн числа д,(л) вещественны. 196 Условимся для представлений первого типа выбирать канонические базисы так, чтобы матрицы комплексно-сопряженных представлений т и т.были комплексно-сопряжены: (52.1) чм (К) т э~ (у) (т-„— та) Для представлений т второго типа канонкчесэ~ий базис будем выбирать так, чтобы матрицы тя(л) были вещественными.
Что касается представлений третьего типа, то сообщим без доказательства, что их размерности всегда четки и что если перенумеровать векторы базиса числами й = ~1, ~2, ..., ~) (г 2у)', то существует базис, в котором матрицы представления удовлетворяют соотношениям т)0,~ чь(а) , т-,— (Ю) зал(й) (зал щ 1 1 (О / В заключение приведем также без доказательства одно полезное соотношение, которое часто позволяет устанавливать отсутствие представлений третьего типа среди неприводимых представлений данной группы, Оказыва-' .ется, число д элементов группы, которые после возведения в квадрат становятся равными единице, или, что то же, число различных решений уравнения д' е равно сумме размерностей всех неприводимых представлений второго типа минус сумма раамерностей всех иеприводимых представлений третьего типа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
