1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 37
Текст из файла (страница 37)
При этом каждому представлению т, вто- рого типа, содержащемуся в представлении Т, соответ,Ла) (а) (а) ствует з кваэиеиетем (т<), Мз, ..., М, е и степе- нями свободы каждая. Каждой паре комплексно-сопря- женных представлений т, и т- первого типа соответ- ствует з, кеазисистем М,, М,, ..., М,а с 2иа (а) (а) (а) степенями свободы каждая< Физические свойства квази- систем, соответствующих одному и тому же неприводи- мому представлению (или одной и той же паре комп- лексно-сопряженных неприводимых представлений), совершенно одинаковы, так как коэффициенты, фигури- рующие в выражении для потенциальной и кинетической энергий, пе зависят от индекса у. Это означает, в част- ности, что у этих подсистем одинаковые наборы зобе(- венных частот: Этот вопрос мы рассмотрим более подробно в следу- ющем параграфе, $58, Краткости собствеииых частот и формы главных колебаний В предь(дущем параграфе было показано,' что механическая система М распадается яа ряд квазисистем М(а).
При этом имеют место две особеияости. (а) а (а) Во-первых, квазисистемы Му и Мк, отличающиеся друг от друга толы<о нижними индексами у и у', очеяь похожи друг иа друга. У иих одинаковое число степекей свободы, и, следовательно, опи имеют одипаковое число главных колебаний. Более того, потенциальная и 14а 2И кинетическая анергия каждой квазисистемы выражаютен через обобщенные координаты и скорости совершенно одинаковым образом, точнее, наборы коэффициентов соответствующих квадратичных форм у всех квазисистем, овязанных с одним и тем же неприводимым представлением т, (или одной и той же парой комплексыо-сопряженных представлений), совершенно одинаковы. Поэтому и наборы частот главных колебаний у этих кзазисистем одиыаковы.
Это означает, что каждая из этих частот имеет кратность, равную размерности г, представления т,. Мы видим, что появление кратных частот является следствием свойств симметрии механической систел(ы М, причем теория групп .может предсказать кратности г„ этих частот и их число („, ые вычисляя самих частот. С точки зрения теории групп задача сводится к определению коэффициентов т, в разложении представления Т: Т = Х гпата. а Напомним, что эта задача решается с помощью формулы (49.4): т„= (у „)(„) . Во-вторых, формула (57.2) для потенциальной энергии и аналогичная ей формула для кинетической энергии обнаруживают некоторую дополнительную симмет(ат) (аа) (ат) рию: если заменить в них все х; нэ у';, а р) — на ( — х; ), то выражения Г„' -„(г) не изменятся.
Эта симметрия ие связана с группой 6 преобразований пространства и поэтому ыеожиданна. Мы сейчас покажем, что следствием этой симметрии является удвоенная кратность 2г, всех частот, связанных с представлениями т, первого типа. Если Х) п СОЭ Ып, Р) ь СОЗ С)л (""" - .4(") соэ ы(а)( р( ") В(а) о (а)( — какое-либо главное колебание, соответствующее квази- системе и() ', то в силу отмеченной симметрии движение системы, описываемое формулами (ат) (а) (а) (ат) (а) (а) Х) Ва СОЯО)„8, Ц, = — Ад СОЗ<Оа будет тоже главным колебанием рассматриваемой квази- системы.
Эти колебания линейно независимы и происходят с одной и той же частотой. Это и означает, что частота е)ь имеет кратыость 2 для'каждой из квази- (а) 212 систем М, (1 1, 2, ..., з.у и, следовательно, крат- (а) вость 2з„для системы М. Обратимся теперь к другой характеристике главных колебаний — к их форме. По определению смещения всех точек системы М, совер(лающей главное колрбание, все время параллельны самим себе, отношения их длин также не изменяются с течением времени. Совокупность этих не изменяющихся 'с течением времени характеристик главного колебания и называют его формой.
Легко видеть, что форму главного колебания можно изобразить, указав с .помощью векторов смещение всех точек системы М в некоторый момент времени, скажем, в тот, когда 'зти смещения максимальны. Вспомним, что набор главных колебаний системы М можно составить из главных колебаний ее квазисистем. В связи с этим естественно снабдить смещения г(У) системы М при главных колебаниях тремя индексами: г(у)' гкап(8) (у=1,2, ...,г„; и 1,2,.
„У„), где а — номер неприводимого представления, с которым связана данная квазисистема, у — номер вектора канони- ческого базиса и, наконец, и — порядковый номер глав(а) ного колебания квазисистемы М( '. Когда система совершает главное колебание г~"У~((у, (а'а') все ее симметрические координаты д,, у которых ин- декс а' отличен от а и а или индекс у' отличен от у, а'чьа, а или у'чьу, равны нулю. Согласно общей формуле (55.6) в этом случае смещение г системы М равно (а)) %ъ ( (аа) (аа) (аа) (аа)1 г„= 2~ (~дп е) + (уп еу у), если ать а, или '"а (ая 'ю (аа) (аа) г„~~ (у„еу~, если а = а.
и=ь Обратим внимание на то, что коэффициенты Дп в этих (аа) формулах не зависят от индекса у. Это связано со схожестью квазисистем М; с одним и тем же индексом а. (а) Выясним физический смысл этого обстоятельства. Произведем мысленно над системой М, совершающей главное колебание г(,'), какую-либо операцию л(нС. Пола- 213 'гая для простоты, что тп — неприводимое представление второго типа, получим ~а па ~а Г (у) ).(ад) ~,"~ (алв)у (,) В(ап) ~;~ ц(ап) ~~~~ (Ч) (,) (а™) ы 1 и-1 $-1 Изменяя порядок суммирования в последнем выражении, найдем ва Х (д) т( ')) ~( т((а) (у) т(„"о. ) 1 Это означает, что главные колебания системы, свяэанные с одним и тем жв нвприводиным'представлением и и вющив одну и ту жв собственную частоту «)„, прв(а) образуются друг через друга как векторы канонического базиса представления т группы (л.
Таким образом, индекс и (номер неприводимого представления) характеризует симметрию главных колебаний г'„"". В частности, если т — единичное представление, то Т(у)г„° г„ (а)) (аг) Это означает, что система, совершающая такие колебания, и в движении сохраняет симметрию своего равновесного положения. Такие колебания называются полно- симметричными. Мы видим, что теория групп, помимо анализа крат'ностей частот и некоторых сведений о форме главных колебаний, 'дает воэможность классифицировать главные колебания в соответствии с неприводимыми представле. ниями группы симметрии равновесного положения. В следующем параграфе изложенная теория применяется к исследованию малых колебаний конкретной системы.
9 59. Пример исследования малых колебаний В качестве примера возьмем уже знакомую нам по 3 51 систему М, состоящую из восьми материальных точек двух сортов, которые мы условно назвали атомами' натрия и хлора. В. равновесном положении эти атомы расположены в вершинах куба так, что на противоположных концах каждого ребра находятся разноименные частицы. Группа симметрии 0 равновесного положения — группа октаэдра Т, — содержит 24 элемента и имеет пять неэквивалентных непрнводимых представлений т (а 1, 2, ..., 5).
Размерности этих представлений г, г,— 1, г, 2, г,=гг 3. (59.1)' 214 В 1 51 было рассмотрено представление Т группы Т, в пространстве смещений Ь. Был найден характер и состав этого представления. Оказалось, что числа вхождений т, представлений т в представление Т таковы: т» 2, л>4 О, л>4 2, т4 4, .ш, ° 2. (59.2) Все представления т, (а-1, 2, ..., 5) принадлежат второму типу, т. е. имеют в подходяще выбранном базисе только вещественные матрицы. Поэтому иа равенств (59.1) и (59.2) следует, что система М распадается на следующие квазисистемы: с представлением т, связана одна квазисистема М>о с двумя степенями свободы, две квазисистемы М, и »м» связаны с представлением т„ (»> (»> они имеют по две степени свободы каждая, и, наконец, с представлениями т, и т, связаны по тр>ь квазисистемы.
Квазискстемы М,, М,, М, имеют по четыре сте- (4) (4) (4) пени свободы, квазисистемы Л1>, М», М» — по две. (») (4) (4) Фактическое отыскание собственных частот следует' произвести только, скажем, для квазисистем М, М>» ((> (»> М,, М, . Собственные частоты квазисистемы 94~» (4) (4) . (») такие же, как и у квааисистемы М> . Это означает, что м) три собственных частоты: о),, о)», о>». имеют кратность два, если их рассматривать как частоты всей системы М.
Подобным же обрааом собственные частоты квазисистем й; и М, повторяются соответственно в квазиси° (4> (Ы схемах М», 4пз» и М», М» . Это дает нам четыре (4) М(4) (4> (Ы частоты: о),', о»',, а),, е)4) кратности три, связанные (4> (») с представлением т„и две частоты; о>,, е)» тои же кратности, связанные с представлением т,. Итак, всего система имеет десять, вообще говоря, раз-' личных частот, причем две из них имеют кратность, равную единице, две — равную, двум, и шесть — трем. В действительности в зтн цифры должна быть внесена поправка. Рассмотрим смещение системы, у которого векторы смещений всех точек одинаковы.
В этом положении система может оставаться неподвижной, т. е. совершать «колебания» с нулевой частотой. Такое состояние системы назовем псевдоколебанием. Все такие смещении обраауют в Ь инвариантное подпространство. Обозначим его через П. Размерность под-' пространства П равна трем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
