1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В качестве базисных смещений в П можно взять смещения, у 'которых все точки 245 смещены вдоль одной и той же координатной оси прямоугольвой системы координат ОХУ2. Легко видеть, что под действием операторов Т(л) подпростравство П преобразуется так же, как и обычные трехмерные векторы. Такое представление называется векторным, а его характеры определяются формулами (см. 3 51) 2,(С,) 1+ 2 соз ф, )(,(Я,) = -1 + 2 соз ф. Характеры векторного представления группы симметрии октаэдра Тл совпадают с характерами неприводимого представлеяия т,. Это озяачает, что с представлением т, связаны три различных частоты, а не четыре.
Есть, однако, и другие псездоколебания. Ояи также связаны со смещениями системы М как жесткого целого. В отличие от рассмотренных смещений, они получаются ве параллельным сдвигом, а поворотом системы вокруг той или иной осщ ГЩ Подпространство П' таких смещений также инвариантно отяосительно всех операций Т(я). Подпространство П' трехмерно: базисвыми смещениями в П' могут служить повороты вокруг координатных осей системы охи. Под действием операций Т(С,) смещения нз П' преобразуются как Ряс. 30. Смещевяе„получаемое в векторы. Однако при отрезультлте поворота вокруг оса ражевии в любой плоско- Ю(3) на малый угол сти эти смещения ведут себя существенно иваче. Представим себе, например, смещение, получаемое поворотом вокруг оси Я(3) (рис.
30). При зеркальном повороте ка 90' вокруг той же оси смещеиие системы переходит само в себя. Между тем вектор, направленный по оси Я(3), под действием такого зеркального отражения умножается ва минус единицу. Представление, по кбторому преобразуется подпростраяство П', называется псевдовекторвым. Характеры этого представления определяются формулами 2,(С,~ 1+ 2 сов ф, х.(8,) =1 — 2 сов ф.
2ьб Характеры представления т, группы Т~ совпадают с характерами псевдовекторкого представления. Из этого следует, что с представлением т, связана только одна частота. Итак, рассматриваемая система имеет восемь различных частот о>>, о), — частоты кратности один, (1) (1) (з) (з> (() (ю (а) (в> е>>, юз — кратности два и о),, «>з, о)з, а), — кратности три.
Частотам а)> и а>~ соответствуют полиосимметричные колебания, т. е. колебания, сохраняющие симметрию равновесной конфигурации. Напомним, что при каждом таком колебании смещение каждого атома направлено,по прямой, соединяющей равновесное положение этого атома с центром куба.
При этом смещения всех атомов натрия имеют одинаковую длину, и то же можно сказать о смещениях атомов хлора. Таким образом, при полно- симметричных колебаниях молекулы одноименные атомы все время находятся в вершинах двух пульсирующих тетраэдров. Смещение квазисистемы М'о задается двумя симметрическими координатами — отклонениями о, (1,1)" . (),Ф) ~()) ' и ()) ()) ' размеров указанных тетраэдров от их равновесных значений. Для вычисления собственных частот следует выразить потенциальную и кинетическую энеРгию квазнсистемы чеРез ее кооРдинаты йв (7, и скоРости оо >7,.
Это позволит написать системУ диффеРенциальных уравнений типа (54.4) с двумя неизвестными функциями. Решив зту систему, найдем собственные частоты а)„и о), и соответствующие им главные коле(н ы> бания. Обратимся к квазисистеые М>, связанной с непрн(з) водимым представлением т,. Ее подпространство смещений — это Е, . Базисом в Е, могут служить смещения (з> (з) 7',' н 7» ' 1)) ' . Смещение .)((' вычислено в $5$ ,(зл),(э,з),(з,( > з,)> (см.
(51.6) и (51.7)). Его можно представить в виде (зл> > (( 1 = — асса — — е(з + — е ) + ~/6Ц 2 2 ( 2 2 ы) ~ ы 2 за+ 2 з()+ + (еез + 2 ева 2 ев()~ (59.3) Таким образом, произвойьное смещение г квазисистемы 217 М( характеризуется двумя обобщенными координатами: (э> г д>(( ' + дэ(> ' . Отсюда для декартовых координат х>~ ,(эл> лэл> получаем хн - у, Оь"')>(+ уэ Ж'")>(. (59.4) Числа (((('~);( и (~~и~);( известны, это — коэффициенты (э,>> (э,э>.
при вн в выражениях для смещений /> ' и уд ' .' Кл>) - — ' Ыл>) - — ' Ыл>)>э- — — 'ит д С помощью равенств (59.4)' выражаем потенциальную энергию квазвсистемы М( через обобщенные координа(э> ты у, и уе Подобным же образом выражаем ее кинетическую энергию через обобщенные скорости у, и ()э. После этого обычным образом находим собственные частоты и соответствующие главные колебания. Совершенно так же изучаются квазисистемы >««> и а ю(«> М>('> (> >, 2;3). Главное колебание квъзиснстемы М,"> представляет собой движение двух недеформированных тетраэдров «на встречных курсахэ параллельно оси 8(>).
Подобным же образом главное колебание каждой квазисистемы д«>> (> = $, 2, 3), если исключить враще.лэ> яие системы М как жесткого целого, представляет собой вращение двух тетраздров вокруг оси 8(>), причем их угловые скорости имеют противоположные направления. Отношение угловых скоростей определяется условием: момент количества движения системы М равен нулю. Разобранный пример показывает, ятя раздвленив задачи на две части — алгебраическую (выдслвнив квазисиствм) и аналитическую (исслвдованис казсдой квазисиствмы обычными, методами теории малых колебаний) — существенно упрощает вычисленив собственных частот и главных колебаний, Заключение ТЕОРИЯ ГРУПП И ФИЗИКА Первые несколько глав этой книгп были посвящены общей схеме применения теории групп к любой линейной задаче, имеющей ту или иную симметрию.
Зта схема была затем испытана-на ряде примеров иэ области физики. Рассмотрим теперь специфику Физических эадач, исследуемых методами прикладной теории групп. Первая особенность таких задач состоит в том, что самые раэличные физические объекты аачастую имеют одну и ту же группу симметрии. Иаковы причины етого явления и какие следствия вытекают иэ него3 Имеются три основных источника симметрии фиэнческих эадач: $) симметрия пространства и времени; 2) неразличимость элементарных частиц одного сорта; 3) симметрия чвоображаемого мира», близкого и реальному миру.
Симметрия пространства н времени выражается в том, что все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны. Точнее, все фиэические законы формулируются соверщенно одинаково во всех инерциальных системах отсчета. В качестве примера можно укаэать на уравнения Максвелла. При переходе иэ одной инерциальиой системы в другую координаты и время преобраэуются определенным обраэом друг через друга. Совокупность этих преобразований образует группу — полную группу Лоренца.
Именно она описывает симметрию пространства и времени. Поэтому все эадачи,'относящйеся ко всему беэграничному пространству, имеют юдну и ту же группу симметрии — полную группу Лоренца. Законы фиэики инвариантны относительно групц)м Лоренца. Из этого следует, что при переходе иэ одной инерциальной системы отсчета в другую преобраэуются не только координаты и время, но и все физические величины, относящиеся к рассматриваемым законам физкки.
Если уравнения, выражающие эти ааконы, линейны, то линейны и преобраэования соответствующих фиэических велнчнн. Они образуют представления полной 349 группы Лоренца. Поэтому классификация представленийй группы Лоренца естественно переносится на физические величины. На практике вместо полной группы Лоренца часто пользуются двумя ее подгруппами; группой вращений н собственной группой Лоренца. Это приводит к классификации физических величин по представлениям этих подгрупп. Именно так возникают скаляры, трехмерные векторы, тензоры различных рангов, четырехмерные векторы и тензоры. Для квантовых объектов роль группы вращений играет ее накрывающая группа: Классификация по представлениям этой группы приводит к появлению новых классов физических величии — спяноров всевозможных рангов.
Таким образом, с помощью теоретико-групповых соображений построена априорная классификация всех физических величин, и если в процессе развития науки появится необходимость ввести новые физические величннь~, то н для них найдется место в этой классификации. Описанная выше универсальность полной группы Лоренца как группы симметрии объясняет универсальность связанной с ней и ее подгруппами классификации физических величин. Второй нсточ,аик симметрии физических задач — неразличимость элементарных частиц — приводит к тому, что любая перестановка двух или нескольких одинаковых частиц автоматически является операцией симметрии для любой физической задачи, в которой фигурируют зги частицы.
Таким образом, и этот вид симметрии является общим для самых разнообразных физических объектов, Переходя к третьему источнику симметрии, физических задач, поясним лишь, чтб мы имеем в виду, говоря о симметрии воображаемого мира. Этот мир, хотя и воображаемый, на оторван от действительного мира.
Говоря точнее, действительный мйр, его законы можно рассматривать как результат слабого возмущения воображаемого мира. Так, злектромагнитное взаимодействие изотопов можно рассматривать как малое возмущение; если пренебречь нм, то протоны ничем не будут отличаться от нейтронов и возникнет новая симметрия — сим~ метрия физических законов, управляющих нуклонами и не учитывающих электромагнитного взаимодействия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
