1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Линейная оболочка векторов х, инвариантна относительно представления ть Поэтому онл либо состоит из одного лишь нуль-,вектора, либо совпадает со всем пространством Ь. Это означает, что векторы х, или все равны нулю, или образуют базис в пространстве (". Этот базис согласно соотношению (46.10) является каноническим. Применяя первое следствие иа теоремы Шура, видим, что базис (хь)»» отличается от базиса (еь) ", только множителем: хь = 1(ыеь Когда все векторы х, равны нулю, последнее соотношение остается в силе, если положить в нем (((„= О.
Итак, А»(ь» (т,) е„, р(,„еь. (47.4) Переходя к матричным элементам оператора А~~э (т»)г (о получаем (А~(ь' (т())(„° р>' б(ы ~1 при 1 (сг в -~ (О при 1~)(. Обращаясь к равенству (46.7), можно записать (т!т туй ) 1((п»6(ь. (47.5) Вычислим коэффициенты (»» . Для этого полон(им в равенстве (47.6) 1 (с. Получим 1(»я (ть„» тю ) = у ~~ ть„(У) тг) (У).
г (и ьрт 1 '%Г (и (р о Просуммируем последнее тождество по )с и воспользуем- ся (47,5): бслсщ ~щ у ьв ~~ аьщ(б) тсь (б ) ~ у ~~~ тсщ(е) бсщ т чР 'ю со с) с 1 еще Й-1 еща Итак, Теперь соотношение (47,5) можно переписать так: Й'),4)= — 'б| б, в (47.6) Мы получили вторую группу соотношений ортогональиости (46.4) и к тому же вычислили скалярные квадраты матричных элементов чсщ (Ю)с все они равны оДномУ и томУ же числУ бс '.
Кроме того, получены важные соотношения в)А~)„(тс) ещ е„б ~. со со и) б)АСС, (та) Ещ ЕЬ бс Сб) ° со са) са) Теперь легко доказать лемму Шура в полном объеме. Для этого исходное соотношение (47А) перепишем в матричной форме Зс Эр ~ В„~ )о(б) - ,"„,тов)(Ь)Врщ в=с. т=т Все слагаемые, входящие в эти суммы, взаимно ортогональны. Поэтому все коэффициенты В„с и Вс„равны нулю, Лемма Шура доказана. 176 Они означают, что оператор Р,„яще,А,„(т;) переводит (О со все векторы канонического базиса в нуль, кроме вектора ес,с которьсй переводится этим оператором в вектор етого асе базиса е„.
Это свойство операторов Ась (т ) 6) можно использовать для решения второй основной задачи прикладной теории групп. Вспоминая, что все операторы А)~во(та) равны нулю, .если счьа, можно ааписать з 48. Решение второй основной задачи Полученные выше результаты позволяют предложить общую схему решения второй основной задачи прикладной теории групп. Пусть пространство Ь преобразуется под действием злементов группы ' 6 по представлению Т. Если представление Т разлагается в сумму: Т т,т,+л),т,+...+т,та то зто означает, что пространство Ь представимо в виде суммы лодпространств: а аа Ь- Х Х бФ'* (48А) а )а ( преобразующихся по неприводимым представлениям. Индекс сс указывает на номер неприводимого представления, индекс т нумерует подпространства, -входящие в сумму (48А) и преобразующиеся по одному и тому же непризодимому представлению т .
В каждом подпрост-' ранстве Е( ' существует канонический базис (аа) (ат) (ат) 1 1 3 2 '''1 ®а Линейная оболочка Е)"~ базисных векторов, с одинаковыми индексами и и /, Е(а) ин б ( (а() (аз) ' с(атаЦ представляет собой подпространство однотипных векторов. Сумма всех таких подпространств совпадает с пространством Е' а ~а т: ~ Е(), (48.2) а=() ( Вторая основная задача прикладной теории групп состоит, как мы знаем, в отыскании всех подпространств Е; (а) однотипных векторов. Для решения втой задачи привлечем введенные в т 47 операторы А((а) (Т). Пусть х, — произвольный вектор пространства Ь.
Согласно следствию $ $ 47 векторы х),) А~)зале удовлетворяют соотношениям (46АО): ~а Т(й) ь)- Х 4)(й) 4"). (-1 12 г. я, лкларсава Это означает, что все.они либо равны нулю, либо принадле)кат некоторому инвариантному надпространству Ь'"'~ ~ Ь, преобпазующемуся по представлению т«, причем векторы хь(а ()г 1, 2, ..., г,) образуют в Ы" канонический базис. Кроме этого, ясно, что вектор л(ь ) принадлежит подпространству однотипных вектороз Е(ьа' (7(— 1, 2, ..., з ). Поэтому решение второй основной задачи прикладной теории групп достигается следующим образом.
Выбираем в пространстве Ь какой-либо базис. Обозначим его е„ в„ ..., ез (Я вЂ” размерность пространства ( ). Строим последовательно векторы (а) (а) -. (а) Аы еы Ам его „.,'Ам еэ до тех пор, пока в этой строке не окажется т, линейно независимых векторов. Без ограничения общности будем считать, что ими окажутся первые т, векторов «(а) з(а) А(а) Аме((Ам ее( з Ам ем . Подберем множители рч рз...
„р „так, чтобы все векторы Аф(р,е;) были нормированы, т. е. имели равную единица норму. После этого положим (а,щ) (а) (щ) Г (щ) е, ' А„хв (хв ~ рщгщ), 4 Линейная оболочка этих векторое и 'является подпространством Е(г"). Остальные надпространства Е)"~ (~' . 1, 2, ..., з; а фиксировано)' строятся как линейные оболочки векторов (ащ) А(а) (щ) м хг (т — 1, 2, ..., ш„), (48.3) имеющих тот же индекс )', что и искомое подпространство. Е(а). Линейная оболочка векторов е(" ) (7'=1,2,...
..., г«, 'а и и фиксированы) есть инвариантное подпространство ЬЙ~, которое под действием операторов Т(у) преобразуется по неприводимому представлению т;. за Т(у)е)" ) ф т1~) (у) е) "'. (48.4) Формулы (48.3) дают решение второй основной зада чи прикладной теории групп. 178 Заметим еще, что канонический базис подпространства 1'"), содер)кащего произвольный вектор ««а (а) 'д (ав) «й» из подпространства Е», определяется соотношениями (а) "'а е() ) . ~'„, с е(" ), $49. Анализ приводимого представления Задача, решение которой мы приводим в этом параграфе, состоит в следующем. Известно'представление Т группы С, действующее в пространстве Т,.
Требуется выяснить, является ли опо приводимым. Если опо приводимо, то нужно узнать его «состав», т. е, узнать, суммой каких неприводимых представлений оно является. Иными словами, требуется в соотношении Т = ттт, + т»т» +... + т.т« (49.1) (о — общее число неэквивалентных непрнводимых представлений группы С) определить числа )по и)„..., т,, Задача будет решена с помощью полученных ранее соотношений ортогональности. При атом очень полезным оказывается понятие характера представления. Характером представления Т нагывае тел Яункцил )(т (у), определяемая как сумма диагональных матричных влементов оператора Т(у)) е )( (у) — ~~" Т (у) (у он С).
в» В линейной алгебре сумма диагональных матричных злементов оператора называется его следом и доказывается, что след не зависит от выбора базиса. Благодаря этому свойству при вычислении характера )(т(д) можно пользоваться тем базисом, в котором зто вычисление легче всего произвести. С другой стороны, базис можно выбрать так, чтобы стало очевидным соотношение Хт(у)'=, т12 (ь)+ т,д»(у)+...
+ т,)(,'(у)', (49.2) где ул(у) — характеры неприводимых,представлений т (1 1, 2,,, о). Делается зто так. 12« 179 Равенство (49.1) по определеияю означает, что про- странство Ь является суммой,ьп иь+ пьь+... + пь, над- пространств, вьа Т, - ~ Х,ь',) + ~ч'„* Х,Ц) + ... + ~ Кь'), вь 1 . п=ь т ь каждое из которых преобразуетсн под действием операторов Т(д) по соответствующему неприводимому представлению (надпространство Ь преобразуется по пред- (а) ставлению т,).
Пусть в)"") (1=1, 2,, в„) — канонический базис в подпространстве Ь . Объединяя базисы всех введен(а) ных в рассмотрение надпространств, получим базис пространства Е. Будем называть его каноническим базисом 'приводимого представления. Вычислим характер К, (ь ) в атом базисе. В качестве первого шага вычислим диагональный элемент матрицы Т(9), соответствующий базисному вектору в', "). Имеем ьа Ь„ Т (в) в; ) ~ таю (а) в~~" ь-ь Это равенство показывает, что вычисляемый диагональный элемент равен тд (б), Поэтому характер К,(а) ье) равен в вьа ььь, в еа в Хт(л) ~я~~~ ~~ ~ тьье (к) ~ ~ ~ Ха (к) ~~~ пьаХа(к) аьтьвь а=ь т=ь а ь Мы пришли к соотношеняю (49.2). Итак, интересующие нас числа )и, оказываются козффицивнтани разложения характера К,(д) по характврозь нвприводиных првдставлеььий.
Это позволяет получить удобную формулу для вычисления )и,. Из первой группы соотношений артогональности (46,4) следует, что характеры неэквивалентных неприводимых представлений ортогональны друг другу. Из соотношений (47Я) видно, что (Кю Ка) 1 (49.3) Учитывая это, умножим скалярно обе части разложения на Х„(а). Получим )па =(Хт, Кы) ° (49.4) Это и есть формула, с помощью которой, зная характер представления Т, можно вычислить все и, т. е. узнать «состав» этого представления. Она показывает, что два представления с одинаковыми характерами аквивалектны.
Заметим еще, что скалярный квадрат характера )»т, ()(т ут) и)), + т»+ ... + ив. (49.5) Это равенство позволяет отличать приводимые представления от неприводимых: если скалярный квадрат характера равен единице, представление неприводимо; если он больше единицы, представление приводимо. з 50. Теорема полноты и коэффициенты Фурье В этом параграфе будет доказана очень важная в теории представлений теорема, называемая теоремой полноты. Приведем ее формулировку. Теорема полноты: Любую функцию Р(й)' на конечной группе 6 можно разложить по матричным элементом неприводимых представлений, т, е, записать в виде Е (й) ~ч~ ~чЭ~ С")„т~'~„(Ь). (50.1) ) 1 ш,ь=) Заметим, что если такое представление имеет место, то его коэффициенты находятся просто. Достаточно обе части равенства скалярно умножить на т„, (Ь), чтобы ш) получить (р (а) ) ) ф~) «а Это есть прямое следствие из соотношений ортогональности (46.3) и нормировки (47.6).
Коэффициенты С~„'~„разложения (50.1) называются коэффициентами Фурье по аналогии с одноименными коэффициентами в теории тригонометрических рядов. . Доказательство теоремы полноты проводится специфически-групповыми методами и поэтому представляет значительный интерес. Обращает на себя внимание неожиданная сила этих методов. Доказательство. В качестве первого шага сопоставим каждому элементу у группы С оператор Т(у), действующий в пространстве Ф функций на группе $8$ и вадаваемый соотношением Т(й) р(й) - Мй) р(йй)' (50.2) где ~р(б)- произвольная функция на группе.
Легко видеть, что Т(е) ° Е и Т(л,)Т(у) р(й) = Т(л,)~р(й) = ~(йу,)= р(йу,у) - Т(у у)р(й); т. е. Т(И,)Т(у) Т(д,д). Операторы Т(д) образуют представление Т группы 6 в пространстве Ф, называемое резулярным иредставлением. Как в всякое представление конечной группы, представление Т является суммой пеприводимых представлений. Это означает, что пространство Ф можно представить в виде суммы подпрострапстз: а '"а Ф- ~э 5э Ф<„", причем все подпространства Фа~ (т = т, 2, ..., лт„) преобразуются под действием оператора Т(у) по одному и тому же неприводимому представлению т„; здесь т,— число, показывающее, сколько раз представление т, входит в регулярное представление Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
