1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 28
Текст из файла (страница 28)
152. в результате расщепления уровня Е, невозмущениой системы. размерности представлений т (с п„чь 0) дают нам кратности вырождения этих возмущенных уровней. Предположим, что.мы хотим найти предельную функцию )))(,„играющую роль первого вектора каноннческо(т) го базиса в подпространстве Ьь . Для этого, следуя об(т) щей схеме решения задач с группой симметрии, нужно найти в подпространстве Ь, надпространство Е), со(т) стоящее из тех векторов, которые играют роль первого вектора канонического базиса непрнводимого представления т„. Так как функция ())(,,~ заведомо принадлежит этому подпространству, то и искать ее следует в этом надпространства, что упрощает задачу отыскания предельных функций. Если надпространство Е(") одномерно (это означает, что представление т группы С содержится в представлении Т только один рав), то в качестве функции ()))л следует взять единственную (с точно(т) стью до постоянного множителя) нормированную функцию, содержащуюся в этом подпространстве.
В качестве примера рассмотрим электроны в поле ядра атома, помещенного в однородное магнитное поле. Здесь группа С, симметрии невозмущенной задачи, как уже говорилось, есть группа вращений П или ее накрывающая группа М. Группа 6 симметрии возмущенной системы — это группа поворотов вокруг оси 02. Пусть невозмущенный уровень энергии Е, соответствует состояниям с квантовым числом ), т. е. связан с неприводимым представлением )с),. Если представление )с)) рассматривать как представление группы поворотов вокруг оси 02, то оно распадается на (21+1) одномерных представлений этой группы: Поэтому уровень Е, расщепляется на (2) + 1) невырожденных уровней, Этот эффект был открыт экспериментально в 1896 г. Зееманом (нормальный аффект Зеемана), аадолго до появления квантовой механики. Впоследствии более тонкие эксперименты обнаружили дополнительное расщепление энергетических уровней. Об этом будет идти речь в следующем параграфе.
Подпространство Ь, содержит ровно (2) + 1) предельныл функций, Яз(и являются функции )()), образую1бд . щив канонический базис, связанный, с неприводимым представлением 2), зруппы В или М. Нвже будет показано, что при исследовании эффекта Зеемана можно получить с помощью теории групп значительно более далеко идущие выводы: Здесь же заметим лишь, что и е теории возмущений мы можем с помощью методов теории групп сделать интересные с точки зрения физики выводы, обходясь весьма скудной информацией о возмущении, $42. Спин электрона Результаты двух последних параграфов полезно проиллюстрировать на явлениях, связанных с существованием спина у злектрона.
Существование спина равнозначно прозаическому утверждению: «волновая функция электрона имеет две компопентыэ. Однако это прозаическое утверждение имеет исключительно важные последствия. В этой связи мы рассмотрим деа вопроса: влияние спина на энергетический спектр электрона в поле с центральной симметрией и влияние спина на расщепление энергетических уровней такого электрона при включении магнитного поля. Полученные результаты можно прнмешпь к водородоподобным атомам, у которых имеется один валентвый электрон, и, таким образом, подвергнуть вти результаты экспериментальной проверке. С хорошей точностью можно считать, что валентный электрон находится в центрально-симметричном поле, созданном ядром и остальными электронами.
При-этом подразумевается, что влияние валентного электрона на все прочие электроны пренебрежимо мало. Опишем в нескольких словах, как обстоит дело с обобщенным уравнением Шредингера для электрона, опвсываемого двухкомпонентвой волновой функцией (в релятивистской квантовой теории электроны описываются четырехкомпонентвой волновой функцией).
Если пренебречь некоторыми видами взаимодействий и релятивистскими поправками, то уравнение Шредингера для электрона в отсутствие электромагнитного поля состоит из двух совершенно одинаковых уравнений. Одно из них содержит только члены с 'компонентой $ '", другое — только члены с компонентой $"' двухкомпонентвой волновой функцией электрона: риз ° 154 Каждое из атих уравнений совпадает 'с обычным уравнением Шредингера. Взаимодействие, которым, как мы говорили, пренебрегают, называется спин-орбитальной 'связью (мы не будем пояснять происхождение этого термина).
В интересующих нзс случаях это взаимодействие является достаточно слабым, что позволяет применить методы теории воамущенв "~ для его учета. Роль невозмущенной системы играет прн атом воображаемая квантовая система, имеющая дзухкомпонентную волновую функцию и спин, равный. 4/2. Каждая из компонент этой функции удовлетворяет обыкновенному уравнению Шредингера.
На чем скажется наличие спина у невозмущенпой системы ()е если сравнить ее с системой Р„которая имеет скалярную волновую функцию и удовлетворяет тому же уравнению Шредингераб Прежде всего, удвоится кратность вырождения каждого энергетического уровня. В самом деле, пусть ń— один из энергетических уровней системы Р, с кратностью вырождения (2»+1) ((= О, $, 2, ...). Каждой волновой функции «э квантовой системы Р, в состоянии с энергией Е„можно сопоставить две различные волновые функции, ф ~ ) и ф ~ ), квантовой системы ()„отвечающие тому же значению Е„ энергии. Таким образом, у систем Д, и Р, энергетические спектры совпадают, а кратности вырождения у системы ~, вдвое больше кратностей еа»рождения системы Р,.
Теперь «включим» спин-орбитальную связь. Как она скажется на энергетическом спектре (мы сравниваем системы (3» и (,») р Учтем, что в силу нзотропии пространства возмущение, о котором идет речь, не нарушает сферической симметрии аадачи. По какому представлению Т группы вращений Е (или Я) преобраауется подпростркнство волновых функций системы Ч'„отвечающих энергии Е„т Размерность этого подкрострайства равна 2(И+ $). Ке следует, однако, думать, что Т вЂ” это просто сумма двух представлений Яь Так было бы, если бы при вращениях каждая из двух компонент волновой функции вела себя как скаляр. Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее. йб Пусть (ф„)'„1 — канонический базис в подпространстзе волковых функций системы Р, с энергией Е„. В соответствующем подпростракстее двухкомпокекткых волновых функций системы ч, в качестве базиса можно взять 2(21+ 1) функций Ф (о) г (о)=г' „рпо ( о ),„(о) „„,ине Подействуем яа каждую из этих функций произволькым вращеяием у ж Я: Т(у)ф" (г, 1)-ХЖе(е(у)ф"'(у 'г, 1)- ы ~Р~ (у тг~ 1) Х йре(а (у) е~ ~, (42 1) Учтем еще, что $„,(у 'г, 1) ~р~ йр~ (д) ф„,~ (г, 1).
т' Если подставить получекяое соотношение в равенство (42.1), стакет аско, что представлекие Т вЂ” это произведекие представлений Я~п Х Ыь Итак, отличие невозмущенной системы гг, от системы Р, состоит в том, что представление группы вращений, осуществляемое волновыми функциями гтих, систем, соответствующими одному и тому зее уровню Е„, в случае системы Р, есть 1й), (1= 0, 1, ...), а в случае системы Д, есть Т Ляг Х Я. К чему приводит зто различие, сформулированное в абстрактных терминах теории групп? Если 1 — 1, 2, ..., то представление Т-1й),ЛХУ,=а „.+Ум,д приводимо и распадается ка два неприводимых представления.
Это означает, что учет возмущения, связанного со сливом, приводит к расщеплению каждого экергетического уровня Е„с отличным от куля орбитальным моментом 1 ка два уровкя Е,,1 и Е„+д. Совсем по-другому обстоит дело в тех случаях, когда орбитальный момент равен нулю.
В этом случае представлекие Т кеприводимо, так как йРпз Х йр, = Я„ . Учет сник-орбиталькой связи и релятивистских аффектов ке приводит к расщеплепию уровкей с нулевым орбитальвым моментом. Этот вывод подтверждается спект- 156 роскопическими измерениями уровней энергии электронов в атомах (но не относится к атому водорода 'из-за свойственного этому атому дополнительного вырождения знергетических уровней). Рассмотрим еще одно явление, связанное с существованием спина у электрона.
Речь будет идти о расщеплении энергетических уровней атома при внесении его в однородное магнитное поле. Для простоты будем говорить о водородоподобных атомах. Магнитное поле будем. считать достаточно малым, чтобы можно было пользоваться теорией взмущений.
В качестве невозмущенной системы возьмем уже описанную систему Ч,. Роль возмущения предоставим магнитному полю вместе со спин- орбитальной связью и релятивистскими эффектами. Пусть К~, ~ — один из энергетических уровней системы Р, (со скалярной волновой функцией), причем индекс ( характеризует квадрат момента.
Как было показано, число Ь",'л является одновременно и одним из энергетических уровней квантовой системы (),. Отличие, однако, состоит в том, что атому уровню соответствуют два значения полного момента: /'=) — 1/2 и / (+1/2. Исключение составляет случай 1 — О, которому соответствует единственное значение момента у 1/2. Под влиянием возмущения уровень Е"л расщепляется. Волновые функции, соответствующие моменту 1 ° ( — 1/2 (1чь О), порождают 2( уровней, волновые функции, соответствующие моменту ( = 1+ 1/2, дают еще (21+ 2) уровней. Таким образом, уровень Езл расщепляется на 2(21 + 1) возмущенных уровней. Если 1 О, то / 1/2, и мы получаем два возмущенных уровня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
