1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Начнем со случая, когда нет случайного 'вырождения. Группу симметрии будем считать группой вращений Л (или М); если квантовая система имеет и другие элементы симметрии, то здесь' 'мы будем их игнорировать. Пусть Е Е. — один из знергетических уровней. Совокупность всех волновых функций, принадлежащих этому уровню, образует подпространство, которое мы обозначим Ь„. Так как случайного вырождения нет, то подпространство Е, преобразуется по некоторому неприво. 446 дикому представлению йр, группы уг (или уу) и, следовательно, имеет размерность (2у+ 1). В этом подпространстве существует канонический базис тр'', т. е. (21+1) . функций, которые при вращениях преобразуются друг через друга в соответствии с табличными матрицами олераторов представления Я>~'(см. э 15). Каждая волновая функция $' характеризуется, во-первых, числами у и т (которые указывают на то, что в состоянии фу квантовая система имеет квадрат момента, равный у(у+1)Ь', и проекцию момента на ось ОЯ, равную тй) и, во-вторых, значением энергии.
Уровни энергии снабжают обычно двумя индексами: Ем — смысл индекса у мы объяснили ранее, индекс я нумерует в возрастающем порядке уровни Еу„с одним и тем же значением индекса у: Ев < Ев « ... Е,„ < ... Индекс и называют главным квантовым числом. Базис в пространстве всех волновых функций получается путем объединения базисных волновых функций, построенных указанным образом во всех подпространствах Ь„. Каждая базисная функция характеризуется, таким образом, тремя квантовыми числами: л,у,т, если нет случайного вырождения, В случае вырождения положение меняется. Трех квантовых чисел уже недостаточно для характеристики базисных функций.
Этот случай обсудим на примере, который интересен и сам по себе. Рассмотрим квантовую систему Ч, состоящую иэ двух невэаимодействующих подсистем Ч', и ~,. Пусть каждая из подсистем имеет группок симметрии группу вращений. Это означает, что задача (уравнение Шредингера) симметрична относительно пар вращений (ло л,): вращение л, проиаводится над подсистемой ф, вращение л,— над подсистемой ~,. Между собой вращения у, и л, никак не связаны — каждое иа них является соверпуенно произвольным вращением. Построим бавис в подпространстве Ь„волновых функций, описывающих стационарные состояния с знергией Е„.
По самому определению стационарного состояния (вероятности результатов любого измерения не должны 10~ 147 зависеть от времени) система (,) находится в стационарном. состоянии тогда и'только тогда, когда каждая ив подсистем находится в стационарном состоянии.
Пусть Е„, и Е„,— энергии подсистем Д, и ()1 в рассматри- (1) (1) ваемом стационарном состоянии. Энергия всей системы Будем считать, что никакие два других энергетических уровня Е, и Е, подсистем не могут дать в сумме П) (1) значение Е~1„1, т. е. что равенство Е' + Е ', (1) (1) ° Е, + Е„, возможно только в тривиальном случае: (1) (1! "1 ш1 я„ш1 и1.
При этом ограничении энергия К„, однозначно определяет оба уровня: Е,, и К Уровни Е„; и Е„, будем предполагать свобод- (1) (1) ными от случайного вырождения. Это означает, что им соответствуют два соверщенно определенных квантовых числа ), и у1. Поэтому подпространство Ь„характеризуется тремя квантовыми числами: Е „, У1„1з. Построим в подпространстве' Ь„базис и выясним, сколько квантовых чисел понадобится дополнительно для обозначения базисных функций. Рассмотрим два разных способа выбора базиса. П е р в ы й с п о с о б. В качестве базисных функций возьмем сначала волновые функции, описывающие состояния системы 9;) + Дь в которых подсистемы (), и Д1 имеют определенные значения проекции момента на ось 02.
Полный набор квантовых чисел при этом выборе базиса таков: К~ !о 11~ )нь Л)а~ где т1 и т1 — проекции момента. Соответствующие волновые функции обозначаются )1)1 (гв и В то р о й с и о с о б. Мы знаем, что подпространство Б„ в рассматриваемом случае преобразуется по произведению йр), Х я)), представлений, соответствующих уровням Е„и Е„. Одно из общих свойств группы вра- (1) (1) 448 щений состоит в том, что это произведение раалагается в сумму неприводимых представлений по формуле !й>;1 Х Ю1, — Ж!1,-1,! + Ж!1,-1,(+1+ ° ° ° + Ж!,+~,.
По определению это означает, что подпространство Ь„ есть сумма подпространств: 12+12 Е ~ 20) ' 01 ~2! преобразующихся по неприводимым представлениям Жь Подпространство Ь,' состоит из тех волновых. функций системы ф которые описывают состояния с определенным значением Квадрата момента, равным М =7(1+ 4)л ° В каждом из этих подпространств построим канонический базис 1 2 2!2м1 ' (М вЂ” 1, — у -(- (, ..., у). Объединяя все эти базисные элементы, получим новый базис в подпространстве Ь,. Произведя еще одно объединение, получим базис в пространстве всех волновых функций.
Функции этого базиса характеризуются другой пятеркой квантовых чисел: Е, у12 6, г1 122. Всякую волновую функцию системы 22 можно представить в виде суммы базисных функций, взятых с соответствующими коэффициентами. В частности, это отно- 1112 сится к функциям 2Рз„~. Поскольку функция 2(2в принадлежит подпространству Ь„, то она выражается че- 111 1 рез функции 2рвм с теми же зйачениями квантовых чисел Е, у, и у,. Коэффициенты разложения 11 2-22 !А 31Ц 2Ь„1„= ~2~~ ((Ат,тз 1! /, тг + т2) 2рл1 (40Л) 1=(11-!2! 1 2 по определению есть коэффициенты Клебша — Гордана (см. т 17).
Равенство (40.1) играет существенную роль при исследовании различных квантовомеханических процессов: $49 В качестве примера рассмотрим задачу о столкновении двух различных частиц. До столкновения частицы не взаимодействовали. Если состояние одной из них характеризовалось квантовыми числами Е„), и лго а другой — числами Е„(, и жь то до столкновения волновая функция системы, состоящей ~ь~а из этих двУх частиц, была ~ул,+лг,~,. ПРи измеРении квадрата момента такой системы вероятность получить значение Л1' *у(1+ 1)л' согласно равенству (40.1) и основным положениям квантовой механики равна квадрату модуля соответствующего коэффициента Клебша — Гор'- дана: Ц11)хгл,тЦ, лз, + лзз) ('.
(40.2) Поскольку рассматриваемая система двух частиц обладает сферической симметрией не только до столкновения, но и в процессе столкновения, то согласно ваконам сохранения эта вероятность не иаменяется с течением времени. Зто значит, что и после столкновении вероятность обнаружить систему в состоянии с М* 1(у + 1)В' дается тем же выражением (40.2). Итак, нам удалось вычислить вероятности рааличных реаультатов измерения квадрата момента двух частиц после столкновения, ничего не зная о характере сил взаимодействия( Мы получили результат, который, как принято говорить, не зависит от модели, т.
е. от тех нестрого обоснованных предположений и догадок, которые хотя и позволяют довести до конца расчет того или иного процесса, но не дают уверенности в том, что полученные результаты имеют отношение к действительности. Можно посмотреть на полученные выводы и по-другому, Они доказывают, что, ограничиваясь измерениями квадрата момента, экспериментатор принципиально не может ничего узнать о характере взаимодействия частиц.
Просто потому, что, какими бы ни были силы взаимодействия, результат такого эксперимента всегда будет одним и тем же — тем, который выражается формулой (40.2). Наконец, полученный результат можно использовать для проверки правильности работы экспериментальной установки. Сделаем еще одно замечание. Определение возможных значений квадрата момента двух частиц после столкновения и определение вероятностей этих значений пе потре- тьо бовало никаких вычислений.
Достаточно было воспользо- ваться решением второй основной задачи для произведе- ния двух неприводимых представлений группы вращений Я или ее накрывающей группы А (см. $$17, 24). 5 41. Теория возмущений и симметрия Вернемся к вадачам квантовой механики, которые возникают в теории возмущений. Возмущенную и невозмущенную системы, будем по-прежнему обозначать соответственно буквами 9 и Д,. Предположим, что обе системы обладают группамн симметрии 6 и 6, соответственно, причем группа 6 беднее группы 6,: 6 с 6,. Так, если невозмущенная система — зто несколько влек- тронов в поле ядра, то ее группа симметрии — зто группа вращений Е (или накрывающая группа В).
Если теперь включить однородное влектрнческое или магнитное поле, параллельное оси, ОЯ, то получим возмущенную систему е менее богатой группой симметрии — группой поворотов вокруг оси 02. Пусть Е, — один из энергетических уровней системы ф. Под влиянием возмущения он расщепляется на несколько уровней: Е,(е), Е,(е), ..., Г,(з), (41.1) где е — параметр, характеризующий интенсивность возмущения. Каждый из этих уровней может быть вырожденным. Для простоты будем считать, что у уровней (41 1) нет случайного вырождения, По определению зто означает, что подпространство Ц(е) (Й ° 1, 2, ..., з) волновых функций, соответствующих уровню Е„(з), преобразуется по некоторому неприводимому представлению т„(е) группы 6.
В пространстве Ь,(е) существует канонический базис тр)Ч (1 1, 2, ..., оь) (т. е. матрицы представления т„(е) в этом базисе совпадают с табличными матрицами). Существенно, что представление т,(е) в действительности не зависит от параметра е! В самом деле, базисные волновые функции можно при каждом значении е выбирать так, - чтобы . они изменялнсь непрерывно с зИ уменьшением параметра е. Между тем переход от функций, преобразующихся по одному неприводимому .представлению, к функциям, преобразующимся по другому неприводимому представлению,— это всегда скачкообразный переходе). Поэтому представление т„(с) не изменяется с изменением е и при всех с совпадает с одним и тем же неприводимым представлением т,. Отсюда также следует, что предельные волновые функции Ф.о = Пп) Ф.э (ы (ь) т- э преобразуются по этому же представлению т„и, болев того, образуют в нем канонический базис.
Последнее означает, что задача отыскания предельных функций имеет в качестве группы симметрии группу С. Рассмотрим эту задачу более подробно. Представление Т группы С„по которому прообразу« ется подпространстео Ее можно рассматривать как представление подгруппы С (если игнорировать все операторы Т(я), относящиеся к тем элементам б, которые ве принадлежат подгруппе С). Как и всякое представление группы С, его можно представить в виде суммы неприводимых представлений: Т ~ и т (и О, 1, 2,, ), I В соответствии с этим подпространство Е, расщепляется на сумму подпространств: е.-Х Х ~Г'.
ФВ преобраэующихся по . неприводимым представлениям группы С, причем все подпространства Ь~~ ) (й 1,2,.. ..., и„) преобраауются по одному и тому же неприводимому представлению т . Общее число неприводимых представлений, содержащихся в представлении Т, т. е. сумма -Х-, есть число уровней возмущенной системы, получившихся ь) Предполагается, что множество (т) всех попарно неэкэнвалентных ненрнэоднмых вредставленнй труппы 6 конечно нлк счетно, т. е.может быть нерэнумероэано с помощью целых чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
