1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Оказывается, что плотность вероятности и~(х, у, г) очень просто выражается через волновую функцию, взятую в момент измерения С = С~.' со(х, у, г)= !ф(х, у, г, С,)!', (30.3) — она равна квадрату модуля волновой функции! Таким образом, вероятность обнаружить частицу в заданной области пространства также определяется ее волновой функцией в момент измерения. $ 31. Норма и скалярное произведение волновых функций Связь (30.3) между плотностью вероятности и волновой функцией позволяет получить важное свойство' волновых функций ф(г, С) одночастичных квантовых систем.
Вероятность р(У) найти частицу в области т' не может быть больше единицы; если Р— зто все пространство, то зта вероятность равна единице. Учитывая формулу (30.2) и равенство (30.3), получаем отсюда два соотношения: ~)ф(г, С)!'йу~1, ~)$(т, С)! СС" 1 (31.1) (интегралом без указания области т' мы обозначили интеграл по всему Ссространству).
Если С(г) — произвольная функция, то интеграл 1(1(г) ! СС'т' (31.2) т не убывает при расширении области т". Когда область т' неограниченно расширяется, или, как говорят, «стремится ко всему пространствуз, возможны два случая: интеграл (31:2) стремится к бесконечности или стремится к конечному пределу. В последнем случае функция С'(г) называется квадратично йптегрируемой, а величина !!1!! ( ~ (С(г) !«Сурсг 120 сохраняются соотношения у ц-~~ р, $У + Я'(2(5Я'+6Я'), 1(Уы Уа)! < ~ (5Ут Р + 3Уа)') и формула дифференцирования, Две функции называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Для ортогональных функций справедлива «теорема Пифагора»: ПУ, + У,П*- ПУ,Н'+ )У,)* ((Уо У,)-О) — далеко идущее обобщение известной теоремы Пифагора о прямоугольном треугольнике.
Фундаментальное значение понятия нормы в квантовой механике станет ясным, если мы скажем, что условие, которому должны удовлетворять собственные функции в равенстве (29.3), заключается в следующем — норма каждой собственной функции должна быть равна единице: йф(го гы..., г.)т' 1 () = т, 2, ..., т, ...)'. Это условие называется условием нормировки. Без него нельан сформулировать правило вычисления вероятностей различных исходов эксперимента. 5 32. Уравнение Шредингера «Жизньь всякой квантовой системы можно представить себе как смену спокойных периодов и периодов скачкообразных изменений, сопровождающих акты намерения.
В процессе измерения волновая функция нзменнется скачкообразно. В противоположность этому промежутки вре- ' мени между измерениями — это спокойные периоды в жизни квантовой системы, периоды внутреннего развития, ненарушаемые взаимодействием с измеряющими приборами. Оказывается, что в эти промежутки времени волновая функция изменяется плавно и, главное, совершенно детерминированно е): если известна волновая функция квантовой системы в момент т бо то ее можно вычислить в любой последующий момент тт этого промежутка времени. ° ) Детерппнпрозаппое рааннтне, детермнппропанный процесс — рааептпе нлн процесс, не подверженные влпянню каких- либо случайнь|х обстоятельств; тачанке детерпяннрооанного процесса может быть предсказано с абсолютной узеренпостыо, 122 Для фактического вычисления волновой функции в момент г, используется известное уравнение Шредингера, имеющее следующую структуру: — — =Йр дг $ д1 где Н вЂ” некоторый оператор, называемый оператором Гамильтона.
Его конкретная форма зависит от сил, действующих на частицы, составляющие рассматриваемую квантовую систему. Физическая. величина, которой соответствует оператор Гамильтона, есть энергия системы. Уравнение Шредингера сзяаывает скорость иаменения волновой функции, т. е. производную д~р/дГ, с самой волновой функцией: для вычисления этой скорости следует применить к волновой функции оператор Гамильтона. Интуитивно ясно, что если известна функция ф в некоторый начальный момент времени и скорость ее иаменения во все последующие моменты, то можно со сколь угодно большой точностью вычислить волновую функцию в любой последующий момент времени. Это интуитивное соображение подтверждается строгим математическнм аиалиэом уравнения Шредингера.
Введенное ранее понятие скалнрного произведения двух функций позволяет сформулировать важное свойство операторов Гамильтона: операторы Гамильтона являются зрмвтоеыми операторами. Это означает следующее. Если ~р и р — две квадратично интегрируемые функцни и если такими же являются и функции Н~р и Й~, то имеет место тождество (Йф, р)-(р, Й$). Отметим здесь одно следствие зрмитовости оператора Гамильтона. Если ~р н $ — два каких-либо решения одного н того же уравнения Шредингера, то их скалярное произведение не изменяется с течением времени: (~р, ~р) сопз1.
Доказательство получается простым вычислением: (~р 1р) (~р 1г) + (т 1р) И'р 1р) + (Ю гм1р) -г(ггр, р) — ~(ю, Йр)-о, Равенство нулю производной означает постоянство ска- лярного произведения, $23 В релятивистских квантовых теориях волновые функции имеют, вообще говоря, несколько компонент, т. е. являются вектор-функциями.
Они удовлетворяют системам уравнений, которые'можно ааписать символически в том же виде, что и уравнение Шредингера: — — Н~. '1 д1 (32.1) Число компонеит волновой функции, так же как и оператор Гамильтона Й, различно для разных элементарных частиц. Нас будут интересовать только общие свойства уравнении типа (З2.1). Поэтому все такие уравнения будем называть одинаково: обобщенными уравнениями Шредингера.
Оказывается, что и'для многокомпонентных волновых функций можно ввести понятие скалярного произведения и что операторы Гамильтона, фигурирующие в различных обобщенных уравнениях Шредингера, зрмитовы относительно соответствующего скалярного произведения. В дальнейшем, говоря об уравнении Шредингера, мы будем иметь в виду как, собственно, это уравнение, так и его обобщенную форму. й ЗЗ. Стационарные состояния квантовых систем В квантовой механике особую роль играют те состояния квантовой системы, в которых вероятности результатов любого измерения не зависят от того, в какой момент времени произведено измерение.
Такие состояния называются стационарными. Они наиболее удобны для экспериментального изучения. Этим, вероятно, и объясняется их важная роль. Какой вид имеет волновая функция системы, находящейся в стационарном состоянии? Ее модуль пе должен зависеть от времени, и, кроме того, как и всякая волновая фуикция, сама она должна удовлетворять уравнению Шредингера. Из этих двух ее свойств легко вывести, что волковая функция системы, находящейся в стационарном состоянии, представима в виде следующего произведения: ф = ем'ф~(х, у, з), (33.1) где $з(х, у, х) — квадратичио интегрируемая функция, удовлетворяющая так называемому укорочеяному .уравнению Шредингера Щл = Еф~.
Мы видим, что ~,. является собственной функцией оператора Гамильтона 11, а Š— соответствующее ей собственное число. Следовательно, формула (33.1) определяет некоторое стационарное состояние системы только в том случае, когда параметр Е совпадает с одним из собственных чисел оператора Гамильтона: Е, Кз ...Е~ Таким образом, параметр Е есть энергия системы, а точечный спектр оператора Гамильтона — зто набор воз.чожных значений знергии изучаемой квантовой системы. Из сказанного также следует, что стационарные состояния системы — зто состояния, в которых ее знерзия имеет совершенно определенное значение. Кратность собственного числа Е оператора Гамильтона называется в квантовой механике кратностью вырождения энергетического уровня Е.
Если кратность больше единицы, уровень называется вырожденным. Легко показать, что волновые функции стационарных состояний, отвечающих различным уровням энергии Е и Е„, взаимно ортогональкы. Это — общее свойство зрмитовых операторов.
Оно доказывается так. Будем исходить из тождества (Ет 1г.) = И Й1г.) ° Учитывая, что Щ =Е ~р и Щ =Е.чн, получаем Е-(р-; р.)=Е.()-, ~р.) (33.2) (здесь ń— число, комплексно-сопряженное ' числу Е„). Положим, сначала т=п. Тогда (~у„, ~у„)= Ц„Р>0, и после сокращения получаем Е =К, т. е. все собственные числа оператора Гамильтона вещественны. В связи с зтим равенство (33.2) можно переписать так: (ń— Е„) Ц„, ~р„) = О.
Если Е чьЕ„, то отсюда вытекает ортогональйость собственных функций Ф и 1г: (,з„,,з„)-О (Е„Е.), т25 5 34. Квантовые числа Предположим, что квантовая система находится в стационарном состоянии с энергией Е К„. Если энергетический уровень Е„ невырожден; то утверждение: чэнергия квантовой системы равна Е„» определяет не только энергию,ио и волновую функцию, впрочем, только с точностью до произвольного множителя, по модулю равного единице. Несколько сложнее обстоит дело в случае, когда энергетический уровень Е„вырожден. Прн этом приведенное выше утверждение, Е Е, определяет только поднространство волновых функций, которому принадлежит волновая функция квантовой системы.
Для задания волновой функции ф (опять-таки с точностью до множителя, равного по модулю единице) нужны какие-либо дополнительные сведения. Пусть это будет сообщение типа: «состояние квантовой системы является собственным для физической величины а и соответствует значению а а„>. Потребуем, как это обычно делается, чтобы оператор а, соответствующий физической величине а, коммуяировал с оператором Гамильтона, т.
е. чтобы выполнялось операторное равенство а,Й* Йа,. Это условие удобно тем, что оно, как правило, легко проверяется и гарантирует следующее свойство оператора а,: всякую волновую функцию $, описывающую стационарное состояние системы с энергией Е„, оператор а, переводит в некоторую, вообще говоря, другую волновую функцию, которая также описывает стационарное состояние системы и притом с той же энергией Е„. В самом деле, имеем Я(аьЯ вЂ” (Йа) ~р айф аЕ„гр К„аф, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
