1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

в ряде случаев — по полуцелым числам), а функции Р,„„(0), Р.„,,(0) счи- тать определенными равенствами (24.1). Глава б О КВАНТОВОИ МЕХАНИКЕ Наиболее впечатляющие приложения теории групп относятся к нвантовой механиие. Для того чтобы рассказать о них, необходимо сначала познакомить читателя с некоторымн основными иоложениямк квантовой механики. Эта задача представляется очень т удиой. Для ее облегчения выбран метод, состоящий в тоьь чтоы сообщать читателю только те сведения, которые действительно нужны для понимания роли теории групп, и обходить молчанием все остальное, сколь бы важным оно ни было для самой квантовой механика.

Так, говоря о роли основополагающего уравнения Шредингера, мы ни разу не выпишем его в явном виде в не будем объяснять, как оно составляется. Этот подход оправдывается тем, что для применения методов теорви групп важен не столько коннретиый внд вадачи, сколько ее симметрия и описание того множества Ь, среди елемеитов которого снедует искать решение. То, что мы не выписываем уравнения Шредингера в явном виде, ограничиваясь только описанием его структуры, можно рассматрввать кан наглядную демонстрацию втого свойства прнкладной теории групп.

С другой стороны, такой метод наложения может представить для читателя известные трудности.Многим будет неприятно виакомиться с рассуждениями, в которых фигурирует не известное им уравненве Шредингера. Их не удовлетворит описание и разъяснение тех свойств, которыми это уравнение обладает и которые достаточны для понимании приводимых рассуждений.

Желатель'но, чтобы этв читатели преодолели свое предубеждение против такого наложения в поверили, что усвоение всех понятий, необходимьгх для фактического написания уравнения Шредингера, потребовало бы от них вначвтельных усилий, а для вашей основной цели — понять принципы приневолил теории групп — было бы бесполезным. $26. Первая особеииость иваитовой механики Курсы квантовой механики начинаются обычло с изложения тех фактов, которые решительно противоречат классической физике — электродипамике Фарадея — Максвелла и механике Ньютона. Все ати факты относятся к микромиру — молекулам, атомам и их составным частям.

В дальнейшем ради краткости будем называть все такие объекты квантовыми системами, подчеркивая тем самым, что для их изучения 'необходимо пользоваться представлениями и ааконами квантовой механики. Заметим, что, знание свойств микромира необходимо для объяснения многих явлений в области макроскопиче1$0 скнх тел. Например, оптические свойства кристаллов, их поведение в магнитном поле, удивительные свойства полупроводников, природа химической связи и периодический закон Менделеева — все это и многое другое получило исчерпывающее объяснение в рамках квантовой механики. В втой главе расскажем, как представляет себе совре.

менная наука основныв свойства квантовых систем. Начнем с поведения квантовой системы в тот момент, когда над ней производят какое-либо измерение, например,.измеряют ее энергию, момент количества движения или координаты одной из содержащихся в ней частиц. Скажем прямо, система ведет себя удивительным образом — результат измерения, как правило, является случайным.

И это происходит вовсе не потому, что мы чего-нибудь не внаем о квантовой системе в момент, когда производится измерение. Согласно квантовой механике две совер- ' шенно одинаковые квантовые системы, находящиеся в совершенно одинаковых условиях, подвергнувшись одному и тому же измерению, дадут, вообще говоря, различные реаультатые). Это свойство настолько удивительно, что читатель, если он раньше об этом не слышал, может подумать, что неправильно понял прочитанное.

Возникает естественный вопрос. Что жв может квантовая механика, если она не умеет предсказать результат измервнияг На этот вопрос существует совершенно определенный ответ. Кеаитоеая механика может вычислять вероятности различных случайных исходов измерения) Когда от явлений микромира мы переходим к макроскопическим свойствам материн (например, к теплоемкости, злектропроводности, сверхпроводимости и пр.), то оказывается, что анание вероятностной картины на микроуровре позволяет делать совершенно определенные, нв зависящие от каких-либо случайностей выводы. Как объясняет квантовая механика случайный характер результатов измеренияг Никак не объясняет! Квантовая механика так же мало занимается этим вопросом, как, скажем, классическая механика занимается вопросом, почему тело, на которое нв действуют никакие силы, продолжает двигаться, а нв останавливается.

Обычный отлет: «по инерции» эквивалентен ответу: «таков закон ° ) Есть очень важное исключение нэ этого правила. О нем будет сказано э 1 27, 111 природы». Такой же ответ следует дать и на вопрос о случайном характере результатов намерения. Вероятно, вопрос о движении по инерции очень волновал ученых и философов — современников Ньютона.

Сейчас этот вопрос потерял остроту, а постановка такого вопроса может вызвать недоумение. Вопрос о роли случая в квантовой механике еще и сейчас вызывает споры, хотя большинство фиаиков и философов, интересующихся этим вопросом, считают, что в квантовой физике мы столкнулись с новым видом аакономерностей (а именно с аакономерностями, определяющими не сами исходы экспериментов, а вероятности различных исходов) и что такое положение вещей является вполне удовлетвори-, тельным с философской точки эрения. и 27.

Вторан особенность — волновой характер квантовых систем Предостережем читателя от следующего неправильного толкования случайного характера реаультатов намерения. «Допустим, мы измеряем координату частицы л. Предположим, что до измерения она была равна л,.

При намерении в реаультате погрешностей прибора мы можем получить рааличные реэультаты: хь я„... Этим и объясняется случайный характер результатов измерения. Просто квантовая механика учитывает принципиальную не- воэможность сколь угодно точных измеренийл Если бы это было так, то предскаэанные квантовой механикой вероятности результатов измерений были бы равными для приборов раэличного класса точности. Между тем эти вероятности зависят только от состояния квантовой системы и не вависят от выбора иамеряющего прибора. Погрешности намерения лишь вносят небольшие поправки в картину вероятностей, предписываемую эаконами квантовой механики., В приведенном выше рассуждении ошибка кроется в самом неожиданном месте — в предположении, что до измерения координата равнялась х«.

Согласно квантовой механике она ничему пе равнялась! Воаможно ли это7 Возможно, если частица при ближайшем рассмотрении оказывается не частицей, а волной. Ведь у волн нет координат) Что же в гаком случае овначает иэмерение ко- ординатыР Это «насильственный» перевод частицы иа состояния «волна» в состояние «частица» с координатами жо уо йр.

Это «насилие» совершается кад частицей иэме 112 ряющим прибором и состоит только в том, что ее «заставляют» перейти в состояние «частица» с определелкым положением в пространстве, одяако измеряющий прибор яе оказывает никакого влияния иа выбор этого положеяия. Выбор является, как уже говорилось, случайным. Вероятности различных положений частицы в пространстве зависят только ог ее состояния до измерения. Эти вероятяости ке зависят от измеряющего прибора. Подобное же положение имеет место и при измерении других физических величин (ввергли, импульса и пр.), впрочем, с одним отличием. В некоторых состояниях квантовой системы результаты измерения являются неслучайными, а совершеяяо определенными, детермииироваикыми,— их можно предсказать заранее, Все состоянии квантовой системы можно разбить по отиошекию к измеряемой величине, обозначим ее буквой а, яа два класса: состояния, в которых квантовая система имеет определенное зяачеиие величины а (собственные состояния), и состояния, в которых квантовая система ие имеет определенного аяачеиия величины а, подобяо тому, как волка ие имеет определенных координат х, р, г.

Если квантовая система находится в состоянии с определенным аначеяием а а„то измерение дает то же зяачеяие а,. В противном случае результат измерения случаен, а законы квантовой механики позволяют вычислять вероятпости всех возможных результатов измерения величины а. При измерении величины а под действием измеряющего прибора состояние системы изменяется скачком. Это еще одна особенность микромира, обнаруженная квантовой механикой,— нельзя провести измерение фиаической величины', ке измеяив радикально состояния квантовой системы. 5 28.

Точечный и непрерывный спектры Пусть а — какая-либо физическая величина. Мы уже говорили, что, результат измерения етой величины случаея. Добавим теперь, что в ряде случаев ке всякое число х может получиться в результате измерения. Всв действительяые числа можно по отношению к величиие а разбить иа два класса: класс чисел, которые могут получаться в результате измереяия, и класс чисел, которые при измерении никогда яе получаются. Нас будет интересовать только первый класс чисел. 8 г. я.

лиза»»зза Первый класс чисел, т. е. воаможные эначения величины а, называется ее спектром. Каждое число этого класса называют точкой спектра. Окаэывается, что множество всех точек спектра целесообразно разбить на две совокупности. Первая иэ них навывается тол«члыд«спектроэ», вторая — непрерь»влъив сяелгром. Определяющим свойством каждой точки я, принадлежащей точечно»1у спектру, является то, что вероятность события «реэультат измерения величины а окаэался равным х» строго положительна. Числа, входящие в точечный спектр величины а, будем обоэначать той же буквой, но с порядковым индексом: а„а„... я„, Мы видим, что на долю непрерывного спектра остаются только те эначения л, вероятность получения которых равна нулю! Что это, собственно, оэначает? Не следует думать, что результат намерения не может окаэаться числом иэ непрерывного спектра. Точки непрерывного спектра наполняют один, несколько нли бесконечное множество интервалов.

Каждый такой интервал содержит, рааумеется, бесконечное множество точек, и хотя вероятность у каждой отдельной точки совпасть с реэультатом намерений равна нулю, вероятность того, что одна иэ точек интервала совпадает с реэультатом намерения, полож»~- тельна. Иэ сказанного следует, что для описания вероятностей всевоэможных ревультатов намерения величины а нужно для точечного спектра укааать вероятности р„ р„ ... ..., р„, ...

Характеристики

Список файлов книги