1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Однако в силу равноправности инерциальных систем К, и К, каждая из этих шестерок должна удовлетворять уравнениям Максвелла. Это означает, что операция Т(Ь), переводящая электромагнитное поле в системе К, в электромагнитное поле в системе К, Ь-'Кь должна быть операцией симметрии для системы уравнений Максвелла (точнее, для аадач об определении всех электромагнитных полей, удовлетворяющих уравнениям Максвелла).
Простая проверка подтверждает этот вывод, если исходить нз предположения, что лри повороте системы координат полй Е и Н, рассматриваемые в фиксированной точке пространства, преобразуются как векторы, т. е, по представлению р Ы, группы вращений. Всякое другое предположение о представлении р, которому подчиняются компоненты электромагнитного поля в фиксированной точке пространства, оказывается несовместимым с уравнениями Максвелла. Это означает, что уравнения Максвелла навяаывают характер изменения компонент электромагнитного поля при повороте системы координат. Подобным же образом связано и любое другое физическое поле с той системой уравнений, которая им управляет (которой оно должно удовлетворять).
Система уравнений, управляющая данным физическим полем, определяет (как яравило) и то представление р, по которому преобразуются при вращениях компоненты втоео поля в фиксированной точке пространства. Вернемся к электромагнитному полю. То, что уравнения Максвелла инвариантны относительно вращений, 94 вовсе не означает, что группа симметрии этих уравнений сводится к группе вращений. И, действительно, в 1904 г. Лоренц обнаружил, что система уравнений Максвелла сохраняет свою форму при следующих преобразованиях координат, времени и компонент поля: У 1 — и«/сз У 1 — из/с Еи + ( / ) Нс Е, — (и/с) Ни У 1 — из/сз - с 1 — из/с ̈́— (и/с) Е, Н, + (и/с) Е 1 — и~/с У 1 — из/сз где и — произвольный параметр, с — скорость света. Первая строка — это ставшие знаменнтыми после работ Пу.анкаре и Эйнштейна преобразования Лоренца.
Они образуют группу: произведение двух таких преобразований с параметрами и, и и, есть преобразование с параметром и= и +и (20.1) 1+и и/с Теория относительности Эйнштейна выяснила физический смысл этих преобразований: вторая строка — формул Лоренца показывает, как преобразуется электромагнитное поле в фиксированной точке пространства в фиксированный момент времени при переходе от одной инерциальной системы координат К, к другой К„движущейся вдоль осн л системы К,. При атом параметр и есть не что иное, нак скорость системы К, относительно системы К,. Формула (20.1) дает поэтому закон сложения скоростей.
Наибольшей неожиданностью оказалось утверждение теории относительности, что первая строка формул Лоренца описывает реальное изменение не только координат, но и времени при переходе из одной инерциальной системы координат в другую. Это противоречило, казалось бы, единственно возможному представлению о том, что время абсолютно, т. е. «течетз с одной и той же «скоростьюз во всех системах отсчета. Из атой истории хочется сделать следующий вывод. Система уравнений того или иного физического поля может оказаться «умнее своего создателя». Максвелл, записавпшй уравнения электромагнитного поля, по-видкмому, не подозревал, что они обладают симметрией, обнаружен- 95 вой еатем Лоренцем и объясненной Эйнштейном, Точнее система уравнений физического поля может обнаружить симметрию, физический сммсл которой до поры до времени остается неясным.
Чем больше вааимных евявей учитывает теория, тем, вообще говоря, богаче ее группа симметрии. Поясним это наблюдение на примере уравнений Максвелла. Если электромагнитное поле очень медленно изменяетсн со временем, то свяэь между влектрической и магнитной компонентами этого поля становится очень слабой. В предельном случае мы получаем два несвяеанных друг с другом поля: влектрвческое и магнитное и две системы уравнений: влектростатнки и магнитостагики.
Ни одна нэ этих систем не имеет в качестве группы симметрии группу Лоренца; И только уравнения Максвелла, учитывающие взаимодействия етих полей, обнаружили группу более высокой симметрии, нежели группа вращений; группу, объединяющую лреобразования Лоренца и преобрааованпя вращенвя. Ведущиеся в последние десятилетия поиски группы симметрии гипотетической системы уравнений, управляющей елементарными частицами, показывают, что чем выше симметрия предполагаемой группы, тем большее число разновидностей элементарных частиц укладывается в рассматриваемую схему. Скажем несколько слов о представлениях группы Лоренца. Представление этой. группы, по которому преобра« вуютса три координаты (л, у, з) и время (Г), является неприводнмым.
Оно вазываетсн векторным представленвем. С его помощью легко обрааовать различные тенворные представления. Так, электромагнитное поле (Е, Н)' в фиксированной точке (х, у, з, Г) преобразуется по снмметризованному 4-тензорвому представлению второго ранга. Зная матричные влементы всех веприводимых представлений группы Лоренца, можно найти явный вид электромагнитных полей, которые при преобразованиях Лоренца преобраауются ио тому или иному непряводимому представлению втой группы.
Это делается так же, как и в случае группы вращений, если.предварительно вайдены все непрвводимые представления группы Лоренца. Глава 5 ПОЛЯ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ В этой главе рассматривается вопрос: яак преобразуются волновые функции кзавтозых систем при переходе из одной системы коордяват з другую? То обстоятельшзо, что зиачепвя волновой функция ве поддаются измереявю (измерять можно только квадрат модуля), существенно расширяет класс возможных преобразоззяяй волновых функций. Предстазленвя группы вращений зо многих случаях яедостаточпы для описания этих преобразований; волновые функции преобразуются з соответствии с предстазлеявямн другой группы — группы Л, накрывающей группу вращений й. Иногда вместо представлений накрывающей группы говорят о дзучязчяых првдстзззеаяях группы зращеяяй.
Это, коязчяо, допустимо, если помаять, что двузначные представления группы зрашеввй есть яе что ивсе, кзк обычные представления накрывающей группы. $21. Что такое накрывающая группа? Представим себе твердое тело, имеющее одну неподвижную точку 0', а в остальном способное перемещаться совершенно свободно, т. е. способное занять любое положение А, при котором его неподвижная точка 0' совпадает с фиксированной точкой пространства (например, с началом системы координат ОХУЙ).
Выберем некоторое положение А, этого твердого тела в качестве начального. Тогда, как уже говорилось, можно перевести тело иэ положения А, в любое положение А с помощью одного поворота Сз(а) на некоторый угол а (О < а ~ и) вокруг соответствующей оси, определяемой единичным вектором я (поворот совершается против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора )г по направлению к началу координат). Каждый такой поворот можно представить точкой внутри шара У радиуса и, а именно концом вектора агг, отложенного от начала координат.
Единица е группы вращений )? представляется центром шара 0. Диаметрально противоположным точкам шара п)г и -п)г соответствует одно и то же полол<ение А твердого тела, всем другим парам точек — различные положения. Поверхность шара У, т. е, сферу радиуса и, обоаначим череа У. 7 Г. Я.
Любарский 97 'Движению твердого тела с закрепленной точкой О' соответствует некоторая кривая (траектория) внутри шара УУ. Действительно, такое движение можно представить себе как непрерывную*) последовательность положений, занимаемых телом; каждому положению соответствует точка з шаре У, непрерывной последовательности положений соответствует непрерывная последовательность точек, т. е. кривая или траектория.
Рнс, 22. Трн траектории внутри шара У Итак, каждое положение твердого тела — зто точка в шаре У, каждое движение твердого тела — траектория внутри етого шара. В дальнейшем мы будем рассматри-. вать только те траектории, которые начинаются в точке е. На рис. 22 изображены три различные траектории, начинающиеся в начале координат. Две нз них (а и б)— незамкнутые, третья (в) — замкнутая. Разобьем всй траектории на классы следующим образом. Две траектории» и Р отнесем к одному и тому же классу, если они заканчиваются в одной и той же точке и если одну из них можно непрерывной деформацией перевести в другую, причем в процессе деформации начало и конец.
траектории неподвижны. Поясним зто опреданение примерами. На рис. 23, а изображены четыре траектории. Две из них соединяют точку е с точкой у„ две — ту же точку е с точкой у,. Дзе траектории; оканчивающиеся в точке у, (одна из них нанесена сплошной линией, другая — штриховой), принадлежат одному и тому же классу. Это же можно скааать о двух траекториях, оканчивающихся в точке у». «) Слово «непрерывный» здесь в далее следует понимать не как математический термин, а как слово русского языка, т. е, кнтуктнвно. 98 Условимся обозначать символом (в -й) класс траекторий, содержащий траекторию е- Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
