1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 15
Текст из файла (страница 15)
По этой же причине канонический базис в подпрострапстве Ьш будем обозначать так: е$ (пз О, ~1,... ~Д. (17.4) Все подпространства однотипных векторов Е„, ~ з' 0) (1р — т(~)в:)з+т) одномерны. Поэтому вторая основная задача — отыскание подпространств однотипных векторов — эквивалентна отысканию векторов канонического базиса (17.4). Говоря точнее, требуется найти коэффициенты разложения каждого вектора е~ по векторам е, зь он Эти ноз4у)ициенты называются нозузузициентами Ллебюа — Гордана н играют заметную роль при исследовании задач, обладающих сферической симметрией. Они зависят зв 83 пе только от индексов 1, пз, и, р, по и от весов р и ч перемпожаемых представлений.
Их обозначают так: (рчир Цгп). Решение второй основной задачи дается 1бормулой еД ~ (~и ар ~ упь) е~~"„Я (17.5) а+9 «з (е~аз1 е~азп ~р,— т~~(7«)ь+ ч, т=О, ~1, ..., ~7'). / ш«) Суммирование производится по всем парам а, р, удовлетворяющим условиям а+ ~) = пг, !а! < р, 1~1<ч. Входящие в зту формулу коэффициенты Клебша — Гордапа вычислены. Мы пе будем останавливаться па методе и результатах этих вычислений, достаточно считать их известными и знать, что их можно найти в таблицах. Оказывается, что и обратная задача — выражение векторов егаз1 через векторы канонических базисов в~в ш«) се решается с помощью тех же коэффициентов Клебша— Гордапа, а+« еДц ~ (рчар ~ рп) е„а«г.
(17.6) г'=ж- ! $ 18. Тепзорвые представления 'Произведение Т, Х Т, двух векторных представлений Т, Р~ группы вращений называется тензорным (второго ранга) «редстаелением этой еру«пы, Условимся зго представление обозначать символом Т;. т,=т,хт,. Произведевие тепзорпого представления второго ранга па векторное произведение назовем тепзорным представлением третьего ранга и обозначим т, т,хт. И, вообще, тензорное представление («+1)-го ранга— ато произведение т, т,хт„. (18.11 Легко получить общую формулу т =т,хт. Тензорное представление и-го ранга можно определить и непосредственно, ве прибегая к индуктивной фор- 94 муле (18.1).
Делается зто так, Рассмотрим все функции и радиус-векторов г„ г„, , г„ вида (,,,л„(г„г„..., г„) ф, (гт)ф; (гг) ... ф;„(г„) (18.2) (1~ 1,2,3; !=1,2, ..., я), где ф,(г) х, ф,(г) = у, ф,(г) = з. Операции Т.(у) (уж)7) определим с помощью формулы Т (у))(г, гн , г ) = 7'(у-1г, у-~г, у-~г ) Можно показать, что соответствие у - Т„(у) является тензорным преДставлением и-го ранга. Выясним, как раалагаются тензорные представления второго, третьего и четвертого рангов на неприводимые представления. Согласно формуле (17.2) имеем Тъ ~ ~В~ Х Ы~ = Яр + ~У)~ + ~ба.
(18.3) Поэтому Тз ~' Т1 Х.У! '(ЗРо+.У!+ и)з)Х Збф -.8Р.Х ж, +ЗР, Хйб, +ж.х.й),- 'й)з + ('й) ю + -'6~ + Юа) + (ар1 + 2)з + я)а) ° Окончательно получаем Т. !В,+ЗЯ,+2й,+Я,. Подобным же образом находим Т, = ЗЖ. + 6Н>, + 839, + ЗЯ, + Ы,. Поясним для примера геометрический смысл соотношения (18.3). Пространство функций, в котором действуют операции Т,(у), можно представлять себе как совокупность всевозможных сумм следующих девяти функций: хаю т Уг х се УФь У~У~ У~з1 з1хь с|Ум з зь Рассмотрим функцию фа Ах1+ у1уз+ з1зв Это есть не что иное, как скалярное йроизведение (г,гД а у* р а ..
хюРв~~ию~ ха «Р» Р р двух вйдтрров (водрух адилей и той же оси и на один и тот Йе угол) их скалярное пройзведенйе не изменяется, Иными словами, оно преобразуется по адивичному М представлению Я).. Мы еще раэ доказали, что представление Ю, содержится в Т, Я, Х Яь Рассмотрим три функции: (1) (1) (1) ч), у,гз — гзузз (рз гдхз — х,г„(рз хзуз — у,х,: Они совпадают с тремя проекциями векторного произведения векторов г, и г;. М г, Хгз. Поэтому эта тройка функций преобраауется по векторному представлению Я),.
Это означает, что и представление Я, содержится в тенэорном представлении Т,. Для выделения представления Жз рассмотрим пять функций; (з) (з) (з) (рз хзуз + узхм (рз хзгз + гзхзз (рз = узгз + гзузз (3) (и (Р, х)хз — У,Узз (Рз хзх — г,гз, Этв функции обладают следующими двумя свойствами: $) если поменять местами индексы (, и 2 при х, 'у, г, то функции не иэменятся; 2) при х, х„у, у„г, г, сумма по восьми значениям (х, у, г) (~1, ~$, ~1) равна нулю. Основываясь на этих свойствах, можно показать, что функции (Р,' () 1, ..., 5) при вращениях преобразуются друг чеРез друга.
Именно ети функции и .осуществляют пятпмервое представление Яз. Представление Я)з называют симиетривованным тенворным представлением второго ранга, Операцню симметрвэации можно определить так, что-' бы она естественно распространялась на тевэорвые представления любого ранга. Мы, однако, пе будем останавливаться на этом вопросе. Элементы пространства, преобраэующегося по тенэорному представлению какого-либо ранга, называются тенворами того же ранга. $ $9. Классификация фиэвческих полей, основанная нв вредстввленивх группы вращений Понятие поля является .одним иэ основных физических понятий.
Напомним, что это такое. Если какая-либо физическая величина А может быть иэререна в каждой точке г =(х, у, г) пространства (или некоторой области У пространства), то мы имеем дело с полем величины А. Так, например, температуру Т и давление р воздуха мож- 86 но измерить в любой точке объема У, заполненного воздухом. В результате измерения (или,расчета) мы получим зависимости температуры и давления от координат: Т Т(х, р, з), р р(х, у, г) ((х, р, г)ли У), Зти зависимости описывают два поля: поле температур и поле давлений. Если поле А (в нашем случае — температура, давление) не изменяется с течением времени, то мы имеем дело- с постоянными полями, в противоположном случае — с полями, зависящими от времени.
Последние описываются функциями, зависящими от координат и времени: Т Т(хргг), р р(хузз). Существуют, однако, и болев сложные поля-так называемые векторные ноля. Векторное поле описывается не одной, а несколькими функциями: 1,(х, р, з, г), у,(х, у, з, г), ..., ~,(х, у, з, г)', Подобные совокупности функций, рассматриваемые как единый объект, называются вектор-функциями. Часто вектор-функцию 'удобно обозначать одной буквой; ~(хг р1 г.
г) - (1~ (х* р.г. З)))-гг если зто не может привести к недорааумению. Перейдем к примерам векторных полей. Пример $. Поле скоростей т(х, р, г, г) текущей жидкости характеризуется тремя функциями — проекциями скорости иа оси: и,(х, р, з, г1, вг(х, р, з, г), и,(х, р, з, г)'. Здесь х, р, з — координаты произвольной точки той области пространства, которая занята текущей жидкостью, П р и м е р 2. Поле напряжений в деформированном упругом теле описывается в каждой точке (х1 р, з) тремя векторами: г.(х, у, з, г), У„(х, р, з, г), г,(х, у, з, З).
(19А) Это — силы, действующие на три единичные площадки, содержащие точку с координатами (х, р, г) и перпендикулнрные осям ОХ, ОУ и ОЯ соответственно. Переходя к проекциям этих векторов, получим девять функций: ~ы(ху рр з~ г) (п~ ~3 $~ 2 3) 87 П р и м е р 3. Электромагнитное поле характеризуется двумя зектор-функциями: электрическим полем Е(л,у,з, Г) и магнитным полем Н(х, у,з,т) или шестью обычными функциями; Е (х, у, з, г)', Н,(х> у, з, г1 (и л, у, з).
Приведенные выше примеры полей (кроме поля температур и поля давлений) обнаруживают одну принципиальную особенность. Если в некоторой точке А помещены приборы, необходимые для измерения поля в втой точке, то, прежде чем пользоваться зтими приборами, нужно выяснить, как направлены оси координат.
Собственно, в этом нет ничего нового вли удивительного. Если мы хотим измерить, скажем, проекцию злектрического поля или скорости жидкости на ось ОХ, то, естественно, необходимо знать, как паправлева ось ОХ. Подобным же образом, прежде чем взмерять силу, действующую на площадку, перпендикулярную оси ОХ, следует опять-таки знать направление этой оси. Таким образом, если мы имеем дело с некоторым физическим полем г, которое характеризуется л компонентами, то значения зтйх компонент в некоторой фиксированной точке М будут" различными в разных системах координат.
Каждой системе координат будет соответствовать свой набор в чисел. Результат измерения всех л компонент поля 1(М) в точке М в одйой системе координат, скажем з системе Хе однозначно определяет поле )(М) и, следовательно, позволяет предсказать результат намерения стих компонент (з той же точке М) в любой другой системе координат, если закон преобразования поля ) при переходе из одной системы координат в другую известен. Поля различной физической природы по-разному преобразуются при переходе от одной системы координат к другой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
