1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 11
Текст из файла (страница 11)
каждому элементу бы С оператор Т,(у), дейетвующий в пространстве Ь, и определяемый формулой Те(в) ВТ (у)В (11.1) Легко видеть, что ' Те(е) Е и что Те(у,у,)- ' Т,(у,)Т*(уе). Это означает, что соответствие у- Т,(у) есть представление группы 6. Это представление называется аквивалентныи представлению Т,. Таким образом, два представления: Т, в пространстве Т, и Т, в пространстве Ье нааываются эквивалентными, если существует линейный оператор В, переводящий в1ементы к, ие Ь, в элементы к, ив Б, и обладающий сле-' дующими двумя свойствами: '1) существует обратный оператор В ', 2) каков бы ни был глемент б, имеет место соотноиеение Т,(б) ВТ,(е)В '. Легко показать, что представление Т, эквивалентно Т„ если Т, эквивалентно Т„ что каждое представление Т эквивалентно самому себе и что представление Т, эквивалентно Т., если оно эквивалентно представлению Т, и если Т, эквивалентно Т,.
У каждого представления Т имеется сколько угодно эквивалентных представлений. Все представлення данной группы 6 можно разбить на классы так, чтобы все эквивалентные друг другу представления содержались в одном и том же классе и чтобы все представления, вошедшие в один и тот же класс, были эквивалентны. друг другу. Обратим внимание на следующее важное свойство эквивалентных представлений. Каков бы ни был базис е„ е„ ..., е„ в пространстве Тс, где действует представление Ти в пространстве Ь„ гдв действует эквивалентное представление Т, можно указать «однотипныйз базис 1„~„...
..., 1, т. е. такой, что матрицы ТЯ(у) операторов Т,(б) в базисе е„е„..., е„совпадают с матрицами Ттрв (у) операторов Т,(у) в базисе )и Ь, °, 1 г Покажем, что зто так. В соответствии с определением эквивалентных представлений существует оператор В такой, что т,(у)- вт,(у)в-' Построим с его помощью базис в пространстве Б~: ~,=веи 1, Веи .. 1~ е''Ве„, Имеем Т, (у) () ВТ, (у) В '/, = ВТ, (д) в~ =* Я э -ВЕТА (у)в.- Х Т.1 (у)~„ Это означает, что (у) ' Т~~ (у) Итак, базисы вг и Д=Ве, преобразуются одинаково и, следовательно, однотипны.
ггонятив эквивалентности 'позволяет свести описание всех представлений данной группы к описанию совокуп- ности представлений .(Т)„ которая получается, если ив каждого класса эквивалентных представлений взять по одному представителю. Все остальные представления группы б могут быть получены операцией (().() перехода к эквивалентным представлениям.
Для исследования структуры совокупности представ- лений (Т), удобно ввести операцию сложения представ- лений. Пусть Т, и Т, — два представления одной и той же группы С, действующие в линейных пространствах Ь, и г.ь Образуем «сумму» пространств г. Л, + Ти оп- еделив ее как совокупность всевозможных пар вида х„ х,), где х, — элементы иа Во х, — из Ьь Операции сложения и умножения на число определя- ются естественным образом: (а„а,) + (Ь„Ь,) (а, + Ь„а»+ Ь,), Х(а„а,) ° (Хаи Ха,) (а„Ь, гв Е,; а„Ь, ы Т;).
В пространстве Е определим операторы Т(у) (угв 6), положив Т(у)(аи аг) (Тг(у)а„Т,(д)а,). Легко проверить, что Т(е) Е н Т(угуъ) Т(у ) Т(е*) т.е. что операторы Т(у) образуют представление группы 6. Оно называется суммой представлений Т, + Т,; Матрицы Тя(у) суммы представлений Т ° Т, + Т, принимают так называемую кваэидиагональную форму, если базис в пространстве Ь ° 1„+ Т» выбрать следующим специальным образом: (е„ 0), (е„ 0), ..., (е„, 0), (О, ф,); (О, )»), ..., (О, У„), (И,2) где в„ в», .
„, е,. — произвольный базис в пространстве Во И 1>, )н , ). — произвольный базис пространства Ед. В базисе (И.2) матрица Те(у) имеет следующий вяд: т(д> (е) ... т('> (е) о ... о о ... о т(д> (е) ... т(.> (е) о ... о т(е> (е) ... т('„> (е) о Отметим, что пространство В = Тд+Вд, в котором действует представление Т = Т, + Т„ содерхсит два надпространства Ы" и Т ">, которые под действием операторов Т(у) преобразуются соответственно по представлениям Т, и Т,. В этих подпространствах можно выбрать базисы (д) (д> (д> ' (д> (д> (д> ед, е,, ..., е,„и ед, е,, ..., е„. так, чтобы ТЛ а Такие базисы можно составить нз векторов: е('> (ед О), е(('> (О, У>) 9 = 1, 2, ..., пд; ( >,2, ...,и).
Понятие суммы двух представлений естественным образом обобщается на случай любого конечного числа слагаемых. Всякое представление, эквивалентное сумме двух представлений, называется приводимым; есе остальные представления будем называть неприводимыми. Это апреле~ ление отличается от общепринятого.
Однако для многих групп, в том числе для всех конечных групп и группы вращений, оба определения эквивалентны. Выделим из совокупности (Т), взаимно неэквивалентных представлений совокупность (т) непрнводимых представлений. Любое представление Т (и (Т)„ не содержащееся в совокупности неприводнмых представлений (т)," представимо в виде суммы двух или нескольких не- приводимых представлений. Если, например, Т~ тд+ тд+ тд+ тд+ тд+ тд+ то то будем говорить, что представление тд входит'в пред- 62 ставление Т два раза, представление т* — четыре раза, представление т,— один раз, а остальные представления из множества (т) ие входят в представление Т. Говорят также, что представление Т содержит представление т два раза и т.
д. Итак, всякое представление Т еруппы б зквигалснтно одному из представлений совокупности (Т)„каждов представление Тги(Т)~ либо принадлежит множеству не- приводимых представлений (т), либо равно сумме нвскольких представлений иг зтого множества. Таким образом, для описания всех возможных представлений некоторой группы 6 достаточно найти все представления совокупности (т), т. е. всв неприводимыв, взаимно незквивалентныв представления. Если группа б имеет конечное число злементов, скажем, У, то и множество (т), содержит не более У представлений т„т„...,т, (о < )т).
Обозначим через з, (1 1, 2, ..., о) размерность представлений тг (т. е. раамерность того линейного пространства, в котором действует представление т~). Существует замечательное соотношение г) зг+зг+а ° в+го )уе Это соотношение позволяет судить о числе и размерности неприводимых представлений ти(т),. Так, например, у любой группы, состоящей из шести злементов, множество (т), содержит либо три представления с размерностями з, 1, г, ° 1, г,-2, либо шесть одномерных представлений. Это следует из того, что есть только два способа представить число У 6 в виде суммы квадратов; 6 *= 1'+ 1*+ 2* - 1'+ 1'+ 1'+ 1*+ 1' + 1'.
В нестоящее время существуют таблицы неприводимых представлений почти всех встречающихся на практике групп. Возьмем для примера группу С,„ с которой мы уже имели дело, таблица всех ее представлений в несколько разъятой форме нам уже известна. Группа С„ имеет только три незквивалентных друг другу неприводимых представления. В собранной форме таблицу неприводимых представлений группы С„можно записать в виде таблицы (табл. 11.1).
') Вывод атого соотношения врнведев ниже, з гг. 8, Таблица 111 с, ~ с,' о, ое 1 ! ие-еа велоетатва веета а осоеватеввв ветров авгиевы овесов. $12. Вторая основная задача прикладной теории групп где тп (Ю) — матрицы неприводимого представления т (а) в некотором базисе е, (1 = т, 2, ..., г ) абстрактного (а) пространства Л, преобраэующегося по представлению т . б4 Подавляющее большинство приложений теории групп основаны на классификации элементов пространства Ь, связанной с неприводимыми представлениями группы симметрии эадачи А(Ь). Накомним, что отыскание не- приводимых представлений данной группы и исследование структуры всех ее представлений — вто первая основная эадача прикладной теории групп. Вторая эадача состоит в том, чтобы, исиольэуя уже найденные неприводимые представления, выделить некоторые специальные подпространства пространства Ь, которые мы условимся наэывать подпространствами однотипных векторов.
Пусть в пространстве Б задано представление Т группы 0 и пусть т — одно иа неприводимых представлений этой группы. Предположим, что в пространстве Е существует совокупность в, векторов, которые под действием операторов Т(й) представления Т преобразуются по представлению т, т, е. следующим образом:. еа Т (у) х, 2) т), (б) хо ) 1 Будем говорить в этом случае, что вектор х, принадлежит типу е), вектор х,— типу ег и т. д. )а) )а) Совокупность всех векторов хш ), принадлехгащих ти пу е,, обовначим символом Е) ° Покажем, что с') )а) ~а) Ыа) надпространство. Пусть х, и у) — два вектора нз совокупности Е, ° По определению это означает, что существу- ),а) ют два набора векторов (х))) ) н (у)))-) таких, что за ю~г чг Т (у) хг ~ с~ ать (у) хи Т (у) уь с~ ~тй (у) у) ) 1 )-1 (й (,2, ...)за). Рассмотрим векторы з, ° С,х,+С,у, где С, н С,— два произвольных числа.
Покажем, что вектор з, принадлежит совокупности 4 . Имеем Ыа) Т(у) зь- Т(у)(С)хь+ С,у4- С,Т(у) т, + С,Т(у) у„ Ва йа - 2, тй' (у) (С,х, + С,у)) ~~ т)й) (у) „. 6=1 )-1 Это н означает, что з, ен Е, и, следовательно, с,) (а) <а) подпространство. Вторая основная задача прикладной теории групп состоит в перечислении тех подпространств однотипных векторов, которые содержатся в пространстве Ь, и е отыскании этих надпространств. $13. Структура совокупности решений Х вадачи А(Ц Мы уже видели, что каждую операцию симметрия у задачи А (Ь) можно рассматривать как операцию Т,(у), заданную в подпространстве решений Х.
При атом соответствие у - Т,(у) является некоторым представлением группы симметрии б. Это представление нам неизвестно, поскольку мы не знаем совокупности решений Х. Тем ве менее то обстоятельство, что подпространство Х преобразуется по некоторому представлению группы С, позволяет сделать важные для приложений выводы и ввести 5 Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
