1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Семепство парабол (см. рисунок), определяемых уравнениями у =Ьх', заполняет собой плоскость ху. Каждому значению Ь;=сонэ! соответствует одна парабола. Задаваясь значениями Ь и х, х можно определить любую точку К задаче 14.14. в плоскости, так как каждой паре значений Ь н х соответствует определенное значение у. Выбрав Ь и х в качестве криволинейных координат на плоскости ху, найти коэффициенты Ляме, проекции скорости на координатные оси !Ь] ! и [х), а также выражение Т вЂ” о'. 2 Р е са е н и е.
Обозначив криволинейные координаты (з) (4) х = дз, У =йй. дт=Ь, дз=х, (2) запишем зависимость декартовых координат от криволинейных в виде 52 кинематика точки в кяиволиньнных коогдинатах 1гл.хш Для нахождения коэффициентов Ламе находим вначале дх — 0 дяг д У и я дх - — =1, дя,= * ду дях — = 2ду, = 2Ьх, (б) (6) и далее Проекции скорости на криволинейные оси координат о, = гт;ут — — лад, ., — и ь — гттткэ . А (О) (10) Так как оси неортогональны, то найдем косинус угла между осями, пользуясь формулами (3*) и (б*). При этом проиаведение ортов н (За) и определит искомый косинус, который для неортогональной системы не равен нулю 1 /дх дх ду ду1 соя(дь дя) = — ~ — — + — — ).
Н Их (даг дях д "л дах ) ' (11) Внеся в формулу (11) аначення входящих в нее величин, получим 2ах Р 1 (- 4аххх (12) Лалее находим по теореме косинусов о' о[+ оя+ 2етоа соя (дд, дх). (1З) Внеся в эту формулу вначения всех величин, имеем окончательно Т= 1 1 [ха+(Ьла+2дх.с)Ч.
(14) Координатными линиями (х) являются параболы, так как для каждой иа них Ь=сопа1. Координатные оси [х) — касательные к параболам. Координатными линиями (Ь) и осями [Ь) являются прямые параллельные оси у, для которых х=сопя1. Задача 14.16. Корабль движется с постоянной скоростью о и нод постоянным курсовым углом сь к географическому меридиану.
Определить проекции ускорения на оси сферических координат, ускорение корабля и радиус кривизны траектории. Р е ш е н и е. Выбираем сферические координаты: д — широта, ф— долгота местоположения корабля иа сфере и г=)с=сопа1, где Я- 53 скОРОсти н ускОРения точек Т оз (гзЗз+ гз сова 6фв) (2) 1 ! 2 2 и будем искать проекции ускорения, поль- зуясь формулой (7*) К задаче !4 !6.
Коэффициенты Ламе для сферических координат будут Н =1, Нв=г, Н,=гсовд. (3) Ищем проекцию ускорения: а) на ось г — д —,, =О, д =г8з+гсозвд ф', и дТ дТ следовательно, ов пг = — г ба — г созе 8 ° фв = — —; г (4) б) на ось 6 ддТ дТ дз — —:=гв6, — =-г'сов9 3!П9 фз. Но из второго уравнения системы (1) следует, что 6=сопя! и, следовательно, 6=0.
Тогда, учитывая равенство (1)„находим 1 Ре мпз а твв= — (г'созд в1пд фв)= 156; г г в) на ось ф ддТ и л дг дф д! — — = — (гзсовв6 ф)= — (ов!па ° гсовд) — оз!па ° г в!п 8 6 = и! Р врл а ° г ° Ип З ° о сов а — — изз!па сова в!и 9 Г дТ вЂ” = О. Тогда, учитывая (5) (3)„имеем ез твч =- — в1па сова.!69. г (5) радиус сферы. Тогда проекции скорости корабля на сферические оси будут О,=Р=О, вв=гб=осова, и, =гсоз9 ф=оз!па. (1) Траектория корабля — локсодромия была найдена в задаче 5.25 (еТеоретнческая механика в примерах и вадачвх», том 1, 1971). Лля нахождения проекций ускорения на оси сферических координат составим выражение 54 кннвмлтнкл точки в конволннвнных кооиднвлтлх 1гл.хна Ускорение корабля находится по формуле =гнхьто х г'~.~ ы .чв (г) и направлено по главной нормали локсодромии, так как скорость корабля постоянна и касательное ускорение равно нулю.
Радиус кривизны локсодромии будет (так как о сопа1, то иго = и~) оо г Р= )' 1+ ипо а ° 1йо а Задача 14.16. Пространственное движение точки задано уравнениями движения в цилиндрических координатах: Р=ро(1+~)т) Р- Ро)п(1+Р() = о(1+01), где Ро, гуо, ао, () — постоЯнпые величины. Найти тРаектоРию, скоРость и ускорение точки, радиус кривизны траектории. Решение, В цилиндрических координатах дифференциалы дуг координатных линий равны Юао — — с(Р, г(ао = Р т(гр, с(ао = г(ж (1) Сравнивая этн выражения с формулами (6*), находим сразу коэффициенты Лямж П,-1, Н,=р, Н,=1. по=Ив Р=Ро6 Рччй по=Но'ф= =Роргро 1-1- йт оо =г'у» о =вой. Модуль скорости равен .=г ооч~-о-оГр О-~ фВ~',- - ь (о Проекции ускорения на цилиндрические осн координат определяются формулами Р" +2...'г ' о Р)в~%о игг = а = О.
(6) Модуль ускорения равен нарочь во = )г «+гво Раб ~г)+~о Р (6) Формулы (6*) поаволяют найти проекции скоростей точки на цилин- дрические оси координат: СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК а е1 Так как величина скорости неизменна, то касательное ускорение равно нулю и ускорение (6) является нормальным ускорением. Отсюда определяется радиус кривизны траектории ег ив равенства ее евл р е откуда ее1еееееде' з ~~ е,е (ь)'~ РЮ'В (~ ~+й Эе У1+Эе ' Ре Исключая время из равенств, определяющих координаты р и ер, на- ходим и, следовательно, <~=фе1п — ', Ре откуда р = ре ев'ч", (8) Это первое уравнение, определяющее траекторию движущейся точки, Второе уравнение находим, исключая время из равенств, определя~ощих координаты р и щ х= — р а (й) Ре Таким образом, из (8) и (9) следует, что траектория является пересечением цилиндрической поверхности, образованной логарифмической спиралью и поверхностью круглого конуса.
Точка движется по втой траектории равномерно. ГЛАВА ХЧ ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА, ВРАНЕАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ $1. Движение по инерции твердого тела, имеющего неподвижную точку Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, имеет трн степени свободы. Его положение можно определить тремя углами Эйлера. Главные моменты количеств движения твердого тела относительно координатных осей, начало которых находится в неподвижной точке, даются формулами Е» 1,⻠— 1»„ву — 1, в,„ Еу 1уву 1у»в» 1»ув»г 1» — 1»в» 1»»в» 1»»ву Ясли оси л, у, л являются неподвижными, то осевые и центро- бежные моменты инерции тверлрго тела переменны.
Ясли оси т, у и л жестко связаны с движущимся твердым телом, то его осевые и центробежные моменты инерции постоянны. В случае, когда оси л, у, л являются главными осями инерция твердого тела в неподвижной точке, т. е. при 1, =1„ ! =О, формулы принимают вид 1.» ~ 1»в»~ Еу = 1уву 1»» 1»в» Здесь 1, 1 1,-главные моменты янерции твердого тела отиоси- тельно неподвижной точки. динамические ураалелпл Млера для твердого тела, вржцаюше- гося вокруг неподвижной точки, в проекциях на оси л, у, г, свяаан- ные с движущимся твердым телек, имеют вид »Е ш + ву1'» в»Еу ~ ш»~ » вЕ» " + в»Е»- в»Е» = гну> ш »Е ~~+в Е -в Е =и»', где л»» л»»»л»-главные моменты внешних сил относительно осей »' ф» 0 1! ДВИЖЕНИЕ ПО ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 57 координат, юх, ыу, гв, †проекц угловой на оси координат.
Если оси х, у, х, связанные с твердым осями инерции в неподвижной точке, то Эйлера записываются так: скорости твердого тела телом, являются главными динамические уравнения 1„а+11,— 9юуюе= ~уеву+ т'х ее) юееах = еешх+Иу ех)юхгву= е шх, гвуе е лее. Добавим к этим трем дифференциальным уравнениям кинематическяе уравнения Эйлера, выражающие зависимости между проекциями угловой скорости на соответствующие оси координат, углами Эйлера и их производными по времени: оех = ф а!» 0 з!п ф+ 0 сОз ф, ю =фз!пйсозф — 0з!пф, ю, = ф соз 0 + ф; мы получили систему шести обыкновенных дифференциальных уравнений движения. Проинтегрировав эту систему уравнений (при наличии ааданных начальных условий движения), определяют ех, юу, ю„ а также уравнения врзщения твердого тела вокруг неподвижйой точки ф=1,Д ф=.У.Д 0=ЛЬЕ!).
Решение обратных задач динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, сопряжено с большими трудностями и приводится к квадратурам только в исключительных случаях. Обобщенные динамические уравнения Эйлера для подвижных осей 4т!й не связанных с твердым телом, имеют вид е!!.т — + ютчу-с — евше.ч = лет — + юЫТ вЂ” ю т!.С = шп Е!Г +Ютаея Ютяеь= ееете где ше, лее и те — главные моменты внешних сил относительно подвижных осей Е, т!, Ь, не связанных с твердым телом, 1.ф 1.ч и Г.С— главные моменты количеств движения твердого тела относительно ОСЕЙ Е, ТЬ Ь, а Ютф Ю,Ч, Готе — ПрОЕКцИИ уГЛОВОИ СКОрОСтв Вращсиня трнэдра подвижных осей $, т!, Ь на эти оси.
Задача 10.1. Исследовать движение по инерции твердого тела, центр тяжести которого совмещен с неподвижной точкой. Эллнп- б8 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА вгл. хзв соид инерции твердого тела в неподвижной точке является вллипсоидом врагцения. Решение. Твердое тело совершает движение по инерции вокруг неподвижной точки О при наличии двух внешник сил; силы тяжести тела, приложенной в центре тяжести О, и реакции опорной точки О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
