1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Чтобы найти закон изменения тОлщины цепи, воспользуемся равенством (3), откуда получаем с учетом (4) о *= — — = — р' 1+у'Я =* — ф 1 + 1е» вЂ” х = —. Н![е Н- — Н с р » ![~ » соя — х » Эта задача была впервые рассмотрена Кориолисом. ГЛАВА Х1У КИНЕМАТИКА ТОЧКИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ В Е Основные определения и зависимости Три величины дм дя, уа называются криволинейными координатами точки, если они однозначно определяют положение этой точки в пространстве. Если принято правило отсчета этих величин для любого положения точки в пространстве, то тем самым определена криволинейная система координат.
Так как радиус-вектор точки г и криволинейные координаты пь ра, уа независимо и однозначно определяют положение точки, то можно рассматривать радиус-век|ор как функцию криволинейных координат г=г(дь гуа, ~уа). (! *) Координатной линией (д,) называется линия, которую описывает конец РадиУса-вектоРа г пРи изменении кооРдинаты дт и фиксированных значениях двух других координат (уьь дав), Уравнение этой координатной линии будет г=г(уп,ую, даа). (й') Аналогичным образом могут быть получены две другие коордииагные линии г=г~янь Чь гуьо) г=г (йо Чао ча) проходящие через точку УИо(дам дю, даа).
Следовательно, через каждую точку пространства можно провести три координатные линии Ит) Иа) (~уа) Касательные, проведенные в данной точке к каждой из трех координатных линий, называются координатными осями и обозначаются [дт), [да), [(Га]. Положительное направление каждой координатной оси выбирается в сторону возрастания соответствующей криволинейной координаты. Орты координатных осей будем обозначать й„йа, йа. Координатными поверхностями называются поверхности, проходящие через фиксированную точку Мо, определяемые уравнениями: г=г(уь уз, уаа), поверхность (Чь у,), г=г(умь дм уа), поверхность (Оа, уа), г=г(о„деь у,), поверхность (у„ут). 38 кинематика точки в кзнволннзиных кооидннлтах 1гл хш Система криволинейных координат называется ортогональной, если в каждой точке пространства оси координат взаимно перпендикулярны.
Условием ортогональности является Ф, ° 17=0 пРи 1~/. Коэффициентами Ляме называются Н,-!д — '$= — )/('--")'+(~)'+(' — ') (1=1, 2, З). (4*) Орты криволинейных асей координат выражаются через коэффициенты Ляме формулами — — (1=1, 2, З).
1 дг Ф н,'ад1 (б ) дифференциалы ауг координатных линий равны Ыз, = Н, гадь г(за = Ня гадь Ыаа = На лда. Пользуясь этими формулами, можно легко находить коэффициенты Ламе для различных систем криволинейных координат. Проекции скорости и ускорения нз осн криволинейных координат даются формулами (1*) (6*) па; =Ни); (1=1, 2, 3), 1 УддТ дТ1 те и; 1 дг дф да~) ' (7 к) где Т =-,' '= —,'(НИ',+НЙ +Н',1);). (8ь) й 2. Системы криволинейных координат. Координатные оси, линии и поверхности. Коэффициенты Ламе Задача 14.1. Выразить в декартовых координатах условия, при которых система криволинейных координат будет ортогональной.
Проверить ортогональносгь сферической системы координат. Решение. 1) Обгций случай. Пусть положение точки М в пространстве определяется в прямоугольной декартовой системе Решение задач на кинематику точки в криволинейных координатах рекомендуется вести в следующей последовательности: 1) для заданной системы криволинейных координа~ определить коэффициенты Ламе; 2) установить, является ли система криволинейных координат ортогональной; 3) найти проекции скорости на оси криволинейных координат; 4) найти проекции ускорения на оси криволинейных координат.
системы кРиволинеяиых кооРдинлт з 21 координат координатами х, у, г, в криволинейной системе координат координатами г)„газ, дз. Радиус-вектор точки М, проведенный цз начала декартовой системы, равен г=х)+уу+г)г. Координатцая линия криволинейной системы координат является годографам радиуса-вектора г =г(д„ дз, г)з) при изменении только одной криволинейной координаты дц Тогда, задавая направление координатных осей [дг), [дг1, [дз) оРтами йг, йг, )гз и замечаЯ, что кооРдицатная ось направлена по касательной к координатной линии (в сторону возрастания координаты), можно записать дг!доз (1) ! дг1дяг/' Это равенство следует из того, что оба вектора дг/дг), и (зг направлены по касательной к годографу радиуса-вектора в сторону увеличения координаты г)ц знаменатель в (1) равен коэффициенту ляме Тогда формула (1) может быть переписана в виде — — (1=1 2, З).
1 дг Нг доз (2) Условие ортогональности криволинейной системы координат есть Ю,й,=о ((~у). учитывая равенство (2), получим вместо (3) (з) дг дг ддг дат — ° — = О (1 чь у), что дает три равенства дг дг дг дг' . дг дг — — = О; — ° — = О; — ° — О. (4) дгг ддг ' ддг доз ' даз дяг дг дг — ° — =О, ддг дцг дг дг — — О, ддг доз дг дг — — О. ддг дез — + ду даз ° + ду дяз — + ду дчз (б) Эти равенства — аналитические условия ортогональиости криволинвй ной системы координат.
ВыРазив радиус-вектор через в виде дх дх ду — — +— ддг ддг ддг дх дх ду — ° — +— даг доз ддг дх дх ду — — +— дег дцз ддг декартовы координаты, запишем (4) 40 кинемАтикА тОчки в криволинейных координАтАх 1гл хнг 2) Сферическая систем а координат (см. рисунок). Сферические координаты таковы: Вг=г (гг=О Ог=гР Координатная линия (г) и ось [г] совпадают, это — прямая, проведенная через начало координат и точку М. Координатная линия (8)— окружность большого круга, проведенного радиусом ОМ, ось [О[— касательная к этой окружности, проведенная в точке М в сторону возрастания угла 8.
Координагная линия (<р) — окружность параллельного круга радиуса гяп 6, ось [~р[ — касательная к этой окружности, проведенная в точке М в с~орону возрастания угла гр. Лекзртовы координзты могут быть вырзжены через сферические соотношениями х=гв1пВ совгр, у=гяпОяпгр, К задаче 141. г=гсовО, Внеся эти значения координат в систему уравнений (б), находим дх дх ду ду дг дг дг дв дг да дг дз =гяп 8 сов О(совггр+в)пз<р)-гв)ОВ сов В + у ° -у-[- — ° - -=гв1 0 в1п р со р — гв1пзО ° в1 гр ~озер ду ду дг дг дг д~р дг де ду ду дг дг + — — + — ' — = да д~р д0 дэ = — ггсовО ° сов<0 01пО в1п~р+г~совВ ° совгр в(пВ 01пгр =О, дх дх дг дгр =О, дх дх дв д~р Таким образом, сферическая система координат ортогональна. Задача 14.2.
Уравнения движения точки заданы в цилиндрической сне~вне координат. Зная фбрмулы перехода от цилиндрических координат к декартовым: .к = р сов гр, у = р в1п гр, г= г, проверить ортогональность цилиндрической системы координат, Нзйти координатные линии, оси и координатные поверхности. Р е ш е н и е, Подставив аналитические условия ортогональностн кРиволинейной системы кооРдинат (б) из задачи 14.1 ОТ=Р, Вз=гР, системы кэиволинвиньтх кооядннат 4а=» и воспользовавшись зависимостями (1), найдем — р соа тр 5!п ф + р 81п тр соз ф = О, — рз1п~р ° О+р.соатр ° 0+0.1 =О, сов тр ° О+з1п тр ° 0+ 0 ° 1 = О.
Таким образом, цилиндрическая система координат ортогональна Это показано на рисунке, где в точке М проведены цилиндрические оси коор» [т) »инат: [р), [ф), 1»). Координатными линиями в этом случае являются: линия н [в1 (р) — прямая АМ, проходящая через й точку М, вдоль которой тр = сопз1 и И » сопв1; линия (тр)-дуга окружности ВМС, вдоль которой тр = сопв1 и д Е У ° » = сопз1, Координатными поверхно- м' стями в системе цилиндрических коор- д дянат являются: а) поверхность ВСЕО цилиндра радиуса р с осью О», проходящая через заданную точку М, для которой р = сопя[; б) полуплоскость ОАММ, проходящая через ось 0» и точку М, для которой тр=сопа1; в), горизонтальная плоскость АВС, проходящая через точку М„для которой»=сопв1.
Задача 14.3. Эллиптическими координатами на плоскости называ- ются координаты т)„т)а, связанные с декартовыми координатами уравнениями К задаче 14.3, а с= Р лт — ЬЯ, (4) а'+т1, ат+ тм Ьт+ тн — + — -' (2) где а и Ь вЂ постоянн величины. Определить границы изменений эллиптических координат т)т и т)т так, чтобы (1) представляло семейство софокусных эллипсов, а уравнение (2)— семейство софокусных гипербол (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
