1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ивнвавннлн ш а) К задаче 15й. Применяем тоерему об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек относительно точки О: н ~, лво ("А) н-! Так как обе внешние силы приложены в неподвижной точке О (на рисунке силы не изображены), то лв' =О, т. е. лв.о/ввг=О я Ео оказывается постоянным. Итак, при движении по инерции твердого тела вокруг неподвижной точки имеет место случай сохранения главного момента количеств движения твердого тела относительно втой точка, Выбрав начало системы неподвижных осей координат в неподвижной точке О, направим ось лд вдоль вектора Егь направление которого прн движения твердого тела остается неизменным. Затем построим неподвижные оси лз и уз так, чтобы они вместе с осью лт образовали правую систему осей координат. Начало системы подвижных осей координат л, у, л, связанных с твердым телом, выберем в той же точке О. Ось х направим по оси симметрии твердого тела Затем введем подвижные оси к и у, ДВИЖЕНИЕ ПО ИНЕРПИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА зп которые являются главными осями инерции в точке О (см.
рнс. а). Так как эллипсоид инерции является эллипсоидом врашеиия, то 1„ = 1 . Запишем динамические и княематическяе уравнения Эйлера для случая, когда 1 = 1„ н гл„' =ш„' = «»,' = О (напомним, что и»о = О): 1лал + (1» 1у) вфЬ (1) 1„а,+(1,-1,),а„=о, (2) (3) ф з1п 9 я!п 1р+ 9 соз ф, (4) в» ~ ф я! и 9 сОя ф — 6 я!п ф, (5) а, = ф соа 9+ ф. (О) Иэ уравнений (1), (2) и (3) находим два первых интеграла. Умножив уравнение (1) на ва уравнение (2) на а, уравнение (3) иа в, н затем сложив их, получим 1,а в,+1»в„ву+ 1,ваап = О, т.
е. м „вЂ” (1 в„'+ 1 а„'+ 1,а~~) = О, откуда 1,а,', +1 а„'+ 1,а', =Со (7) где Ст — постоянная величина. Так как кинетическая энергия твердого тела, врашаюшегося вокруг неподвижной точки, имеет вид 2 (1»ал+ 1»вя+ 1ва») то вв первого интеграла (7) следует постоянство кинетической энергия твердого тела (этот результат легко получить с помошью теоремы об изменении кинетической энергии системы материальных точек, так как внешние силы приложены к твердому телу а неподвижной точке н, следовательно, сумма работ внешних снл равна нулю). Для определения другого первого интеграла умножим уравнение (1) на 1„ва уравнение (2) - на 1„в, уравнение (3) — на 1,а,.
После сложення получим 1каявл+ 1увуау+ (~в.а. ~ О~ „—,(1(в~+ 1~'+1'*в») =О, з в отсюда Р»аз+ Рву'+ 1»в$ = С„ (8) где Ся- постоянная велнчнна. Нетрудно видеть, что первый интеграл, ааписанный в формуле (8), свндетельствует о постоянстве модуля главного момента количеств дннлмнка твевдого тии 1гл. хт движения твердого тела относительно неподямжной точки О. Дейст- вительно, так как осн л, у и л являются глввнымй осямн ннерцнн твердого тела в точке О, то (9) 1.» 1»ы», Е» /уюр 1» 1»юх следовательно, 1»ю»+/»ю»+ 1»ю» ~1»+ Е»+ 1» ~ ЕВ -Са. Для упрошення интегрирования системы днфференциальных уравнений (3) — (6) запишем проекция главного момента количеств движения твердого тела Е, Е, Е» на подвижные осн .т, у и л, связанные с твердым телом, учтя прн этом, что вектор Ео расположен на осн ат (см.
рнс. а) После проектирования Ео ив осн Олух находнм Е Еоз1пйз1пф, Е =Еоз(пбсозф, Е,=Еосоз6. (10) Еоспольаовавшнсь формулами (9), перепишем выражение (10) в виде 1»ы, = Ео з1п 9 з1п ф, (1 1') 1 ы„Еоз1н 9 сов ф, (12) /,ы, = Ео соз 9. (13) Из дифференциального уравнения (3) находим, что ю, постоянна, Если в начальный момент ы»=ы,„тр н прн движении ю,=ы,, Теперь нв уравнения (13) получим соз6 = — ', /,е,, Ео (14) ,и а гптптц »Я вательно, 1,ю,,/Ео-тоже постоянная величина движении твердого тела остается неиаменным: 9=9„ — постоянная. Следов угол нутацнн 9 прн (13) отсюда вытекает, что В О. Теперь уравнення (4) — (6) можно записать корова ы,= фз1пВзз1пф, (16) вл фз1пВ,созф, (17) а„=* ф соз Вз+ ф. (13) Подстановка значения ю» нв уравнения (16) в формулу (11), а также вначення в„нз уравнення (17) в формулу (12) приводит к результату ф = Ео/1» /.о/1, т.
е. ф постоянна (предполагается, что а1пйз ЧЕ О, а угол ф может приннмать различные значения). Обозначим: Ео/1» Ео/1» — — юь Итак, ф = юь (19) т. е. прецессня совершаетсв с постоянной угловой скоростью ыз. 61 %4 РегуляРнАЕ пРецессня снмкетРнчноГС телА Проинтегрировав выражение (19), получим (при Г О, ф=фо) ф=ваг+фР Подставив в уравнение (16) вместо ф величину вь найдем ф=вв-васозб . Таким образом, ф постоянно; после введения обозначения вг — ва соз Еа = ва (26) находим Е 2. Регулярная прецеесия енмметрнчпого твердого тела, имеющего неподвижную точку Симметричное твердое тело арашается с постоянной угловой скоростью в вокруг оси, кбторая в свою очередь врашаетвв вокруг другой оси с постоянной угловой скоростью вь В результате сложению вращений вокруг двух пересекмощнхся осей твердое тело ф=вь (21) т.
е. Собственное врашение твердого тела совершается с постоянной угловой скоростью ва. Проинтегрировав выражение (21), запишем (прн Г=О, ф =~ра): Ф = ваГ+гре Итак, прн движении по инерции симметричного твердого тела, центр тяжести которого совмещается с неподвижной точкой, имеет место движение, называемое регулярной прецессией Оно определяется уравнениями е=е„ф=в,г+ф,, ф=в,г+,р Ось симметрии а твердого тела описывает круговой конус с углом при вершине О, равным 2Е, равномерно вращаясь вокруг неизменного по направлению вектора арчь расположенного на оси гь с угловой скоростью ва.
Прн атом твердое тело вращается вокруг своей оси симметрии л с угловой скоростью вв Вектор мгновенной угловой скорости в, изображаемый диагональю параллелограмма, построенного на векторах ва я ва (см. рис. а), лежит на мгновенной оси. Прн движении твердого тела параллелограмм угловых скоростей, оставаясь неизменной фигурой, поворачивается вокруг оси а; с настоянной угловой скоростью в„т. е. ось симметрии твердого тела л описывает круговой конус вокруг осн аг Неподвижным аксондом является круговой конус, описываемый мгновенной осью вокруг оси аг (см.
рис б). Подвижным аксоидом является круговой конус, описываемый мгновенной осью вокруг осн г. Лвижение твердого тела можно интерпретировать посредством качения без скольжения подвижного аксонда по неподвижному. динамика твивдого твла 1гл. хт совершает вращение вокруг неподвижной точки. Это вращение называется регулярной преисссиай. Угол 9 между векторамн ю и ют называется углом нутации (рис.
15.1). При атом юд-угловая скорость прецессии, ю — угловая скорость собственного вращения, Наяаяа ПОДВИЖНЫХ ОСЕЙ $1)Ь Н. НЕПОДВИжНЬаг ОСЕЙ ХдУтгт Вватм в неподвижной точке О. Ось гд направлена вдоль вектора юм Оси х и у выбраны так, чтобы сов. т, местно с осью яа образовать правую систему осей. Ось ~ направлена вдоль вектора ю, т. е. вдоль оси симметрии твердого тела. Ось 9 направлена вдоль линии узлов (т. е. ось $ перпенднкуляр- В на к плоскости векторов ю и юд), ось т1 выбрана так, чтобы совместно с осями $ и 1, Образовать правую систему осей коору, динат.
Подчеркнем, что подвижг ные оси 0$Ч~ не связаны с двяжущимся твердым телом. лг Для того чтобы симметрич- 9-лилля уыаа ное твердое тело совершало ре. гулярную прецессню, к нему должРвс. 15.1. ны быть приложены внешние силы, главный момент которых относительно точки О направлен по оси $, н его проекция равна игла = юкч а1п 6 1гсюС+ (гС вЂ” 1ч) юнч соа 91.
если 1сюс+(Ус — 1ч)юкчсоа9~0, то пао совпадает с положительным направлением оси $. Гироскопический момент пагоаа направлен противоположно моменту па' т. е. пт""г= — па'. о о о' В случае быстро вращающегося гироскопа юс,л аыг Пренебрегая при атом вторым слагаемым в квадратной скобке, получим выражение главного момента внешних сил: гла = Усюсюнч а1п 9. Если векторы в и юд взаимно перпендикулярны, то й=п/2, и вто выражение для гл' является точным. Обычно приходится решать задачи на регулярную прецессию твердого тела, в г1оторых требуется: а) по заданным е, юа 6, 7р У определить главный момент внешних сил или какую-лабо внешнюю силу; б) по ааданным ю, па', 9, 1~ и 1ч вычислить угловую скорость регулярной прецессии юа.
Фи гигглягная пгициссия симмитгичного тиль 92 Решать задачи на регулярную прецессню твердого тела рекомендуется в следующем порядке: 1) выбрать неподвижные оси координат х,утят н подвижные осн $ч)Ь, не связанные с твердым телом; 2) изобразить на рисунке внешние силы, приложенные к твердому телу; ФЗ) а) если даны ю, юь 9, 1р 1ю то по формуле юа * юмч а! п 9 [1Сва+ ~1С вЂ” 1„) ам, соа 9] определить главный момент га' внешних сил относительно оси $ либо одну иа внешних сил; б) если даны внешние силы, а также юь 9, 1р 1,„ то„ определив главный момент внешних снл относительно неподвижной точка, иа той же формулы найти проекцию на ось гт угловой скорости регулярной прецессии юь Задача 16.2. Вывести формулу для проекцин главного момента внешних сил юа юы, з1п 9 ~1Сюа+(1С-1ч) внч соей] при регулярной прецессии симметричного твердого тела. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
