1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 12
Текст из файла (страница 12)
— зю- — — ° — ~- с —. (8) дг дл ьр дг и» ьг дг др' космнчкская динлмнкя !гл. хч! Отсюда "-р (С,'+С*,), з1п ф(*, соз фт с, с;+ в+СЗ (14) (1б) Перейдем далее к непосредственному определению вависимостя пара- метров траектории от начальных условий движения. Согласно (7) (! 7) ов = ов соз бв ивв гвф„ следовательно, о! сова Зв' г' о* И (18) Введем безразмерную величину, равную отношению кинетической внергнн точки, движугдейся по кеплеровой траектории к ее ньютонову потенциалу: (19) лвр,!г 2!в ' Тогда (18) запишется в виде (2О) р 2й,го сов'бо. Это второе выражение параметра кривой через начальные условия движения.
Лля выражения двух других параметров из (11) находим Св сов ф+Сзз1п ф = — — —, 1 1 д г' (21) Дифференцируя вто равенство по переменной ф, имеем 1 ог С,з!пф — С,созф = — — —. гв лф' (22) Так квк йр о сова я! г —,=о,= аз!пб, г!г (23) то в!г ле — -г16 8.
(24) Внося вто значение производной в (22), получим Св з!и ~р — Св соз ю = — —. г (26) ов г' фв р ФФФ ЭФФ (16) И И С другой стороны, проекция скорости на трансверсальную ось равна КЕПЛЕГОВО ДВИЖЕНИЕ ап Решая совместно (21) и С1= (26), находим ( !6 а — — — ~сов~9 — — — 11п~р, г ( ) 1 11 1йа — — — ~а1п ю + — сов ~р.
р г (28) (27) Теперь, согласно (14), еа=(1 — — ) +( — ), (28) Перейдем к параметру 711, пользуясь (20). Тогда еа (1 — 2711 сова 6)а+(27г1 соа 6 а1п 6)а нлн окончательно еа= 1 — 461(1 — л1)соз'6. (29) (31) 2) Круговая траектория возможна, если во все время движения и в том числе в начальный момент времени 6 О, (32) т. е. скорость направлена по касательной к окружности. Однако зто условие, выполненное в начальный момент, является необходимым, но недостаточным.
Из формулы (12) следует, что модуль радиуса-вектора точки остается неизменным, если эксцентреснтет е равен нулю. Тогда из (29) с учетом (32) имеем еа=а1п'6+(1 -2л1)асов'6=(1 — 261)а 0 илн (33) Наконец, согласно (18) н (26), (27), (30) С1 (г — р) соа щ-р 16 З мп й ' Формулы (20), (29) н (30) представляют искомые зависимости параметров р, е, щ от начальных условий движения. Пользуясь зтнмк равенствами, можно установить завнсимость характера траектории от начальных условий движения.
)!ействительно, рассмотрим, пользуясь указанными тремя формулами, условия, прн которых космический аппарат будет двигаться по одной из пята кеплеровых траекторий. 1) Прямолинейная траекторпя возможна согласно уравнению (17), если во все время движення, а следовательно, н в начальный момент 80 1гл. хщ КОСМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА Согласно формуле (19) это условие можно написать в виде Ьт «« — »»»вЂ” э»г 1 йн 2' (34) откуда находится первая космическая скорость. Йействительно, положив г ° /ч, где /с- радиус Земли, и р уйа, найдем е, 7 йтч че8 км/сек. (33) Итак, для того чтобы космический спутник обратился в искусственный спутник Земли, движущийся по круговой траектории вблиаи венной поверхности, необходимо выполнить два неэавнсимых условию (33) и (32).
Если космический аппарат описывает круговую траекторию на расстоянии Ь от поверхности Землн, то его скорость будет, согласно (34), (36) Заметим, что эту скорость можно получить и непосредственно, проектвруя уравнение движения по круговой траектории на нормаль тйг, Р„ нлн т — = т-Е.
= т ив г г) г» ° откуда, полагая гэ гс+Ь, приходам вновь к (36), 3) Параболическая траектория космического аппарата в соответствии с (29) будет при Ьт 1, так как при этом с=1. Иэ (19) при этом следует с»г» Ь,= — =1 айй» откуда Скорость еа наэывается параболической скоростью. Космический аппарат, которому сообщена в начальный момент эта скорость, не воввратнтся на Землю.
При Ь= О получаем вторую космическую скорость на=~ 2уйж11,2 км/сек. 4) Эллиптическая траектория будет, согласно (29), прн О« (Ьт(1, так как е(1. Единственное исключение Ьт 1/2 н 8*=0; в этом случае, как было покааано, аппарат движется по круговой траектории. Скорость космического аппарата при этом должна находится в пределах ит='~гней(Ф(эа=)г 2ф~. 8) кипливово движиннв б) Гилерболичгсаая траеапзорпя космического аппарата, согласно (29), будет прн йд .
.1, тзк как пря этом и з 1. Скорость космического аппарата при этом должна быть п~пз у'л~й Таким образом, параметр йз (равный отношению кинетической энергии к потенциалу) определяет характер траектории космического аппарата. Напомним, что ньютонов потенциал определяется равенством (Зе) Следовательно, если кинетическая энергяя точки единичной массы меньше иьютонова потенциала, то точка не удаляется в бесконечность я будет описывать вокруг центра притяжения замкнутую траекторию, эллипс. Бели же кинетическая энергия равна или больше ньютоиова потенциала, то точка удалится в бесконечность по параболической нлн гиперболической траектории.
Зидичи 18.4. Космическяй аппарат, доставленный ракетой-носителем на высоту й над поверхностью Земли, ямеет при дальнейшем кеплеровом движения начальную скорость, направленную под углом 6 к местному гориаонту (см. рисунок). Определить, прн каком модуле началь. Ю ной скорости пе( и, траектория аппа- У р рата пройдет вне Землиу Скорость и 8 п,-вторая космическая скорость е). з)г)з Решение.
Из уравнения траектории при кеплеровом движенин Ф г= 5 1 — е соз (~р — щ) дл находим максимальное и минимальное значения радиуса-вектора, полагая соз(41 — <Рг)= + 1, откУда Р Р гвах = — гопп = —. 1 — е ° 1-1-е' д Траектории рассматриваемого аппарата К задаче 1бд. в зависимости от величин пе и йе могут пересекать поверхность Земли или ее не пересекать. Очевидно, что траектория будет располагаться вие поверхности Земля, если гппе)с, или — '>а 1+в *) Н. В, Бутеки и, А. Г, Бесов зов, Б.
М. Морозов, Введение в дивзмику твердого тела, движупмгося в поле силы земного пригяжеииз. Основы касмоиавтики. Леииигрздский институт авиапиоикого приборострое- ния, 1965. космичискяя динАмикА 1гл. хщ Полагая 9, заданным по условию, найдем минимальное вначение оа„ при котором траектория аппарата будет траекторией искусственного спутника Земли. Это будет при р=)С(1+е), (р — гс)а сЧса, или при Выразим р и а через начальные условия движения, согласно (20) и (29), предыдущей задачи. Тогда находим (2»,г, ий,-я) (я1п 9,+(1-2»,)' 9,)ж Раскрыв скобки и сократив на 4»тсоаайм не равное нулю, получим (го — Д) 11 (г'„она а~ — Юя) или, ааменив параметр», его значением (19) предыдущей задачи и учтя, что га —— Я+», имеем где ъ,' -первая космическая скорость.
Задача 19.9. Космический аппарат, движущийся под действием силы всемирного тяготения вблизи Земли, имеет в начальный момент радиус-вектор г, и скорость пм Определить модуль скорости аппарата в любой момент времени. Решение. Для нахождения модуля скорости в любой момент времени применим теорему об изменении кинетической энергии. Приращение кинетической энергии на элементарном перемещении равно элементарной работе силы тяготения: Сократив на массу лг и проинтегрировав в пределах от начальной Если начальная скорость о,)оат и соа6а) — то траектория й О о1»ю не пересечет поверхность Земли.
Если начальная скорость оа «с, оы илн сов 9, с. '— то траектой о А+», рия пересечет поверхность Земли н аппарат будет не искусственным сяутннком Земли, а баллистической ракетой. Заметим, что при Ь 0 скорость и„ может существовать только при 6, .О.
Раскрывая неопределенность под вторым радикалом, нахо- дим, что она равна единине и, следовательно, космнчиская динамика 1гл. хчг Круговая траектория. В этом случае высота полета неизменна Эллиптическая траектория. При движении по вллиптической траектории минимальная высота называется перигеем, наибольшая высота-апогеем, если вся траектория лежит вне пределов Земли. Из уравнения траектории Р 1-в соз (ф-фз) следует, что экстремальные значения радиуса-вектора будут при соа (ф - фз) = + 1, Следовательно, Р гтвх= Г т= п$1+е Соответственно наибольшая в наименьшая высота над поверхностью Земли будут йеаз'= Й. и 1 = — Й Р Р 1 е ° вз=1+е (1) Если траектория оканчиваегся на поверхности Земли, то высота полета изменяется от нуля до максимальной величины„ опредеаяемой той же формулой (1).
Параболическая и гилерболическая траектории. Если эти траектории располагаются вне пределов Земли, то наименьшая высота полета л м также определяется формулой (1), а л,„* со. Если жв эти траектории пересекаются с поверхностью Земли, то высота полета меняется от нуля до бесконечности, если движение начинается от Земли. Если же аппарат движется к Земле, то высота полета изменяется от бескос ~ нечности до нуля. ~®нг~ Задача 16.7. Искусственный спутник э Земли движется по круговой орбите радиуса гэ Он должен быть переведен на новую ~Ъ л ! круговую орбиту радиуса га) гз. Перелет у с первой круговой орбиты на вторую сонзч вершается по траектории, являющейся полоl виной эллипса.
Касательные к эллипсу и Юиз обеим круговым орбитам в точках сопри- К задаче 16,7, косновения совпадают. Этот перелет назы- вается перелетом Хомяка н производится путем приложения к спутнику мгновенного начального импульса Ьоз и мгновенного конечного импульса Ьоэ совпадающих по направлению соответственно со скоростями о, и оз. Определить величины Ьэа и Ьоз как функции радиусов гт и гэ Решение.
Скорость спутника при движении по первой круговой орбите равна ~/К ББ космнчвскля днньмнкь $ и. Лннимнии точки переменной массы ~гл, хл (1*) где и — мгновенное значение массы материальной точки; о-скорость материзльной точки, Р— главный вектор внешних сил, действующих па точку переменной массы, Ф вЂ” реактивная сила равная (й') Здесь и — абсолютная скорость прнсоединяющнхся или отделяющихся частиц, и, — их относительная скорость, пт~пг — секундное измененяе массы. Уравнение (1") называется уравнением Мещерского н формулируется так: «уравнение движения точки переменной массы имеет зид уравнения движения точки постоянной массы, если к приложенным к точке силам добавить реактивную силуж Отметим два частных случая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
