1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

е, Т Т(дь дь 1), где 1 ° 1, 2, ..., а, а з-число степеней свободы. Кинетическую энергию Т можно представить в виде Т-Т,+Т;+Т,, (4ь) где Та, Тд и Т, являются однородными функциями обобщенных скоростей дь причем Т, †втор степени, Тт- первой степени, а Т,— нулевой степени, т. е.

Т, = Т,(дь Г). При этом, вообще говоря, Та н Т4 также зависят от обобщенных координат д и времени Е Если связи голономны, а кинетическая энергия (4ч) явно от времени не зависит (это всегда справедливо при стационарных связях, но может быть и при нестационарных связях; см., например, задачу 17.2), то имеет место обобщенный интеграл энергии: Т, — Тд+ П = сопят, (б") который иногда называют инглегралом Якоби. Обобщенный интеграл энергия не является физическим интегралом энергии, т, е. законом сохранения механической энергии Т+ П =С, нбо Т ф Т, — Т, а вычисляется по формуле (4").

Член Т, стон~ в (бь) со знаком минус, а член Т,, линейно зависящий от обобщенных скоростей дь в (бч) вообще не входит. Он называется иногда аироснопичеснкм членом кинетической энергии. Только в случае стационарных связей Т1= Та=* О. Тогда формула (4э) принимает вид Т =Т,. Прн этом, как следует нв(бч), обобщенный интеграл энергии становится законом сохранения механической энергии: Т+ П = сопай (б ) Итак, закон сохранения механической энергии (бч) имеет место для материальных систем, подчиненных голономным и стационарным связям и находящимся под действием потенциальных сил, не зависящих от времени. б) циклические координаты, функция Раус ц Цлнличеснцми называются обобщенные координаты дь д„..., дь невходящие явно в выражение кинетической энергии Т, которым соответствуют обобщенные силы, равные нулю: ()А=()а ... О1 О, Если не все активные силы потенциальны, то пользуются уравнениями Лагранжа в виде — — — — = ()( Л дТ дТ ь й ддг ддг (7 ) где 1=1, 2, ..., а.

$п ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЙ дТ ;-т- = а~ = сопа1, ОЧ8 (8 ) где 1 = 1, 2...,, 1. Уравнения (8в) являются лервылт интесралами уравнений двисненил. Их число равно числу циклических коордннат. Итак, при наличии циклических координат частные производные кинетической внергик по соответствующим циклическнм обобщенным скоростям постоянны. Этн частные производные назывзют одобщенными импульсами. Из формулы (8в) следует, что обобщенные импульсы, соответствующие циклическим координатам, постоянны. Так, если материальная система имеет з степеней свободы при наличии 1 циклических координат иь о„..., дь то можно, минуя интегрирование, непосредственно нзйти 1 первых интегралов (8в): дТ дТ дТ вЂ” =аь — —— а ...

д аь дд,= дд,= '"* дд, (9') Постоянные а1', а„..., аг следует определить с помощью начальных условий движения. При наличии 1 первых ннтегралов (9ь) необходимо интегрировать уже не з, а только з — 1 уравнениЯ Лагранжа второго рода, соответствующих нециклическнм координатам. Для непосредственного составления втнх уравнений удобно пользоваться функцией Рауса й 'Я аь)А-Т. (10в) з ! В выражении (10в) из кинетической внергии Т, с помощью первых интегралов (9в), исключены обобщенные циклические скорости й,, А " ~ А. При наличии функции Рауса й уравнения Лагранжа для нециклнческих координат имеют вид Ы дй дй (11*) где 1 1+1, (+2...,, з.

Таким образом, с помощью функцяи Рауса удается из уравнений Лагранжа исключить циклические координаты (способ игнорирования координат). В частном случае потенциальных сил 9~ — †. Так как обоб- дП дщ ' щепные силы, соответствующие цнклнческим координатам, по условию равны нулю, то дП/ив . О, т. е. циклические координаты д~ явно 1(опустим, что первые 1 обобщенных координат явлмотся цикли- дТ ческими.

Тогда 9~=0, — = О, где 1 1, 2, ..., С н уравнения (7в) д дТ принимают вид дс дв = О. Отсюда следует: 102 элементы АнАлитичРской мехАники 1гл, хщг не входят в выражение потенциальной энергки, а значит, и в выражение функции Лагранжа ).=Т вЂ” П (напомним, что, по определению, кинетическая энергия явно не зависит от циклических координат). Итак, в случае аолгенциальнвсх сил циклические координаты д, явно не входягл в выражение функции Лагранжа, т.

е. д1./д~у,=О. При этом уравнения (1в) принимают вид д дЬ вЂ” — = О. дГ дД~ Отсюда следуют первые интегралы уравнений движения д1. — = са~ = сопзй ддф Так, если материальная система, на которую действуют только потенциальные силы, имеет в степеней свободы при наличии 1 циклических координат дн дя, ..., дь то можно, минуя интегрирование, непосредственно найти 1 первых интегралов: дЬ дь дь ддг ' ддч ' ' ддг (нетрудно видеть, что формулы (Ов) и (12в) тождественны, так как потенциальная энергия не зависит от обобщенных скоростей).

Для остальных в — )координат можно с помощью функции Рауса Я непосредственно составить в — У уравнений Лагранжа: — — — — =О а дй дД ЛГ ддг да~ (13в) где 1=1+1, 1+2, ..., в, а функция Рауса имеет вид (14в) Здесь из функции Лагранжа Ъ с помощью формул (12в) исключены циклические скорости уь да, " А. В случае материальной системы, на которую действуют потенциальные силы, непосредственное составление первых интегралов уравнений Лагранжа для циклических координат, в также составление с помощью функции Рауса уравнений Лагранжа для нециклических координат, рекомендуется выполнять в следующем порядке: 1) выяснить число степеней свободы в матеряальной системы и выбрать соответствующие обобщенныв координаты; 2) составить выражение кинетической энергии Т; 3) составить выражение потенцяальной энергии П; 4) определить функцию Лагранжа 1.

Т вЂ” П; пеРВЫВ интегРАлы уРАВнении дВижения ГОЗ б) при наличии 1 циклических координат эь да, !Гь т. е, координат, явно не входящих в выражение функции Лагранжа составить с помощью формул (12ь) 1 соответствующих первых интегралов; 6) решить систему уравнений (12ч) относительно циклических скоростей 1)ь ~)а, „ ., 1)ь выразив нх в зависимостя от времени Г, нециклических кооРдинат дг„1, г), , ..., дм их пРоизводных по вРЕ- мени А+ь А,ь " ° , ~), н постоянных аь а„ ...„ аь' 7) подставить циклические скорости, найденные в предыдущем пункте, в функцию Рауса (14ь); 8) составить уравнения Лагранжа (13э) для з — Х.

нециклических координат 9ыд В+а. "° Чг Число уравнений и. 8) может быть уменьшено на единицу за счет применения обобщенного янтеграла энергии (бэ) (если функция Лат. ранжа Г. не зависит явно от времени), либо закона сохранения механической энергии (6ь) (при наличии стационарных связей). Так, если к материальной системе с двумя степенями свободы, имеющей одну циклическую координату, можно применить обобщенный интеграл энергии, то оба первых интеграла можно непосредственно получить без составления и интегрирования уравнений Лагранжа второго рода. Задача 17.1.

Трубка ОА может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси з, проходящей через ее конец О (на рисунке показан вид сверху). Внутри трубки находится шарик М ьюссы лг. Момент инерции трубки относительно оси з равен Г,. Шзрик считать точечной массой. Си. лами сопротивления пренебречь. 11ринять в качестве обобщенных полярные координаты г и ~р. 11оказать„ что координата ~р яв- К задаче !т.!. ляетая циклической.

Найти первые интегралы уравнений движения. Составить с помощью функции Рауса уравнение 7!агранжа для нециклической координаты г. Решен на Материальная системз имеет две степени свободы. Обобщенными координатами по условию являются полврные координаты г и <р (см. рисунок). Кинетическзя энергия системы равна т=т, +т, где Т,р — кинетическая энергня трубки, а Т вЂ” шарика. Имеем т = — , 'Г,фа, т.= —,' гп(г'ф'+гз) (2) (здесь использована формула, выражающая квадрат скорости точки В полярных координатах: от=*тяф" +гз). 104 элементы АнАлитическои мехАники 1гл. хъ'!! Внеся (2) в (1), запишем Т вЂ” (1, + тгз) фз + — т1з. 1 . 1 (3) Активными силами являются сила тяжести трубки ОА и сила тяжести шарика М.

Учтя, что движение происходит в горизонтальной плоскости, получим потенциальную энергию разной нулю: П = О. (4) С помощью формул (3) н (4) определим функцию Лагранжа: Е = Т вЂ” П = — (1, + тг') !рз+ ~ тРа. (б) Координата !р является циклической, ибо она явно з зыраженяе функции Лагранжа не входит, Поэтому в соответствии с формулой (12з), приведенной в обзоре теории, непосредственно получим один из двух первых интегралов дЬ дч С учетом выражения (б) имеем (1, + тга) !р сд. (6) Итак, искомые интегралы уравнений движения имеют вид (6) и (7) Мы нх определили, минуя составление и интегрирование двух уравнений Лагранжа: д дЬ дЬ д дЬ дЬ вЂ” — — — =О, — —.— — =0 дг дР дг дг д~р др (8) Нетрудно видеть, что первый интеграл (6) фиксирует постоянство главного момента количеств движения материальной системы относительно оси л.

Для получения другого первого интеграла используем интеграл энергии (см. (6ь) в обзоре теории). Это возможно, так как активные силы — силы тяжести — потенциальны н на систему наложена стационарная связь (ось вращения трубки). Стацнонарностк связи соответствует выражение кинетической энергии (3), которая является однородной квадРатичной фоРмой обобщенных скоРостей Р н !Р, т. е. Т =Тя (в данном случае Тд н Тз-члены в выражении кинетической энергии (4ч), соответствующие первой и нулевой степеням обобщенных скоростей равны нулю), Записав закон сохранения механической энергии: Т +П =С, внеся в него аначения (3) и (4) и использовав результат (6), получим другой первый интеграл (7? 10б пш вык ннтнгзалы твлвнвнин двнжинни Это окааалось возможным благодаря наличию циклической координаты р н применению интеграла внергии.

В ааключение (минуя систему уравнений (8)) составим уравнение Лагранжа для нецнклической координаты г, вспользовав функцию Рауса гс. В соответствии с формулой (14з), данной в обзоре теории, аапишем Я=сир-(.. (9) Внеся в (9) выражение (б) и затем подставив значение ф из (6), получим функцию Рауса гг — тг — — —,, 1, 1 аа 2 2 lз+пгз ' (10) Теперь уравнение Лагранжа для нецикляческой координаты г можно записать в виде (см. (13з) в обзоре теории) дк дй — — — — =О.

Характеристики

Список файлов книги