1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 19
Текст из файла (страница 19)
е. Т= Т(~ув ~Д, где 1= 1, 2, . „ з; 3) найти обобщенные импульсы системы по формуле (1~), приведенной в обзоре теорни предыдущего пункта, выразив нх в виде функций обобщенных координат 7~ и обобщенных скоростей ф 4) решить систему уравнений, полученную в п.
3), относнтельно обобщенных скоростей Д, т. е. получить Д=ф~ (льрг), где1=1,2,..., з; б) вычислить потенциальную внергию П материальной системы; 6) воспользовавшись результатами пп. 2) и б), вычислить функцию Гамильтона Н Т+П; 7) в выражении Н, найденном в предыдущем пункте, ззменить обобщенные скорости фг с помощью зависимостей, полученных в п, 4). 126 клноннчкские ткавнкння гамильтона ной в обзоре теории. Эта формула, применяемая при нестационар- ных связях, в данном случае имеет вид И-ч'р д,— ).-рэр+рчю+ра8-1., (4) где Е= Т-П. Воспользовавшись формулой (1), а также выражением (7) за- дачи 17,7, напашем Е=Т-П= — лз(р'+радара!па6+рэз)-щрсоз8.
(б) 1 2 Внеся результат (б) в формулу (4), получим О Рар+Рч%+рад — 2 лг(р +р'~рзз1паб+рзйз)+лгйрсоз6. (8) 1 Для получения искомой функции Гамильтона остается в формуле (б) заменить обобщенные скорости с помощью аависвмостей (9) за- дачи 17 7. После несложных преобразований получим выражение (3).
Сопоставление двух методов составления функции Гамильтона показывает, что при стационарных связях эффективнее пользоваться формулой гХ=Т+П. Задача 17.11. Покаэзть, что в случае консервативной материаль- ной системы, находящейся под действием потенциальных сил и под- чиненной стационарным связям, функция Гамильтона равна полной механической энергии, т. е. Н= Т + П.
Решение. Предварительно заметим, что при стационарных свя- зях кинетическая внергия Т является однородной квадратичной функ- цией обобщенных скоростей, т. е. Т = — (аи41+ аззД+... + а„61+ 2аазуф, +...+ 2а,,а,У,,),), (1) 2 где коэффициенты аг~,-вообще говоря, функции обобщенных коор- динат уь дз, ..., 6э Согласно теореме Эйлера об однородных функциях для квадра- тичной функции имеем — %~ 2Т. 87 .
(2) дд~ Читатель, незнакомый с формулой (2), может беа большого труда убедиться в ее справедливости. Лля этого, воспользовавшись выра- жением (1), надо вычислить частные производные кинетической энер- гии Т по обобщенным скоростям чь чз "., бэ т. е. дТ ~- = аззр.+ащбз+„., дА — = аз уз+азарт+..., И вЂ” а„ф,+а„~,+„., бай элиминты аналитичйскон михлники 1гл.
хщг 126 и подставить эти аначения в развернутую левую часть формулы (2), т. е. в сумму дТ дТ дТ д~)г ддд ' ' ' ддд — А+ — Фя+" + — Ь После несложных подсчетов эта сумма окажется равной удвоен- ной кинетической внергии, двиной формулой (1). Перейдем к вычнслению функции Гамильтона с помощью формулы (4*), приведенной в обзоре теории, т. е. Н= Х ргА — У! ! Заметив, что, по определению, дЬ дТ дд, = дд, а функция Лагранжа имеет вид Ь= Т вЂ” П, запишем выражение (3) в виде в Н= Х ФА-Т+П (а) ~=1 Внеся равенство (2) в формулу (4), получим искомое выражение функции Гамильтона Н= Т+П. 3'.
Канонические уравнения Гамильтона. Рассмотрим консервативную материальную систему с з степенями свободы, Выберем з обобщенных координат «ь дз, .... д,. Для описания движения этой системы с помощью уравнений Лагрзнжа второго рода надо составить з дифференциальных уравнений второго порядка Ы дЬ дЬ вЂ” — — — =О, дГ дф~ дф где 1=1, 2, ..., з, а Е.=Т вЂ” П вЂ” функция Лагранжа. Снизим порядок каждого дифференциального уравнения со второго до первого путем удвоения числа уравнений.
Это можно сделать различными методами, в частности, если к з обобщенным координатам присоединить з дополнительных координат †обобщенн импульсы р„ ря, ..., р„ Переменные д, я р, (1 = 1, 2, „ ., з) называются каноническими переменными. Обобщенная координата д~ и соответствующий ее импульс р, называются солрялсенными гганоническими переменными. Этим 2з каноническим переменным соответствует 2з канонических уравнений Гамильтона: — Рь= —— дН .
дН =дл,* = дз, ° (8*) где Н вЂ” функция Гамильтона, а 1=1, 2, ..., ж кАнОнические уРАВнения глмильтонл 127 Канонические уравнения Гамильтона — это система 2а обыкновен- ных (а не в частных проивводных!) дифференциальных уравнений первого порядка, Каноническими уравнениями, помимо механики, польвуются в кван- товой механике, электродинамике и других областях теоретической фиаики. Составление канонических уравнений рекомен- дуетса проводить в следующем порядке: 1) выяснить число степеней свободы данной консервативной мате- риальной системы и выбрать соответствующие обобщенные коорди- наты; 2) найти обобщенные импульсы, сопряженные с выбранными обоб- щенными координатами (см.
и. 1' этого параграфа); 3) вычислить функцию Гамильтона (см. и. 2 этого параграфа); 4) составить канонические уравнения с помощью формул (8»). Задача 17.12, Составить канонические уравнения движения сво- бодной материальной точки массы и в поле силы тяжести. В каче- стве обобщенных координат выбрать декартовы координаты ж, у, я, Р е ш е н и е.
Свободная материальная точка имеет трн степени свободы. Значит, для описания ее движения надо иметь шесть кано- нических переменных. Обобщенные импульсы Р», Р», р, были приведены в формуле (2) задачи 17.7. Для составления шести уравнений Гамильтона (8»), имеющих в данном случае вид дН до дН . дН . дО . дН х = — )1 = —, д = — Р = — — Р = — —, Р - — — (1) др„' др„' др ' ' д» ' У оу ' * дг > воспольвуемся функцией Гамильтона Н, которая была составлена в аадаче 17.9 (см.
формулу (3)): Н вЂ” (Ре+Руе+ре)+шаг. Подста- вив это вначение Н в уравнения (1), найдем искомые канонические уравнения р» ру ре — У= —, д= —, Рх=о* Ру=о Ре= — шй' (2) Эти шесть канонических уравнений первого порядка относительно переменных х, у, г, Р», р, Р, можно привести к трем дифференци- альным уравнениям второго порядка относительно переменных т, у и л. Действительно, вычислив пронаводные по времени первых трех канонических уравнений (2) и решив их относительно Р„, Р, Р„ получим Рх=льке Ру='Ф Ре=лес Подставив эти аначения Р», Р, Р, в три последних канонических уравнения (2), после сокращения на т найдем У=О, ."У=О, л — Л.
(3) 128 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ [гл. Кч! Нетрудно видеть, что уравнения (3) — это дифференциальные уравнения движения свободной мвтеризльной точки, нзходящейся в поле силы тяжести, в проекциях на декзртовы оси координат. Задача 17.!Э. Составить канонические уравнения движения свободной материальной точки мзссы ш, находящейся под действием квззнупругой силы )с= — сг (см.
рисунок), где с — постоянный коэффициент. Силой сопротивления движению пренебречь, В качестве обобщенных координат выбрать декартовы координаты х, у, ъ Р е ш е н и е. Свободная мзтеризльнзя точка имеет три степени свободы. ТРем обобщенным кооРдиизтзм дг=х, ля=У, 4з=«соответствуют три сопряженных обобщенных импульса р, рю р,. Для определения р р„р, вычислим кинетическую энергию мзтернзльной точки Т = — глез .2-гл (уз+ рз+ йз).
1 ! 2 (1) Обобщенные ямпульсы рзвны дТ дТ д т У х ду дТ р,=ч« = юд. (2) К зздзче 17.13. Тзк кзк сила )с потенциальна, а связи отсутствуют, то функция Гамильтона равна ее полной механической энергии, т, е. Н= т+ П. (3) Напомним. что потенциальной энергией нззывается работа, которую совершает потенциальная сила при перемещении материальной точки из данного положения в нулевое. Поэтому в данном случае о о сг' П='! И.б =- ~~ й = —. 2 ' г с Ззметнв, что г' хе+уз+«з, запишем формулу (4) в виде П = — (х'+у'+ «з).
2 (4) Подставив результаты (1) и (б) в формулу (3), найдем Н = — л! (х'+ Р'+ Ез)+ — с (х'+у'+ «з). 1 ! 2 2 (6) Выражение (6) еще не является требуемой функцией Гамильтона, ибо последняя должна зависеть от обобщенных координат и обоб- канонические эвлвнення гамильтона Внеся выражения гг, у, 2 в формулу (8), получим функцию Гамильтона в виде О-~(Р!+Р'+Р*')+ —, ( '+Л'+ха). (7) Перейдем к составлению канонических уравнений дН . дН А- —. др~ ' дгт ' которые в данном случае имеют вид дН дН дН . дН ° дН 8Н .Ф вЂ” 17 = — 8 = — Р— — р = — — )1 = — †. (8) др„' др ' др ' х дх' -" др' а дг' Подставив в уравнения (8) выражение функции угт нз формулы (7), получим искомые канонические уравнения движения Рх Рр Ра — д= —, 2 =-, рх= — сх, р„— су, Р,= — сг, (9) Мы получили шесть канонических уравнений первого порядка, соответствующих шести каноническим.
переменным м; у, х, р„, р„, р» Этн уравнения можно привести к трем дифференциальным уравне. нням второго порядка в проекциях на декартовы оси координат. 11ля этого надо продифференцировать три первых канонических уравнения (9), ватем решить их относительно р„, р, р, и подставить найденные р рр, р, в трн последних уравнения (9). Получим тУ вЂ” сх, ргР— су, лай — с».
(19) Уравнения (19) являются проекциями векторного уравнения тчв = = Н, т. е. там= — сг на декартовы оси координат. Задаче 17 14. Составить канонические уравнения движения свободной материальной точки массы т, находящейся под действнем центральной силы.
Потенциальная энергия равна П = П (г). В качестве обобщенных выбрать полярные координаты г и ~р. Решение. Лвум обобщенным координатам г и ф соответствуют два сопряженных импульса р, и рв, которые вычислены в решении аадачи 17.7 ((см. формулу (8)). Так как центральная сила )т потенциальна, а свяаи отсутствуют, то функция Гамильтона равна полной механической энергии: б И. И. Бать а хр., т. И! шенных импульсов.
Поэтому, воспольаовавшись формулами (2), вырааим обобщенные скорости в аависимости от обобщенных импульсов: Рк Рт Рг — 0~— га' У яа' И' 13О элементы АнАлитическон мехАники 1гл. Кзт! Теперь надо в функции Н выразить обобщенные скорости г я ф через обобщенные импульсы р„ре и координаты г, ~р. Использовав фоРмулу (5) задачи 17.7, имеем Рз т (3) Канонические уравнения ° дн 4' =а ° ан Рг= рч в данном случае имеют вид ° ан ан ан ан (4) Внеся в уравнения (4) значение функции Гамильтона (3), получим искомые канонические уравнения движения материальной точки: р, .
р, ~П вЂ” — р = — '.— — р =О. ш' ига' з лнз аг ' Задача 17.16. Составить канонические уравнения движения физического маятника, если Р— его вес, 1,— момент инерции относительно оси привесв г, ОС= а — расстояние от точки привеса О до центра тяжести С маятника (см. Рисунок). Трением пренебречь. В качестве обобщенной координаты выбрать угол поворота ~р.
Решение. Маятник является системой с одной степенью свободы„ибо его положение определяется углом поворота ~р. Для вычисления сопряженного обобщенного импульса рч запишем кинетическую энергию маятника: 1 ° К задаче 17Л5. Далее получаем для сопряженнсго обобщенного а7 Гф= з'р' импульса: (2) откуда Рч ф=— 7, Единственная активная сила — сила тяжести а связь — ось привеса — идеальна и стационариа. (3) Р— потенциальна, Значит, функция Воспользовавшись выражением кинетической энергии (4) в задаче 17.7, запишем Н= л т(га+гзфз)+П(г), (2) кАнонические уРАВнения ГАмильтонА Гамильтона равна полной механической энергии маятникж Н-т+П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
