1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 21
Текст из файла (страница 21)
1(ана система переменных 4)4 и рь Требуется найти новые переменные $4 и 4)ь выразить их в зависимости от старых переменных дг и Р4 и вычислить новую функцию Гамильтона 14 в зависимости от старой функции Н, есле производыцая функция У имеет вид ь' Я дД4. г 4 Решение. Использовав формулы (Зз), получим ау з д ь ')4 д$ дд4 дЗ4 т.
е. новые переменные равны й4 =Р4 Ч4 = Ч4 где 1=1, 2, ..., з. Итак, в новой системе переменных старые импульсы стали нозымя координатами, а отрицательные значения старых. координат стали но- ВЫМИ ИМПУЛЬСАМИ. Производящая функция У= ~~ рД4 явно от времена не зависит. 4=4 Понтону д'у/дг=б и, следуя формуле (2ь), получим )с=Н.
2'. Уравнение Гамильтона — Якоби. Поставим задачу об отыскании пронзводя4цей функции У, которая позволила бы перейти от первоначальных избранных переменных р4 и рг к новым постоянным координатам $, =гз4 = сопзс и,нозым постоянкым импульсам 4)4 = ))4=сопя(, где 1= 1, 2, ..., к Подобное каноническое преобразование привело бы к зависимостям старых переменных 4)4 и р4 от времени и от постоянных 4з4 и 1)4, т. е. дало бы возможность, минуя интегрирование, легко найти первые интегралы канонических уравнений. уРАВнение гамильтона-яковы Решение. В формуле (3) задачн 17.10 была записана соответствующая функция Гамильтона Н= — ! р'+ —.+ — 1!+эалрсоа6.
2гл~ Р рьи!па ра1' На основании формулы (Зь), приведенной в обзоре теории п. 1' этого параграфа, имеем: рр дрор, р, д'У1дф, ра д!11д6 н функция Н принимает внд 2 ~(д ) + 'и'З (д ) + ря (Ю) ~+ ™др сов 6. ( ) Внеся выражение (1) в формулу (бь), получим искомое уравнение Гамильтона †Яко Задача 17.22. Составить уравнение Гамильтона †Яко для описания двнжения физического маятнвка, если Р— его вес, 1, — момент инерции относительно осн привеса, а — расстояние от точки привеса до центра тяжести маятника. В качестве обобщенной координаты выбрать угол ф отклонения маятника от вертикали. Решение.
В формуле (7) задачи 17.1б дана соответствующая функция Гамильтона Н= — Д вЂ” Ра соя ф. 1 21 Нэ основания формулы (Зь), приведенной в обзоре теории п. 1' этого параграфа, имеем др д~р ' в функция Н принимает внд 1 1др~а Н = — ( — ) — Расоаф. 21я (,йР! (1) Использовав выражение (1) в формуле (б"), получим искомое уравнение Гамильтона †Яко др ! 1др!а —.+ — ( — ) — Ра соя ф= О. дг' 21я ~дф! 3'. Интегрирование уравнения Гамильтона — Якоби методом отделения переменных. Определение первых интегралов канонических уравнений с помощью уравнения Гамильтона — Якоби.
Иэ теория дифференциальных уравнений известно, что полный интеграл уравнения в частных производных (не отождествлять полный интеграл с общим интегралом, который в этой книге не рассматривается) содержят постоянные интегрирования в числе, равном числу независимых переменных. Искомая производящая функция !1= !1(1, «г, $!), где 1=1, 2, .„а, дает, !40 влиминты аналиткчкскои махлникн 1гл.
хчп возможность совершить каноническое преобравование к постоянным координатам $~=пч=сопа1 я постоянным импульсам пд ~~=сопв1, т. е. У У(т, д» аД, где 1= 1, 2, ..., к Поэтому функция У вависнт от а+1 переменной (время Г и а координат о,), и вначит„полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби содержит а+1 постоянную интегрирования.
Одна иэ постоянных(а, д) может стоять отдельным слагаемым. нбо искомая проиаводящая функция У входит в уравнение Гамильтона— Якоби (бь) ф+н~/, дь -")-о (ба) У=Я(/, рв д„..., ~у„а„а„..., а,)+сг„~ где аь а„..., са, являются новыми постоянными координатами и одновременно — постоянными интегрирования. Заметив, что дУ/да = дЮ/дг и дУ/ду, до/ддь впредь будем польаоваться уравнением Гамильтона †Яко в виде —,+н(г, дь — -)=о, (7 ) где1=1, 2, ..., а, Интегрирование уравнения Гамильтона — Якоби (7в), подобно интегрированию канонических уравнений, представляет значительные трудности. В некоторых случаях, укаэанных ниже, можно несколько облегчить интегрирование применением мгщода оглделлнил пере.яемлых.
Напомним, что функция Гамильтона зависит, вообще говоря, от времени, обобщенных координат д, н сопряженных с ними обобщенных импульсов рь т. е. Н=Н(г, дь р,), где 1= 1, 2, ..., а — число степеней свободы материальной системы. Рассмотрим случай, когда в Н входят сопряженные переменные дд и рг в виде функции <ра=<ра(рь ра), не содержащей других переменных, т. е.
Н Н~1 фт(~уь ра), дь рг) (1=2, 3, ..., а). Такая структура функции Гамильтона дает воэможность упростить интегрирование уравнения Гамильтона †Якоби (7ь) методом отделения переменных. Это уравнение в данном случае имеет ввд только под имаком частных производных дУ/д/ и дУ/доь Поэтому в ревультате интегрирования уравнения Гамильтона †Яко искомая функция У определится в виде 141 ичвненни гамильтона-якови Если в искомои проивводящеи функции 8 отделить переменную рь т.
е. вапнсать ее в виде 8 *8т(4т)+8я(Х, ~уД (1 =2, 3, ..., з), (ОЯ) ~р+Н1( а, рь ~~Ж-0 (1=2, З, ..., з). (11") Дифференциальное уравнение (10Я) является обыкновенным, а уравнение (11Я), хотя и остается в частных производных, ио в нем число переменных уменьшится на единицу. Тем самим упрощается его интегрирование. Аналогично, если в функцию Гамильтона Н входит не одна пара, а / пар сопряженных переменных о~, рт в аиде функция ф~ — — фт (ол рт), где /=1, 2, ..., 1, причем ю~ не содержит других переменных, т. е, Н Н(1, р (7 ° р) д р~~ где / 1, 2, ..., 1 1 1+1, (+2, ..., з, то в искомой производящей функции 8 можно отделить переменные и записать ее в виде 8 8т (чз)+ 8а (та)+" + 8ю (В) + 8о И В) 1+ 1, 1+ 2, ..., к (12ь) где В ятом случае уравнение Гамильтона — Якоби приводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям н одному дифференциальному уравнению в частных проиааодных — '+Н Г, ад рь — ~=0, Щ 1 ащ)= ' (14 ) где /=1, 2, ..., 1, 1=1+1, 1+2, ..., з.
Это уравнение интегрировать легче, чем исходное уравнение (7Я). (В уравнении (7*) з+1 переменнак Г, р» рь ..., ои а в уравнении (14Я) з-Х+ 1 переменная: Г, д,+„ у,+ь ..., р„ т. е. в уравнении (14я) на Е переменных меньше.) Методом отделения переменных удобно также польаоваться прн наличии циклических координат. Так, если имеется ! циклических координат дь дь ...> рь где 1(з, то искомую производящую то уравнение Гамильтона — Якоби (8ь) приводится к двум уравнениям <рз(рь — / аь где сад — — с опас , 0311 (Гб ) ь кя / 142 1гл.хтп элиошнты Айллиткчисхой миханикм функцию 8 можно аапясать в в|ще 8-ссор(+сЬгуо+" +от р~+8о(г, «цй рооо. ", ро) (16') 11ля определения 8, надо решить уравнение Гамильтона — Якоби аоо дао дао аьо1 — +Н~1, а~ „уо „..., ао аь поо ..., аь —, —, ..., — ~= О.
дФ '1 ' + + *" аз„, а~,„"" а~,/ (16о) Уравнение (16о) содержит уже ие з+1, а только з-1+1 переменных, т. е. чксло переменных уменьшилось на числоуциклических координат. Если связи стационарны, то полная механическая энергия Ь Т+ + П является одним иа первых интегралов канонических уравнений. В этом случае пронаводяшую функцию 8 можно ааписать в виде 8= — Ьг+80(рь ФФ ..., Ь ат, а ..., ао ь Ь), (17') где роль ао играет полная механическая энергия уь 1(ля определения функции 8 надо решить следуюшее уравнение Гамильтона †Яко: Если при наличии 1 циклических координат система также консервативна, то искомая производящая функция 8 имеет вид 8= — Ьо+аото+соото+ ..+агуг+8о(у!+о 'уооэ " то) (10 ) где Ь вЂ” полная механическая энергия материальной системы.
В этом случае для определению 8о надо решить уравнение Гамильтона — Якоби Ири этом уравнение в частных производных (20о) преврашается в обыкновенное дифференциальное уравнение До1 Н(ро соь ао, ..., ао „вЂ” -~=Ь, Ж~;/ (22*] где Ь вЂ” полная механическая энергия материальной системы. Н~рыь дс ь ", ди соп соо "., сс„—, я —, ..., - — ~=Ь. (20') дно дао дао1 ад„,' з~ ' " ад,у Уравнение (20о) содержит только з-1 переменных. Наконец, если материальная система по-прежнему консерзилоизни и все обобшенные координаты, кроме одной а„являются циклическими, то 8= — ЬГ+аоро+а,до+...+соо,ро 1+8о(ро).
уРАВнении глмильтонА — якови Решение задач динамики материальной системы с помощью уравнения Гамильтона — Якоби рекомендуется проводить в следующей последовательности: 1) составить уравнение Гамильтона — Якоби (см. п. 2' этого параграФа) дд дд — дГ+О(З, йь — )-О, где 1=1, 2...„з-число степеней свободы материальной системы; 2) решить уравнение Гамильтона — Якоби и найти производящую функдию 8 г=г(З, йь Ь.", Ф сгп аь" а.)* ГДЕ а„аь ..., а, ЯВЛЯЮТСЯ НОВЫМИ, ПОКа НЕИВВЕСтНЫМИ ПОСТОЯННЫМИ обобщенными координатами н одновременно — постоянными интегрирования; 3) применив формулы д ' ~' д дд дд (23*) да~ ' да~' где 1=1, 2, ..., з, найти рг-рг(1 Ь аг) Рю=Рг(1 рь аг), ( *) где 1=1, 2, ..., з (напомним, что р,— старые обобщенные импульсы, а )),— новые, пока неизвестные постоянные обобщенные импульсы); 4) решив систему 2з алгебраяческих уравнений (24Р) относительно зг н р„найти канонические переменные % %(1 аь Р~), Р~=рьЙ аь Р~) (2бч) где 1=1, Х, ..., д Здесь аг и 1),— новые, пока неизвестные постоянные канонические переменные, которые одновременно являются постоянными интегрировании б) использовав 2з начальных условяй движения: при Т=О дано чг=йы рг *рп, определить 2з постоянных интегрирования а, и (1;, где 1=1, 2, ..., к Подставив их значения в (2бч), найти первые интегралы канонических уравнений, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
