1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е. искомые канонические переменные чг = Ь (г)~ Рг рг (г). р~=д —, где 1=1, 2, ...„з; дЗУ дш — — где 1=1, 2, ..., з-1, дд, да~ ~ ду дд, УЯ 1 о дл дя' (26*) (27 ь) Если материальная система консервативна и производящая функиия 8 ищется в виде (17ч), то формулы (23") принимают Внд 144 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ !гл. Кт!г Заметим, что 2а-1 уравнений (26*) не содержит явно времени.
Они называются уравнениями траеигяории. Уравнение (27е), содержащее явно время, иногда называется уравнением движения яо траектории. (Напомним, что уравнении Лагранжа второго рода не дают возможности непосредственно, отдельно получить уравнения траектории и уравнения движения. В этом преимушество использования канонических уравнений.) В уравнениях (26ч) и (27ч) содержится 2з постоянных интегрирования ан а„..., га„н й, ()ь Рв „° ~)~. Йля их определения должны быть заданы 2з начальных условий движения: при 1= О дано д, = ряь р, =р,, где 1= 1„ 2, ..., г. Задача 17.23. Найти зэков малых колебаний математического маятника с помощью уравнения Гамильтона †Яко.
В начальный момент маятник находился в покое, а его нить длиной 1 была отклонена от вертикаля на угол фм Силами сопротивления движению пренебречь. Решение. Математический маятник имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной коордий наты 4 выберем угол ф отклонения маятника от вертикале, т. е. 4=ф. - и Так как сила тяжести потенциальна, а нить настоянной длины 1 реализует стационарную связь, то функция Гамильтона О равна полной механической Ф внергни, т.
е. К задаче !7.23. Н=т+П=й (1) Кинетическая энергия маятника, являющегося точечной массой, равна Т вЂ” «гоа = — гн1афа. ! а ! 2 2 (2) ЬТ Обобщенный импульс р, вычисляемый по формулерв= —, равен Рч ги1аф„ (3) откуда найдем (4) Потенциальная энергия маятника определяется (см. рисунок) по формуле П = валах, где Ьх=1(! -соя ф), т. е. П* ягя1(1 — соаф).
(б) Разложение соа ф в ряд по степеням ф имеет внд соа ф = !— — — + — — ... Считая колебания маятника малыми ограничимся пер- Ф 2 4! Ф выми двумя членами разложения, т. е. примем соафж ! — —.Теперь чл потенциальная энергия (б) запишется в виде П= — ф. В22! 2 (6) 14б УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА †ВКО Использовав формулы (2) и (6) в выражении (1), найдем О фа+ фй тГа . тя1 2 (7) функция Гамильтона гт должна быть выражена в зависимости от обобщенных координат и обобщенных импульсов.
Поэтому, внеся в (7) значение ф из формулы (4), получим 1 , тя1 Н вЂ” — ра + — фй. 2тга 2 (9) Напомним, что решение задачи об определении первых интегралов канонических уравнений с помощью уравнения Гамильтона — Якоби сводится к отысканию производжцей функции 8. Эта функция дает возможность совершить каноническое преобразование от.старых переменных обобщенных координат и импульсов к новым постоянным координзтам и импульсам. В данном случае старым переменным ф и рв соответствуют новые, пока неизвестные постоянные а и В соответствии с формулой (17а), приведенной в обзоре теорви, в данном случае при з=1 искомая производящая функция 8 имеет вид 8= — дГ+8',(~р, д), (9) где И вЂ” полная механическая энергия, причем а= д.
Этой постоянной д соответствует постоянный обобщенный импульс 1), подлежащий, подобно д, последующему определению. 11ля вычисления функции 8а применим уравнение Гамнльтона— Якоби (18а), приведенное в обваре теории. В данном случае прн а=1 и 7 ф имеем О(р, дд'~-д, (10) Заменив в выражении (8) рч на д8а7дф и затем внеся его в уравнение (10), получим уравнение Гамильтона †Яко в виде Так как 8 зависит только от одной переменной <р (см. (9И, то дда дда — = — и, значит, дв «Ф а + в,й д «да й 2тга1дрГ' 2 (11) Итак, уравненяе Гамильтона Якоби в частных производных в данном случае оказалось приведенным к обыкновенному дифференци альному уравнению (11), Решив уравнение (11) относительно ай8й/йр.
получвм 146 элементы АнАлитическои мехАники !Гл. хт!$ После равделеняя переменных и интегрированна найдем Во=та'2лю ) р/ " 2 Ф '1'Р. (12) Внеся значение (12) в выражение производящей функции (О), будем иметь Ю= — В+7)/2ш ~ )/ Ь -+" Фю ю(ф. (1 6) ю ю)/'2 ююю — юля!в лф ЕА,! Аюй! 2 Ь вЂ” — вю 2 () Вычислив интегралы, стоящяе в формулах (14), найдем р =1)/2лю~Ь вЂ” — - фю!, 1)=1 — ~~ — агсю!и ~г — ф.
(1б) ю— Как следует ив выражений (16), новой постоянной координатой оказалась полная механическая энергия Ь, а новый постоянный импульс р, сопряженный с координатой Ь, имеет размерность времени. 1(ля определения Ь и !) воспользуемся начальными условиями движения маятника: при г = О имеем ф= Ф„ ф=фю=О. Применив формулу (3), найдем: рю, =люююфю — — О. Подставив в уравнения (16) (=О, ф =ф„ рю — — р„„ =О, получим Ь =~ Ф~ р= — ~1 — агса!п у — ф,.
(16) Внеся значения (16) в уравнения (16), после несложных преобразований найдем искомые первые интегралы канонических уравнений г,- Фююю' — юч ю-ю. Конечно, уравнение ф = ф, сов "у — г можно было легко получить, 'Га применив дифференциальное уравнение вращения вокруг неподвижной осн лю7юф = — люд1ю!и ф, н затем, положив а!и ф ж ф, его проинтегри- ровать. Однако, решив задачу с помощью уравнения Гамильтона— Якоби, удалось выяснить физический смысл новых сопряженных каноническях постоянных. Ими оказались полная механическая энер- гия Ь и время 1.
Этот результат играет существенную роль в кван- товой механике, Теперь нетрудно применить формулы (26*) и (27ю), приведенные в обзоре теории. При а=1 имееы 147 УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ Ф е1 Задач» 17.24. Найти закон движении н уравнение траектории свободной материальной точки массы гп, движущейся в поле силы тяжести. В качестве обобщенных выбрать декзртовы координаты ,к, у, ш Решить задачу с помощью уравнения Гамильтона — Якоби. Решение, В задаче 17.20 было получено уравнение Гамильтона — Якоби (см.
(2)). -дг+2 ~(дк) +~д-) +(дк) 1+-"=О (1) Воспользовавшись формулой (6"),. данной в обзоре теории, запишем уравнение (1) в виде — + — ~~ — ) + ( — ) + ~ — ) ~ + тйх = О. (2) Так как в данном с~учае имеет место интеграл энергии, а координаты к и у являются циклическими, то, применив метод отделения переменных, в соответствии с формулой (21"), приведенной в обзоре теории, будем искать производящую функцию 8 в виде 8 = — лг+ аол+ а,у+бе (к) (3) где й — полная механическая энергия, ое, и ао — новые постоянные координаты, одновременно являющиеся постоянными интегрнрования.
Заметим, что й, а„ а, и Зо(г) пока неизвестны. Вычислив производные функции (3) по г, х, у и к, получим д8 дд дЯ дЯ ддо сБе о е дТ ' дк ду Зк дк да ' Внеся результаты (4) в уравнение (2), найдем й.:+":+~'— ::)'1+: =" (б) Итак, благодаря интегралу энергии, а также наличию двух циклических координат х к у уравнение Гамильтона — Якоби (2) в частных производных превратилось в обыкновенное дифференциальное уравнение (б).
Это уравнение можно было непосредственно получить, применив формулу (22е), приведенную в обзоре теории. Решив уравнение (б) относительно Юе7дз, найдем да (6) Разделив переменные в дифференциальном уравнении (6) и проинтегрировав его, получим (7) Внеся значение (7) в выражение (3) производящей функции Ю, найдем Здесь пока неизвестны л, охт н ая. (4) 148 влвмзнты Аналнтнчзскои мехлнннн [Гл, хч!1 Для установления завнснмостн между старымв переменнымн обобшенныни координатамн х, у, г н стармми импульсамн рво рт р а также новыми постоянными коордннатамн Ь, аг, а, н новымй постояннымн импульсами ))„ !)ь ))г, применим формулы (23«), прнведенные в обзоре теории: дЗ дЗ дЗ О у О дг ду ' дг дЗ ддо й дЗ „дЗо 1)г = — — — х — — ', дав дЗ дЗо (10) !)о= — = 1- —. дп ' Воспользовавшись результатом дЗо -ав дг да, «1'2т (» — «вйг) — а', — а*,' д« Вычислив зги интегралы, получим (7), найдем дЗо -ао аг дао ) )'2т(а-туг)-авв -а,' ' «о дг дЗ, в в дЗо ав дав «вод — — 2т (й — тгг) -а, - а„— = — — 2т(л — тгг) — а' — а,' ' да, «гвд 1 в дЗо ! вв/' да м» --- юв — !г 2т()в — тгг) ав ав ! Теперь уравнения (10) пркннмают внд рг=* — х — „—,о г' 2т()г — туг) — а,'-а,', !)о= — у — ~ о- 2т()г — тгг)-а* — а' твг 1 о ))г = !+ — )г'2т (!о — тлг) — а,' — а,'.
! (12) «в« Итак, получена система шести уравнений (9), (11) и (12), уста» навливающих зависимость между старымн каноническнмн переменнымн х, у, г, р ру, р, н новыми каноническими постояннымн И, и„ а„ !)г, !)г, 1)г, которые одновременно являются постоянными интегрированна. Для определения постоянных интегрирования должны быть заданы начальные условия движенвя: при 1= 0 пусть даны х=хту у„ г ~ го Рг Рквв Ру Руа Ро Ргв' Два уравнения (11) являются нскомымн уравненнямн траектория материальной точки (траекторией является кривая, по которой пересекаются пнлнндрнческве поверхностн, описанные уравненнямн (11)), Уравнение (12), содержащее явно время, определяет искомый закон движения материальной точки, В заключсние получям с помощью формул (9), (11) и (12) урав- нения свободного паденвя матернальвой точки, происходящего вдоль 149 УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА ЯКОВИ осн л с высоты а.
Как известно, уравнения траектории — оси л— имеют вид я=у=О, (16) а закон движения дается уравнением л* а — —. атд 2 В этом случае начальные условия движения таковы: при 1=0 имеем л=О, у= О, л а, Х О, )> О, 2=*0. (16) В соответствии с формулой (2) задачи !7.7а) запишем обобщенные импульсы: (14) !Рл ~ зд«2~ рт ядрэ ри ~ вдл' 0 сдд О=сдя, О (17) Использовав начальные условия (16) в уравнениях (11) и (12), по- лучим ад идл В ря — —,' Ф'2лд (й — идеал) — ад' — дд,', — )/ 2 (й - лдла) — ~( - ~. лдй (18) Решив систему уравнений (17) и (18), найдем ад —— О, сдэ=О, й=лд8а, Рд=О, !)э —— О, ра= О.
(19) Внесение значений (19) в уравнения (11) я (12) приводит к формулам (!6) и (Щ х 0 у 0 з а 2 егд Конечно, применение уравнения Гамильтона — Якобн при решении столь простой задачи нецелесообразно. Оно было дано для иллюстрации использованяя метода отделения переменных при интегрировании уравненпя Гамильтона †Яко: Задача 17.26. Найти уравнения движения и уравнение траектории материальной точки; движущейся в плоскости под действием центральной силы, если потенциальная энергия раина П П(г), где г †переменное расстояние от материальной точки до неподвижного центра, Применить уравнение Гамнльтона — Якоби в полярных координатах. 1(аны начальные условия двнженик при 1=0 имеем ф = О, ф=фа, г=га, Р=Р~.
При Е= ))=2=0 начальные вначения обобщенных импульсов будут р„-О, р„-О, р„-О. (16) Внеся (15) и (16) в уравнения (9), найдем 16О элементы АнАлитнческои мехАннкн 1гл. хун Решение. Материальная точка, движущаяся в плоскости, имеет две степени свободы. В качестве обобщенных примем полярные координаты точки, т. е. ра=г, ра — -ф. Кинетическая энергия материальной точки равна Т теа 2 гл (Ра + Рафа) где яа — масса материальной точки, Обобщенные импульсы р, и рэ равны дТ дТ р,= — глР, р = — =юг ф. Решвв уравнения (2) относительно Р и ф, имеем Ря . Рч Р пы — ф = —, и' югю Так как свободная материальная точка движется ном поле, то функции Гамильтона Н равна ее полной энергии Ь, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
