1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Поэтому бу(0, Г) =О, бу' (О, г) = 0 и формула (20) примет вид ~ — Э-(у"'6у — у"бу')ссх у'" (Ю, Ф) 6у(Е, Ф)-у" (1, Ф) 8у'(Е, Г). (21) о Внесем реэультаты (19) и (21) в уравнение (18): с, с — гЮ ~ (ру+ Езус~) 6у Фх+ Х, о с1 +Е(~ (у"'(1, г)бу(1, с) — у" (1, с)6У(г, г)) йс-о. (22) с, Так как варварски, стоящие в уравнении (22), произвольны, то, согласно основной лемме варнаппонного исчисления, иа этого урав- нения следует рР+Е)у -О, (23) у" (1, 1) = О, у"' (Р, Г) = О. (24) Выражение (23) является искомым днфференпиальным уравнением в частных проиаводных иагибных колебаний стержня.
Соотношения (24) представляют собой условия для конка А стержня. Заметим, что краевые условия для неподвижного конка О стержня имеют вид у(0, г)=0, у'(О, с) О. Для интегрирования уравнения (23), кроме краевых условий, должны быть авданы начальные условия движения стержня. Применение варнаиионного приннипа Гамильтона-Остроградского прн составлении дифференпиального уравнения (23) нагибных колебаний упругого стержня -материальной системы с распределенными параметрами — окааалось иелесообраэным и эффективным. ГЛАВА ХЯП ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ.
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В 1. Уетойчмвоеть рввповесии системы Равновесие системы материальных точек называется устойчивым, если после сообщения точкам системы весьма малых начальных отклонений от положения равновесия и весьма малых начальных скоростей система в своем последующем движении будет весьма мало отклоняться от рассматриваемого равновесного положения, Ограничимся научением устойчивости равновесия системы, подчиненной голономным, стационарным и идеальным связям.
Если такая система находится в консервативном силовом поле, то устойчивость равновесия системы определяется согласно теореме Лагранжа †Днрихле нли теоремам Ляпунова. Теорема Лагранжа-Дирихле гласит: если в положении изолированного равновесия системы потенциальная энергия имеет минимум, то положение равновесия устойчиво. Потенциальная энергия системы может быть разложена в ряд по степеням обобщенных координат. Это разложение начинается с членов не ниже второго порядка относительно координат, если за начало отсчета координат принято положение равновесия н потенциальная энергия в положении равновесия считается равной нулю: П= а ~(а ) Ф+й( ) йьЬ+ "+( ) И~+." (1 ) Если в положении равновесия значение потенциальной энергия не является минимальным, то для суждения об устойчивости равновесия следует применить теоремы Ляпунова, которые формулируются следующим образом.
а) Равновесие системы неустойчиво, если отсутствие минимума потенциальной энергии может быть определено по членам второго порядка в разложении потенциальной энергии (1ч), беа рассмотрения членов высших порядков. б) Равновесие системы неустойчиво, если потенциальная энергия имеет в положении равновесно максимум, который может быть уста. 17О ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕИИИ СИСТЕМЫ 1гл. хшп новлен из рассмотрения членов наинизшего порядка, действительно имевшихся в разложении потенциальной энергии в ряд (1в). Обозначим производные второго порядка потенциальной энергии, вычисленные в положении равновесия, через сь7 ~ —.Да ) .
(2в) Ноэффициенты сь7 — постоянные числа. Теперь выражение для потенциальной энергии (1в) примет вид П= 2 (сддч1+ ° °,+ слв9л+2сыЧдЧд+ "+ 2св-д. вЧв-дЧл)+ .. ~ (Зв) где точками обозначены члены высшего порядка относительно ~у„... ° ~ чл. Если квадратичная форма П= — (сддддв+...+с йл+2срддд)я+ ..+2св,,д„дг7л) (4") определенно положительна (положительна при всех значениях од, ...
..., 4„не равных нулю одновременно), то и полная потенциальная энергия П, определяемая формулой (Зв), будет при достаточно малых значениях од, ..., д„определенно положительной. Это означает, что потенциальная энергия будет иметь в положении равновесия минимум. Согласно теореме Лагранжа-Дирнхле в этом случае положение равновесия будет устойчиво. Составим из коэффициентов сау матрицу сдд сы ... сдв сы сда ... сдл (бв) свд г„д ... свв Согласно равенству (2в) глд = г7А, т.
е. матрица (бв) симметрична. Вычислим главные диагональные миноры матрицы (бл): сдд ... сдв свд ... с„ Ьд= бдлв (е ) (7*) то квздрахйчйм форма (4в) определенно положительна. Если хотя бы В высшей алгебре доказываегся следующий крятерий Сильвестра: если все главные диагональные миноры дд„Ь„..., дд„матрицы (бв) положительны Ь ~О, Ьд~б, ..., сд„~б, 171 устопчнвость Рявноввсмя скстимы чп один ив главных диагональных миноров отрицателен, то квадратичная форма (4е) может при»имать отрицательные значения, Из теоремы Лагранжа-Дирнхле следует, что прн выполнении условия Сильвестра (7е) положение равновесия консервативной системы будет устойчиво.
Если же хотя бы одно неравенство (7е) имеет противоположный смысл, то на основании первой теоремы Ляпунова положение равновесия будет неустойчиво. Для системы с одной степенью свободы критерий устойчивости принимает совсем простой вид: л П~ ~ .с О устойчивое равновесие, еы — — — ч~1 (8) дав~о( ч 'О неустойчивое равновесие. Этот критерий указывает, что равновесие является устойчивым или неустойчивым, если прн бесконечно малом перемещении системы й) 1(1 Рис. 1В.!. а) Рввйовесве шврвкв устойчиво; б) рвввовесве шврнкв неустой.
чаво; в) равновесие шарика безразличное. из положения равновевия потенциальная энергия соответственно увелвчивается или умеиьшаетсц Для наглядности приводим рнс. 18З для потенциальной энергии силы тяжести, При решении задач на устойчивость равновесия системы с одной степенью свободы, находящейся под действием потенциальных сил, рекомендуется следующий порядок действий: 1) выделить тело или систему тел, равновесие которых подлежит рассмотрению, и выбрать обобщенную координату, задание которой определяет положение системы; 2) составить выражение потенциальной энергии системы; 3) вычислив производную от потенциальной энергии системы по обобщенной координате и приравняв ее нулю, найти возможные положения равновесия системы; 4) вычислив значения второй производной от потенаиальной энергии по обобщенной координате для каждого из возможных положений равновесия, найти знаки этой производной и по ним судить об устойчивости, Задача 18.1.
Однородный призматический брус веса Р квадрат- ного сечения со стороной, равной а, опирается своими боковыми 1гл. хип тиовня малых двндгинип снстзмы гранями на параллельные ребра двух опор, лежащие в одной гори. зонтальной плосиости иа расстоянии Ь одно от другого, прячем Ь(а)/2 (рнс. а). Предполагая грани бруса гладиимн, найти возможные положения равновесия и опорные реакции„соответствующие этим положениям. Определить условия устойчивости положений равновесия. К задаче 18.1, Р е ш е н н е. Рассмотрим равновесие призматического бруса, находецегося в консервативном силовом поле тяжести, Отбрасываем мысленно опоры и заменяем нх действие реакпиями агл и 1тв (рис. 6).
За обобщенную координату, опреаеляющую положение бруса, принимаем угол 6, образованный диагональю вертикального поперечного сечения бруса с вертикалью. Находим высоту и пентра тяжести над прямой АВ (рнс. б): в и = сов 9 — Ь з1п 9, соа 9в, г'2 нли и = — соз 9 — — а1п 29а. а Ь ]Гр 2 Но углы 6 я 9а связаны зависимостью 29а — — 26 и 2 и, снедовательно и = ~р — сов 6 — — з1 и 2 ~ — — 6) в Ь гп 92 2 ~4 нлн и= —,совŠ— — оа26. в Ь р'р 6 эстончивость завноввсня системы Потенциальная энергия силн тяжести равна П=Р и; учитывая (!), имеем I а Ь П Р! = соз 9 — — соз 29), М Находим производную от П по 6 и приравниваем ее нулю: —.— = ~- =+2Ьсоз9)з$пй О.
1 аП г а Р аа Из этого уравнения следует, что возможны два положения равновесна, Первое положение равновесия будет прн з!п6=0, нли 9=1Х Второе положенэе равновесия будет прн — =+ 2Ь соз 6 = О, М'2 или а соз 9 2 )~2Ь Это положение равновесия возможно, если — к, Ь )/2. Найдем теперь вторую производнткс — — т- ° — — соз 6+ 2Ь соз 26. ! азП а Р аз у6 Для решения вопроса об устойчивости равновесия следует найти знак этой производной для каждого нз возможных положений равновесия. В первом положении 9 =*Ьз :О. Подставив вто значение в уравнение (3), имеем — — = — — +2Ь. ! ЛзП! а Р' И~ ! з )~~+ Следовательно, по теореме Лагранжа-Дирихле это положение равновесия устойчиво, если Ь~ 2 )/2 В противном случае положение равновесяя неустойчиво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
